专题02 一次函数重难点题型专训（18大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 一次函数重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的定义、图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数图象与对称问题 题型十六 一次函数图象与旋转问题 题型十七 一次函数中的最值问题 题型十八 一次函数与几何图形的综合 知识点一、一次函数相关概念 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 知识点二、待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 知识点三、正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 知识点四、一次函数的图像与性质 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【补充说明】 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2） 的三角形面积为. 知识点五、k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 知识点六、正比例函数与一次函数图像的关系 图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【经典例题一 正比例函数的定义、图象】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出N的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 设正比例函数解析式为， 则， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知y是x的正比例函数，当时，． (1)求这个函数的解析式； (2)时，求y的值； (3)求当时，x的值； (4)若点是该函数图象上的一点，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知自变量值求函数值，已知函数值求自变量值，以及图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式即可求解y的值； （3）把代入函数解析式即可求解x的值； （4）点代入函数解析式得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数， ∴设 ∵当时， ∴， 解得：， ∴这个函数的解析式为； （2）解：时，； （3）解：当时，， 解得：； （4）解：∵点是该函数图象上的一点， ∴， 解得：． 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数时正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的定义等知识点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把代入函数求出k的值，再结合一次函数的定义即可解答即可． 【详解】解：∵函数经过原点， ∴，解得， ∵，即， ∴． 故选A． 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上，， 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）先根据一次函数的定义求出m的值，进而可得解析式； （2）把代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数， 所以，所以． 又因为当时，，不合题意，舍去； 所以的值为， 所以． （2）解：由（1）可知，此函数的表达式为． 当时，， 所以点在此函数图象上． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求的值． (2)若，点在该一次函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把点代入函数解析式得，又由已知条件得，由即可求证； 本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入函数表达式得， ， 得，； （2）证明：∵点在该一次函数图象上， ∴ ③， ∵， ∴④， 得，． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点，设一次函数的解析式为，根据直线经过第一、二、三象限，得到，再根据一次函数的性质即可得出结论，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线经过第一、二、三象限， ∴， 由于点在直线上， ∴，即， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∵， ∴，故选项B不符合题意； 当时，， ∵， ∴，故选项C不符合题意； ∴，即，故选项A不符合题意； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征及点到坐标轴的距离，根据“顺利点”的定义，结合一次函数图象上点的特征逐项计算即可判断． 【详解】解：∵点C是一次函数图象上的“顺利点”， ∴， A、，，，则在一次函数图象上，符合题意； B、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； C、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； D、，，则不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一元一次方程等．根据题意将点N表示出，再代入中即可求出和点N的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为：， ∵点N在直线上， ∴，解得：， ∴，， ∵一次函数的图象与线段有公共点， ∴将点代入中得：， 将点代入中得：， ∴， 故选：A． 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 3．（2023·吉林长春·三模）如图①，A、B、C三个容积相同的容器之间有阀门连结．从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A、B、C三个容器内的水量分别为（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，B容器内有水50升，与t的函数图像如图②所示．请在的范围内解答下列问题： (1)求时，的值． (2)当时，求与t的函数关系式， (3)在图②中画出与t的其函数图像，并直接写出时，A容器的水量与B容器的水量相差多少升． 【答案】(1)62 (2) (3)画图像见解析，当时，A容器的水量与B容器的水量相差20升 【分析】（1）根据题意列出与t的函数关系式，然后再将代入计算即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）先分和两种情况求得函数解析式，然后根据解析式化出图像，再根据图像可得当时，，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：当时，A向B容器内注水3分钟， ． （2）解：由函数图像可得：与t的函数过，， 设与t的函数关系式为：， 则有：，解得：， ∴． （3）解：当，； 当，． ∴与t的函数关系式：， 与t的其函数图像如下： 由函数图像可得：当时，， ∴， ∴A容器的水量与B容器的水量相差20升． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式、求函数解析式、从函数图像获取信息等知识点，灵活运用函数及图像是解答本题的关键． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（24-25八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的值随的值的增大而增大 B．将一次函数的图象向上平移4个单位长度得到函数的图象 C．该函数的图象与轴的交点是 D．该函数的图象不经过第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴的值随的值的增大而减少，故选项A不符合题意； 将一次函数的图象向上平移4个单位长度得到函数的图象，说法正确，故选项B符合题意； 当时，，解得：， ∴图象与轴的交点为，故选项C不符合题意； 图象经过一、二、四象限， 即图象不经过第三象限，故选项D不符合题意； 故选：B． 1．（2025·陕西西安·三模）点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由时，，可知随着的增大而减小，得到的取值范围，然后结合，可知的取值范围，从而判断可能的图象． 【详解】解：时，， 即时，， 随着的增大而减小， ， 又， ， 一次函数的图象会经过一、二、四象限． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是 ． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①一次函数为图象过原点，则有，解得，故①说法正确，符合题意； ②若，则函数解析式为，，， 图象经过第一三四象限，故②说法错误，不符合题意； ③当时，，函数图象与y轴交于点，故③说法错误，不符合题意； ④函数， 当时，，故函数的图象总经过点说法正确，符合题意， 故答案为：①④． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知：在平面直角坐标系中，有一点 (1)小明说“点P不可能位于第二象限”，请判断这种说法是否正确，并说明理由； (2)若点P位于第四象限，且横、纵坐标都是整数，求满足条件的整数a的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是根据点所在的象限求解参数的范围，一次函数的图象与性质，解一元二次不等式组； （1）由可得在一次函数的图象上，从而可得答案； （2）点位于第四象限，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：小明这种说法正确，理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限， ∴点P不可能位于第二象限； ∴小明这种说法正确. （2）解：∵点位于第四象限， ∴， 解得：， ∵横、纵坐标都是整数， ∴． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数的图象经过的象限得到，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若直线与线段有交点，则k的最大值为 ． 【答案】4 【分析】将点A、B分别代入解析式求出对应的k值，即可得到满足题意的k的最大值. 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键. 【详解】解：当直线经过时， ， 解得； 当直线经过时， ， 解得， ∵直线与线段有交点 ∴， ∴k的最大值为4． 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）关于x的函数，有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取何值，函数图象必过点； ③若函数图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是； ④若点在函数的图象上，则．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的定义，一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，当，即时，此函数是一次函数，可判断①的正误；当时，，可知无论k取何值，函数图象必过点，可判断②的正误；当函数图象经过第一、三、四象限时，，即，可判断③的正误；当，即时，随的增大而减小，由，可得，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当，即时，此函数是一次函数，①正确，故符合要求； 当时，， ∴无论k取何值，函数图象必过点，②正确，故符合要求； 当函数图象经过第一、三、四象限时，，即，③错误，故不符合要求； 当，即时，随的增大而减小， 由，可得，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为6， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图象经过第一象限，且， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度后经过原点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 先根据题意得出函数图象向左平移1个单位长度后的解析式，再根据函数图象平移后经过原点求出m的值，进而可得出一次函数的解析式，据此可得出结论． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移1个单位长度后的解析式为 ， ∵函数图象平移后经过原点， ∴当时，，即， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故选：C． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用．利用勾股定理可得，由折叠得，即可得出点D的坐标． 【详解】解：把代入得， 把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）我们把一条直线上满足纵坐标是横坐标一半的点称为“横倍点”，那么直线上的“横倍点”坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“横倍点”的定义，得纵坐标是横坐标一半的点，即，解方程组即可求得坐标，理解“横倍点“的定义是解题的关键． 【详解】解：设“横倍点”的横坐标是，则纵坐标是，即，代入， 得：， 解得：， ， ∴直线上的“横倍点”的坐标是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)的函数解析式为；的函数解析式为 (3)6 【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴点P的坐标为 （2）解：设的函数解析式为，代入点P， 解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为，代入点P，点A得； ，解得 ∴的函数解析式为； （3）解：过点P作，交于N，    ∵P， ∴， 点Q为与轴的交点， ∴Q， ∴， ． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若过点的一次函数（k、b为常数，）的图象与一次函数有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 画出函数图象，用待定系数法分别求出一次函数过点，时的函数解析式和过点，时的函数解析式，然后结合“过点的一次函数的图象与一次函数有交点”即可得出答案． 【详解】解：如图， 一次函数的两个端点分别为，， 当一次函数过点，时，则有： ， 解得：， 此时，一次函数的解析式为； 当一次函数过点，时，则有： ， 解得：， 此时，一次函数的解析式为； 过点的一次函数的图象与一次函数有交点， 的取值范围是：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）先完成表格，再根据表中的数据在平面直角坐标系中画出一次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，画函数图象的步骤有：列表、描点、连线． 【详解】解：列表如下： 描点、连线，如下图所示： 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）将代入即可求出y的值，将代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象； （2）先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得：． 填写表格如下， x 0 0 图象见下图： ； （2）解：平移后的直线为， 即， 当时，， 当时，， 解得：， 则点A的坐标为，点B的坐标为． 所以的面积． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则、的应满足的条件为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式等知识点，掌握一次函数图象的性质成为解题的关键． 根据题意得两直线平行，且对任何x的值，直线在直线上方，取得到对应的函数值关系，进而确定n的范围即可． 【详解】解：∵无论取何值，始终有， ∴两直线必平行，且直线在直线上方， ∴， 当，则，， ∴， ∴且，即A选项符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一次函数平移规律即可解答． 【详解】解：设直线l的解析式为， ∵直线l经过和，则， 解得：， ∴直线l的解析式为， 把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 则直线的解析式为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的图象与几何变换，依据题意，首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，进而可以判断得解． 【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分． 四边形是平行四边形， ，即点为中点， ，， ， 设的解析式为， 平行于， ， 过， 的解析式为， 结合“左加右减，上加下减”的平移规律， 满足． 直线可以由直线要向右平移3个单位． 经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故答案为：3． 3．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键． （1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可； （2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴． （2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值， ∴函数的图象在的图象和的图象之间， ∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0， ∴，． 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得， 解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得，即． 故答案为：C． 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 【答案】 7 0或 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：一次函数， (1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； (2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围； (3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； (4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 【答案】(1) (2)且 (3) (4)2 【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系和三角形的面积，熟练掌握一次函数图象的性质是解决此题的关键． (1)要使该函数中随的增大而减小，只需一次项系数为负数； (2)要使该函数图象与轴的交点于下方，只需一次项系数不为零且常数项为负数； (3)要使该函数图象经过第二、三、四象限，只需一次项系数与常数项均为负数； (4)根据坐标轴上点的坐标特点求出所围成的直角三角形的两条直角边长，结合面积公式解答即可． 【详解】（1）解：函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：函数图象与轴交于轴下方， 且， 解得：且； （3）解：函数图象经过第二、三、四象限， 且， 解得：； （4）解：当时，该函数的解析式为 当时， 当时， 该直线与两坐标轴所围成的三角形面积是． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（2025·山西临汾·一模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查一次函数的增减性，一次函数，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵，两点都在关于x的一次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 1（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数来能掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质逐一判定即可． 【详解】A、因为，，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，所以选项A错误，不符合题意； B、令，则，解得，所以图象与x轴交于点，所以选项B错误，不符合题意； C、当时，，所以点在函数图象上，所以选项C正确，符合题意； D、因为，，所以y随着x的增大而减小，若点和在函数的图象上，当，则，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征， （1）将代入即可得出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． 【详解】解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， …，， 又∵ ， ∴， ， ，…，； 故选：A． 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．写出一部分点的坐标，探索得到规律，，，，(是正整数)，，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 依次得： ，，，， 由此发现规律：，，，，(是正整数)， ， ∴，即：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为， 由此可知的坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 【经典例题十四 求一次函数解析式】 【例14】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称． (1)求点C的坐标； (2)求直线对应的函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）把代入中可求出B点坐标，再根据点C与点B关于x轴对称可求出C点坐标； （2）把代入中可得A点坐标，然后运用待定系数法求出直线的函数解析式即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， ∴， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴点C的坐标为． （2）解：把代入中，得，解得， ∴， 设直线对应的解析式为，则有 ，解得， ∴直线AC对应的解析式为． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，关键是正确得出函数解析式的系数．根据函数的图象与直线平行，且经过点，即可得出k和b的值，即得出了函数解析式． 【详解】解：因为一次函数的图象由函数的图象平移得到， 所以， 因为函数图象经过点， 所以， 解得， 所以一次函数的表达式为． 【经典例题十五 一次函数图象与对称问题】 【例15】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）分别令和，求得和，据此求解即可； （2）分别将点、代入，求解即可； （3）分情况讨论，求解即可； （4）先求得线段与的交点的坐标，与的交点的坐标，再根据四个特殊点、、和，画出图形，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为； 故答案为：，； （2）解：将点代入，得 ； 将点代入，得 ， 解得； （3）解：当时，图象对应的函数表达式为， 当时，图象对应的函数表达式为， 综上，图象对应的函数表达式为； （4）解：设线段与交于点，与交于点， 令，则，解得， 则； 令，则，解得， 则； ①若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； ②若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； 综上，时，图象与线段有一个交点； ③若图象过点，此时； 如下两个图知当时，图象与线段没有交点； ④如图时，图象与线段没有交点； 综上，图象与线段有一个交点时，的取值范围为． 【经典例题十六 一次函数图象与旋转问题】 【例16】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当点D在上时，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F，先求得点B坐标， 设，则直线的表达式为，证明得到点E坐标，进而利用待定系数法求得直线的函数表达式为，由点B坐标和勾股定理求得，（负值已舍去），则，再利用两点坐标距离公式求解即可；当点E在上时，同理可求解． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当点D在上时，如图，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F， ∵的坐标为，， ∴，则， ∴， 设，则直线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（负值已舍去）， ∴， ∴； 当点E在上时，如图， 设，同理可求得直线的函数表达式为，，直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（正值已舍去）， ∴， ∴； 综上，或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关键． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，两点间距离公式的应用，运用待炡系数法求出直线的解析式，得出直线和交点坐标，得到，运用平移规律得，设点，则，，得，求出，，再求出的周长最小值即可 【详解】解：∵，， ∴， 设直线的解析式为 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 联立方程组，解得，， ∵与点关于直线对称， 设，则有： ∴ ∴， 由平移规律得，， 设点，则，， ∴， ∴， ∴的周长 当时，的周长 而 ∴ 解得,， 所以，当时，的周长最小值为， 故答案为： 2．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为：， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为 ； （2）在平面直角坐标系中，，，在x轴上求一点C，使最小，则C点坐标为： ． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，轴对称几何最值问题等，解决问题的关键是熟练掌握函数图象平移法则，图象水平移动自变量左加右减，图象上下移动函数上加下减，成轴对称两点的特征，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，两点之间线段最短． （1）根据平移规则，左加右减，求出平移后的解析式即可； （2）找出点，关于轴的对称点，设直线的解析式为， ，代入得到，解得，，得到，推出C的坐标为即可． 【详解】（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为，； 故答案为：； （2）∵点，， ∴点关于轴的对称点为， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴， 当时，，， ∴C的坐标为． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 2．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可； （2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， 最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． ∴ ∴． （2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， PA＋PB＝． 过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H， 在Rt△中，∠H＝90°， 则， ∴PA＋PB的最小值为 ． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握利用轴对称变换作图是解题的关键． （1）求出点A、B关于y轴的对称点的坐标，再与O顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；（3）找出点A关于x轴的对称点的位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P，再根据待定系数法求出直线的解析式，最后求出直线与x轴的交点坐标，即得答案． 【详解】（1）关于y轴对称的图形为，，， ，， 如图，就是所求作的图形； 故答案为：． （2）的面积； 故答案为：． （3）作点A关于x轴的对称点，连结，与x轴交于点P，此时的值最小， 可求得， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ． 故答案为：．    【经典例题十八 一次函数与几何图形的综合】 【例18】（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键． （1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标； （2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：把代入直线l： 得：， 点， A与点B关于y轴对称， 点 B 的坐标为； （2）由，可知 ， 如图，设与y轴的交点为D，得． ， ， ， ， 直线是由直线l平移得到， 可设直线的函数表达式为， ①当点C在上方时，点C的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为； ②当点C在下方时，点的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为． 综上，平移后的直线的函数表达式为：或． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)， (2)的取值范围是或 (3) 【分析】（1）根据二次根式及绝对值的非负性即得答案； （2）过点作，交轴于点，在直线上取，过点作轴于点，连接，设点，则，根据列方程，解得，再根据三角形的面积不大于6列出不等式，求得，即可求的得答案； （3）过点作于点，连接，用待定系数法求出直线的解析式为，则，再根据，即得关于m、n的关系式，化简整理即得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， 又，， ，； （2）解：过点作，交轴于点， 在直线上取，过点作轴于点，连接， 设点，则， ， ， 解得， ， ， ， ，且点不与点重合， 或， 的取值范围是或； （3）解：过点作于点，连接， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， ， 整理，得， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标，二次根式及绝对值的非负性，一次函数的面积问题，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的面积问题的解法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求的长； (2)求点和点的坐标． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理： （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理解即可； （2）由折叠知，可得点的坐标，设， 则，利用勾股定理解求出x的值可得点的坐标． 【详解】（1）解：中， 令，得：， ， ， 令，得：， 解得：， ． ． 在中，． （2）解：由折叠知：， ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得：， ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或 1．（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则k的值是（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，把代入求出k，m的值，再根据y随x的增大而减小，确定k的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴， ∴一次函数过一、二、四象限， ∴， 解得：，． 故选：D． 3．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点，，；②一次函数的图象恰好经过点，，；③一次函数的图象恰好经过点，，；④一次函数的图象恰好经过点，，，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得． 【详解】解：①设一次函数的图象恰好经过点，，， 将点，代入得：，解得， ∴， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ②设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ③设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ④设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由，可得：， 当时，，即点在一次函数的图象上， 当时，，即点不在一次函数的图象上， 综上，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点； 故选：B． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 5、（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 6．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得，，解方程即可求出答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得， ， 则或 解得， 即一次函数的图象上的“特殊点”坐标为， 故答案为： 7．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的方程有无数个解，那么直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，一元一次方程解的情况，三角形面积公式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解答关键． 先根据关于x的方程有无数个解，列出方程组求出，继而得到一次函数解析式，再令求出与坐标轴交点，即可求解直线与坐标轴围成的三角形面积． 【详解】解：方程可化为：， ∵方程有无数个解， ∴， 解得：， ∴一次函数解析为：， 当， 当，解得：， ∴直线与坐标轴交点为：， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称性可得为的中点，根据中点坐标公式求出，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：连接交于P， ∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的中心， ∴为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数，当时，函数的最小值是5，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键，注意分情况讨论． 分情况讨论：①时，当时，函数取得最小值5，②时，当时，函数取得最小值5，分别求解即可． 【详解】解：①时， 当时，函数取得最小值5， ， 解得； ②时， 当时，函数取得最小值5， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：5或． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出点，则，又，则求出或，然后分别代入求出的值即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，点， ∴或， ∵点在直线图象上， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数，当时，函数值随自变量值的增大而增大；当时，函数值随自变量值的增大而减小． （1）由一次函数图象与系数的关系得到，由此求得的取值范围； （2）令y=0，得到，结合的取值范围求得的符号，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，函数值随自变量值的增大而减小， ， 解得：； （2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下： 令，则， 整理得：， ， ， ， ， 这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴． 12．（24-25八年级下·上海·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点关于y轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质和关于轴对称的点的坐标特征． （1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而可得到与的函数表达式； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征得到，然后把点的坐标代入（1）中的解析式，从而得到的值． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ， 与的函数表达式为； （2）点是点关于轴的对称点， 点的坐标为， 又点在该函数的图象上， ． 解得． 13．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知一次函数与一次函数平行，且过点，求该一次函数解析式． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据两条直线是平行的关系，的值相等，从而求出，再把点代入一次函数，即可求得的值． 【详解】解：∵一次函数与平行， ∴， 又∵函数经过点， ∴， 解得：， ∴该一次函数解析式为． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)； (4)当的面积为6时，的值为4或11． 【分析】本题主要考查对于一次函数的应用． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可； （2）分两种情况，写出的长度即可； （3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：当点在上即时，， ∴， 当点在上即时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵点的坐标为， ∴； （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； ∴当的面积为6时，的值为4或11． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵， ； ______________________． 又∵，， ∴， ∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点M的坐标为或． 【分析】本题考查了等面积法，一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，正确理解“等面积法”并会灵活运用是解题的关键． （1）根据结合三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据题目要求作出图形，然后根据结合三角形的面积公式即可得出； （3）先求得为等腰三角形，再分情况讨论：①当点M在边上时，②当点M在延长线上时，③当点M在的延长线上时（此情况不存在），根据（1）（2）的结果分别求出点M的纵坐标，再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图，；理由如下， 证明：由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴ ， ∴； （3）解：在中，令得；令得， ∴，， 在中，令得， ∴， ∴，， ∴，即为等腰三角形， 设M点坐标为， ①当点M在边上时， 由得：， ∴， 把代入中求得：， ∴此时； ②当点M在延长线上时， 由得：， ∴， 把代入中求得：， ∴此时； ③当点M在的延长线上时，点M到的距离不可能为，此情况不存在； 综上所述：点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的定义、图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数图象与对称问题 题型十六 一次函数图象与旋转问题 题型十七 一次函数中的最值问题 题型十八 一次函数与几何图形的综合 知识点一、一次函数相关概念 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 一次函数的一般形式：. 特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 知识点二、待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 知识点三、正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 知识点四、一次函数的图像与性质 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【补充说明】 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2） 的三角形面积为. 知识点五、k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 知识点六、正比例函数与一次函数图像的关系 图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【经典例题一 正比例函数的定义、图象】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知y是x的正比例函数，当时，． (1)求这个函数的解析式； (2)时，求y的值； (3)求当时，x的值； (4)若点是该函数图象上的一点，求m的值． 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求的值． (2)若，点在该一次函数图象上，求证：． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为6，则称点A为“顺利点”．例如：点到x轴、y轴的距离分别为2，4，距离和为6，则点B是“顺利点”．点C是一次函数图象上的“顺利点”，则点C坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为 ． 3．（2023·吉林长春·三模）如图①，A、B、C三个容积相同的容器之间有阀门连结．从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A、B、C三个容器内的水量分别为（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，B容器内有水50升，与t的函数图像如图②所示．请在的范围内解答下列问题： (1)求时，的值． (2)当时，求与t的函数关系式， (3)在图②中画出与t的其函数图像，并直接写出时，A容器的水量与B容器的水量相差多少升． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（24-25八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的值随的值的增大而增大 B．将一次函数的图象向上平移4个单位长度得到函数的图象 C．该函数的图象与轴的交点是 D．该函数的图象不经过第四象限 1．（2025·陕西西安·三模）点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是 ． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知：在平面直角坐标系中，有一点 (1)小明说“点P不可能位于第二象限”，请判断这种说法是否正确，并说明理由； (2)若点P位于第四象限，且横、纵坐标都是整数，求满足条件的整数a的值． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若直线与线段有交点，则k的最大值为 ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）关于x的函数，有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取何值，函数图象必过点； ③若函数图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是； ④若点在函数的图象上，则．其中结论正确的序号是 ． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度后经过原点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）我们把一条直线上满足纵坐标是横坐标一半的点称为“横倍点”，那么直线上的“横倍点”坐标是 ． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；    (1)求点的坐标； (2)求直线与直线的函数解析式； (3)求的面积． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若过点的一次函数（k、b为常数，）的图象与一次函数有交点，则k的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）先完成表格，再根据表中的数据在平面直角坐标系中画出一次函数的图象． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则、的应满足的条件为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 2．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 3．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：一次函数， (1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； (2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围； (3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； (4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（2025·山西临汾·一模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 1（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【经典例题十四 求一次函数解析式】 【例14】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称． (1)求点C的坐标； (2)求直线对应的函数解析式． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，求这个一次函数的表达式． 【经典例题十五 一次函数图象与对称问题】 【例15】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 【经典例题十六 一次函数图象与旋转问题】 【例16】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为 ； （2）在平面直角坐标系中，，，在x轴上求一点C，使最小，则C点坐标为： ． 1．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 2．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 【经典例题十八 一次函数与几何图形的综合】 【例18】（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求的长； (2)求点和点的坐标． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 1．（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则k的值是（　　） A． B．4 C． D．2 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5、（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 7．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的方程有无数个解，那么直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ． 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数，当时，函数的最小值是5，则 ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ． 11．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 12．（24-25八年级下·上海·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点关于y轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值． 13．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知一次函数与一次函数平行，且过点，求该一次函数解析式． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵， ； ______________________． 又∵，， ∴， ∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$