精品解析：四川省达州市开江县2024-2025学年九年级下学期4月第一次学科素质调研诊断数学试题

开江县2025年春季九年级第一次学科素质调研诊断检测 数学试题 满分：150分 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．总票房突破165亿元．数据165亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 达州市境内有诸多风景名胜，如：万源的八台山、宣汉的巴山大峡谷、渠县的賨人谷景区、大竹五峰山森林公园、开江的飞云温泉就是其中著名的5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，点为上的一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 10. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 分解因式3x3-12x=________ 12. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是______． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为______． 15. 如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是______． 三、用心解一解（本大题共10小题，满分90分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值． 18. 某校九年级为了了解家长和学生观看交通安全警示教育片的情况，随机抽取本校九年级部分学生调查，把收集的数据按照四类（表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其它）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）已知该校九年级共有1600名学生，估计九年级选类的学生人数； （3）李老师在批阅九年级一班同学写的观后感时，发现有5名同学的观后感写得非常优秀，其中有2名男生，3名女生．现从这5名学生中随机抽取2名学生到当地某小学担任交通安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 如图，在平行四边形中，已知． （1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）． 20. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： （1）确定斜坡坡度：如图1，求的值； （2）如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 21. 某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍． （1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 22. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若点关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的值． 24. 如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； （3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【教材呈现】如图，在中，点、分别与的中点．则与的关系是，； 【感知】如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．，与的数量关系是 　　． 【应用】如图2，在中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长； 【拓展】如图3，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开江县2025年春季九年级第一次学科素质调研诊断检测 数学试题 满分：150分 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 3. 据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．总票房突破165亿元．数据165亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：165亿， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，根据同底数幂除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，逐一计算即可解答．熟知相应计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故A错误，该选项不符合题意； ，故B错误，该选项不符合题意； ，故C正确，该选项符合题意； ，故D错误，该选项不符合题意；， 故选：C． 5. 达州市境内有诸多风景名胜，如：万源的八台山、宣汉的巴山大峡谷、渠县的賨人谷景区、大竹五峰山森林公园、开江的飞云温泉就是其中著名的5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机从中抽取1张卡片有5种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有3种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：随机从中抽取1张卡片有5种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有3种结果， 所以抽到含“山”字卡片的概率为， 故选：B． 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由对顶角相等得出的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵与为对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，点为上的一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，切点是B， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵圆周角与圆心角所对的弧是， ∴． 故选：D． 8. 《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： ； 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 10. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 12. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：重新排列为50，51，55，55，61，64， 这组数据的中位数为， 故答案为：55． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式．根据题意得出点坐标是解题的关键． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形为菱形， ，， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 15. 如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键． 过点作于点，点作于点，分①点在点下方，②点在点上方，③点与点重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，重合得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 为等边三角形， ， ，为中点， ， 为等边三角形， ，， ①当点在点下方时，有两种情况，作图如下： ，， ， ， ， ，，， ； ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ， 据上述原理，上图情况，可得， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ②当点在点上方时，作图如下： ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； 综上所述：点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行．根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，即． 故答案为：． 三、用心解一解（本大题共10小题，满分90分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，三角函数，绝对值，再加减即可； （2）利用分式的性质和运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2）当时，另一个根为；当时，另一个根为5 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式． （1）根据方程有两个实数根，则，求解即可． （2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：或， 分以下两种情况： 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为； 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为5； 综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5． 18. 某校九年级为了了解家长和学生观看交通安全警示教育片的情况，随机抽取本校九年级部分学生调查，把收集的数据按照四类（表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其它）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）已知该校九年级共有1600名学生，估计九年级选类的学生人数； （3）李老师在批阅九年级一班同学写的观后感时，发现有5名同学的观后感写得非常优秀，其中有2名男生，3名女生．现从这5名学生中随机抽取2名学生到当地某小学担任交通安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）100名 （2）估计九年级选类的学生人数约800人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数． （2）根据用样本估计总体，用1600乘以样本中类的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：（名． 答：在这次抽样调查中，共调查了100名学生． 【小问2详解】 解：（人． 估计九年级选类的学生人数约800人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 19. 如图，在平行四边形中，已知． （1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图-基本作图、等腰三角形的性质． （1）由角平分线的作法容易得出结果，在上截取，连接，画出图形即可； （2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质得，，再由平行四边形的性质得，进而得，，再由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点O， ∵，平分， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 20. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： （1）确定斜坡坡度：如图1，求的值； （2）如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 【答案】（1）的值为 （2）闸门没有打开，理由详见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）直接根据坡度的定义求解即可； （2）过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解． 【小问1详解】 解： ，，长， 的值为：； 【小问2详解】 解：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 21. 某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍． （1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 【答案】（1）型无人机单价是600元，型无人机的单价是468元 （2）购买型无人机21台，购买型无人机79台，能使购买无人机的总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，得到正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，根据“用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍”列出方程，解方程即可； （2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题意列出不等式，再求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元； 【小问2详解】 解：设购买型无人机台，则购买型无人机台， 根据题意可得， 解得， 为整数， 的最小值为， 当购买型无人机数量最小时，总费用最少， 故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台． 22. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若点关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 23. 如图，是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）18 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）如图，连接，先由圆周角定理得，进而得，，再由得，即可得出结论； （2）先证明，得，再证明，列比例式可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 即的值为18． 24. 如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； （3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当的值最大时，点的坐标为，最大值为 （3）不存在， 理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； 【小问3详解】 略 25. 【教材呈现】如图，在中，点、分别与的中点．则与的关系是，； 【感知】如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．，与的数量关系是 　　． 【应用】如图2，在中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长； 【拓展】如图3，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接，求的值． 【答案】[感知]；[应用]；[拓展] 【解析】 【分析】[感知]证明四边形是平行四边形，从而证得四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，则，即可得； [应用]连接，并延长交于点，先由勾股定理求得，利用三角形中位线的性质可证得，由勾股定理求得，从而得，由三角形中位线的性质可求得； [拓展]连接，作交延长线于，是等边三角形，利用等边三角形的性质与解直角三角形求得，再证明是等边三角形，是直角三角形，求得，代入即可求解． 【详解】解：[感知]点为的中点，点为的中点， ，， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：； [应用]如图2，连接，并延长交于点， ，， ，， 、是的中线， ，， 点、分别是和的中点， ，，， ，， ， ，， ， ； [拓展]连接，作交延长线于，如图3， ， 是的中点，， 若点为的中点， ，， 点是的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质．本题属四边形的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $