精品解析：湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度高一第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘积运算结合复数对应点的特征求解即可. 【详解】因为， 所以对应的点的位于在第四象限，故D正确. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由条件可得 因为， 所以 所以 故选：B 3. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，对选项逐一判断即可求解. 【详解】若，，则直线，可能相交、平行或异面，故选项A错误； 若，，则或，故选项B错误； 若，，，则由面面平行的性质定理可知，故选项C正确； 如图所示，平面，平面，平面，平面，但平面与平面相交，故选项D错误. 故选：C. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，，，，由正弦定理 可知. 又，，∴或. 故选：C. 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以 故选：D 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ） A. B. m C. 2m D. 4m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推得函数和的图象都关于点中心对称，得到函数和的图象的交点也关于点对称，得到两个对称点的纵坐标之和为，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件及正弦定理可得，结合为锐角三角形，解得角的范围即可求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理可知. ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，. 故选：D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的模为10 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据化简即可判断选项A；根据复数的除法运算及共轭复数的定义即可判断选项B；根据复数模的计算公式即可判断选项C；由复数减法的几何意义即可判断选项D. 【详解】对于A，，故选项A正确； 对于B，复数，所以的共轭复数为，故选项B正确； 对于C，复数的模为，故选项C错误； 对于D，由复数减法的几何意义可知：表示在复平面内对应的点到点的距离，表示在复平面内对应的点到点的距离.由可知则在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由，故，故，故A正确； 对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则， 解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件， 故B错误； 对于C，如图 设，，由 得， 取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知， 所以，则，故C正确； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以， 所以， 所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以， 即为等边三角形，故D正确. 故选：ACD. 11. 圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ） A. 当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为 C. 当时，圆锥的外接球表面积为 D. 存在点在圆锥上，使得直线平面 【答案】AC 【解析】 【分析】先由题设得，对于A，先由题设求出圆锥沿展开的侧面展开图扇形所对圆心角弧度数，再由余弦定理求解线段的长即可求解；对于B，设截面三角形顶角为，结合正弦定理面积公式即可计算求解；对于C，求出得到球心位置，再由即可求解判断；对于D，分别延长至使得，连接，求证平面平面即可得解. 【详解】由题，即分别为的中点， 对于A，当时，则， 圆锥沿展开侧面展开图如图扇形所示， 则该扇形所对圆心角弧度数为， 所以当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为途中所示线段的长， 该长度为，故A正确； 对于B，当时，，， 所以，如图为过圆锥顶点和两母线的截面三角形，则由题意， 过顶点和两母线的截面三角形的面积为， 当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为，故B错误； 对于C，当时，，则，所以圆锥的外接球球心在线段上， 设外接球半径为R，则，即， 所以该圆锥的外接球表面积为，故C正确； 对于D，如图，分别延长至使得， 连接，则由题意，， 又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以过点B与平面平行的直线均在平面内，显然该平面上的点只有点B在圆锥上， 所以不存在点在圆锥上，使得直线平面，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知水平放置四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 13. 将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解． 【详解】正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为6，半径为3． ∴可能制作的最大零件的体积为. 故答案为：． 14. 如图所示，四边形内接于圆，，，设，且，则四边形的对角线的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在延长线上取点使，取的中点，则.由可得，进而三点共线，故.在中求出的值，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】在延长线上取点使，取的中点，则，，. ∴. ∵，∴，∴三点共线，即直线经过圆心. ∴. 在中，. 在中，由余弦定理可得， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是：在延长线上取点使，取的中点，将条件和，转化为三点共线，故.在中求出的值，再在中利用余弦定理即可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】（1）体积为； （2）预计花费6123元． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆侧面积，再结合题设求解即得. 【小问1详解】 圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求； （2）若的角平分线长为，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，然后利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式、辅助角公式即可求解； （2）由（1）知.根据是角的角平分线、三角形面积公式及可得.在中，由余弦定理可求，最后利用正弦定理角化边即可求解. 【小问1详解】 在中，∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即. 又，∴，即， 即，即. ∵，∴， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知. ∵是角的角平分线，且，∴， ∴，即， ∴. 在中，由余弦定理可知， . 由正弦定理可知，， ∴. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）在图中作出面和面的交线，并证明：平面； （2）若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，连接即得到面和面的交线，接着证明为的中点即可证明，从而由线面平行判定定理即可求证平面； （2）取中点，连接，求证四点共面即可得到四边形即为所求截面，再利用题设条件求出该四边形四边长即可求解. 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点F，则面，且面， 连接，则面，且面，即是面和面的交线， 取中点，因为，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点，又点为棱的中点， 所以，因为平面，在平面外， 所以平面，即平面； 【小问2详解】 因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则， 取中点，连接，则即，所以， 所以四点共面，则四边形即为所求截面， 因为，， 所以， 又， 所以， 所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为. 18. 已知函数（，）的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数的图像在区间（a，且）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【小问1详解】 由题意可得，得，则 则为偶函数， 则，解得， 又因为，可知， 所以. 【小问2详解】 因为，则，可知 可得，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，， 设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点， 此时在区间， ， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有9个零点， 从而在区间上至少有一个零点， 所以，解得， 另一方面，在区间上恰有10个零点， 所以的最小值为. 19. 对于定义域为R的函数以及非空数集S：若对任意，，当时，都有，则称是S关联的. （1）设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的； （2）设，若存在一个闭区间（）使得是关联的，求； （3）证明：是关联的等价于是关联的. 【答案】（1），，.（答案不唯一） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别考虑和的情况.当，让接近，接近，但要在内，出现矛盾；同理时也矛盾.所以区间中有，再检验三类开区间满足题意. （2）由是关联的得出.当时，和能取任意值，也能取任意值，矛盾，所以，式子变为.若，最值差不符合条件，所以，最后验证满足条件得出结果. （3）分两步：已知是关联的，即时，.通过令不同的、取值，得出和. 对于，将拆成（，且），对变形，利用前面结论得到，结合范围推出.再验证时也满足，从而证明是关联的. 【小问1详解】 已知对，. 若，让接近，就有接近，要满足，则，这不可能. 若，让接近，有接近，要满足，则，也不可能. 所以、中有，经检验、、这三类开区间满足题意，如，，. 【小问2详解】 若是关联的,. 当，且时，能取任意值，也能取任意值， 那么能取任意值，矛盾，则，则. 若，时，最值差为， 与矛盾，所以， 取，易验时，满足条件， 综上所得，所求，. 【小问3详解】 一方面，若是关联的，所以时，. 令，，，； 令，，，， 令，，，， 又，所以. 则有. 设，令，其中，且. 首先对进行变形：. 因为，根据已知条件，可以得到. 对于， 由于，，所以. 当时，同样可以根据已知条件推出，所以是关联的. 若是关联的，根据关联的性质有： . 因为是关联的，所以（），则. 又因为是关联的，所以， 结合取等条件可知，即 对于，， 因为，所以， 又因为，则，且显然有， 所以是关联的. 综上所得，原命题证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南师大附中2024—2025学年度高一第二学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ） A. B. m C. 2m D. 4m 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A B. 复数共轭复数 C. 复数的模为10 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 11. 圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，点是母线上靠近点的三等分点，，是底面圆周上两点，且，则（ ） A. 当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，过顶点和两母线的截面三角形的面积最大值为 C. 当时，圆锥的外接球表面积为 D. 存在点在圆锥上，使得直线平面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 13. 将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______． 14. 如图所示，四边形内接于圆，，，设，且，则四边形的对角线的长为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求； （2）若的角平分线长为，且，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）在图中作出面和面的交线，并证明：平面； （2）若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 18. 已知函数（，）的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数图像在区间（a，且）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 19. 对于定义域为R的函数以及非空数集S：若对任意，，当时，都有，则称是S关联的. （1）设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的； （2）设，若存在一个闭区间（）使得是关联，求； （3）证明：是关联的等价于是关联的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$