信息必刷卷05（湖北省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖北专用） 考情速递 中考·新动向：1.从单一知识到多维能力融合：试卷强化对知识整合与综合运用的考查，如第23题（综合与实践）串联旋转、相似三角形、勾股定理及等边三角形判定，需分步推导几何关系；第22题（隧道截面问题）将二次函数顶点式、矩形周长最值与旋转几何结合，体现“函数+几何+实际应用”的跨板块综合，打破传统单一知识点命题模式。2.真实情境驱动数学建模：以现实问题为载体设计题目，如第18题（汾河宽度测量）需构建解直角三角形模型，第22题（隧道通行能力分析）需用二次函数刻画隧道截面并解决实际通行问题，第19题（机器人运动能力测试）结合折线图与扇形统计图分析数据，强调“用数学解决真实问题”的建模能力。3.图文信息深度融合：题目依赖图形、图表传递关键信息;4.新定义与开放探究结合：第10题引入“和谐点”定义，要求学生结合一次函数、反比例函数、二次函数性质分析结论正误，体现“现场学习—定义迁移—综合推理”的能力考查；第23题（3）②需通过旋转性质构造等边三角形，开放度高。 中考·新情境：1.传统文化与数学美学融合：第2题以甲骨文为素材考查轴对称图形识别，第3题以宋元时期梅瓶为背景考查三视图，将文化元素融入几何考点，体现“数学+文化”的跨学科属性。2.科技与生活情境的数学化表达：第19题以智能机器人测试为背景，涉及运动能力数据的统计分析；第22题以隧道截面设计为情境，结合工程应用考查二次函数最值。3.开放探究与动态几何的结合第22题（4）要求在矩形旋转过程中，根据直角三角形的不同顶点分类讨论旋转角度，需动态分析图形位置关系，体现几何问题的开放性与运动变化思想；第24题（2）①需根据点D在图象G（直线与抛物线组合图形）上的位置，分类讨论线段PE与图象G的交点个数，考查对分段函数图象的理解与动态分析能力。 命题·大预测：1.综合题占比持续扩大：函数与几何综合（如第22题）、几何变换与方程结合（如第23题）、统计与实际决策融合（如第19题）等题型将成为主流，注重知识网络的“交叉点”命题。2.新定义与真实情境深度绑定：类似“和谐点”的自定义概念题会更多结合函数、几何等核心考点，且情境将更贴近科技前沿（如人工智能、工程设计）或社会热点（如环保、交通），强调“在新情境中构建数学模型”的能力。3.图表信息与跨学科能力强化：复杂图表（如多类型统计图、函数图象与几何图形结合）的信息提取题、跨学科应用（如物理测量、化学实验中的数学计算）将增加，对“非连续文本”的处理能力要求提升。 备考方向:1.构建“知识模块互联”体系：针对几何变换（旋转、折叠、对称）、函数应用（二次函数最值、反比例函数k的几何意义）等高频综合模块，进行专题训练，总结跨知识点的解题通法;2.强化“新定义+开放探究”专项训练：针对性练习自定义概念题，培养“提取定义核心条件→转化为数学表达式→结合已有知识推理”的思维流程；对开放探究题，注重分类标准的合理性与结论的完整性。3.规范逻辑表达与细节辨析：对几何证明题，注重定理引用的严谨性与推导过程的逻辑性. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数与l的和为0的是（   ） A．1 B． C． D． 2．习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．龙泉窑褐彩连座梅瓶是深圳博物馆的陶瓷珍品，代表着宋元时期陶瓷工艺的巅峰，如图，它是由可拆卸的瓶身和镂空瓶座组成．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的（   ） 视力 人数 1 2 4 A．平均数，方差 B．中位数，平均数 C．中位数，众数 D．方差，中位数 7．如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 9．如图，在△ABC中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（    ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题：本题共5小题，每小3分，共15分。 11．要使分式有意义，则x应满足条件 ． 12．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ． 13．两位运动员10次训练的平均成绩都是7环，其中甲成绩的方差为，乙成绩的方差为，你认为教练应选 运动员参赛更好． 14．如图，直线与（且，为常数）的交点坐标为，则关于的不等式的解集为 ．    15．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号） 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分） 计算：． 17．（6分） 如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 18. （6分） 汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 19. （8分） 我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 20. （8分） 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求k的值； (2)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （8分） 如图，是的直径，点在的延长线上，，是上的两点，，. (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 22. （10分） 某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 23. （11分） 综合与实践 已知：如图1，△ABC和的顶点重合，，，，． (1)当点，分别在，边上时，_______； (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，连接． ①求证：； ②求的值； (3)如图3，将图1中的绕点顺时针分别旋转，，得到和，此时与均与垂直于点． ①求的值； ②求三角形的面积． 24. （12分） 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． (1)分别求b、t的值； (2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（湖北专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A A C D C C A C B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11．x≠1 12． 13．甲 14． 15. 三、解答题:本大题有9个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分） 【详解】解： ． 17．（6分） 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴． 18. （6分） 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 19. （8分） 【详解】解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； 任务2： 的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：    的综合成绩为：     ， 机器人的综合成绩最高； 任务3： ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【点睛】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． 20. （8分） 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，，即， 将代入可得， ∴； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴． 21. （8分） 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆周角定理，解决本题的关键是相似三角形的性质得到对应边成比例，再利用对应边成比例求出线段的长度． 22. （10分） 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 23. （11分） 【详解】（1）解：∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵，， ，， ∴，， ． （2）①证明：∵，， ， ， ， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ． （3）解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据旋转可得， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． ②∵， 和都为等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，， ， ， ， 为等腰三角形， 又 ∵， ，且．（三线合一）． ∴， 为等边三角形． 由题意，， ， ， 又∵， ∴， 且， 即， ∴， ， ． 【点睛】该题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. （12分） 【详解】（1）解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得， ， 把代入，可得， 解得； （2）解：①由（1）可得抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ， 将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A， 设平移后的直线解析式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线解析式为， 由题意可得点 当点在图象G的抛物线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得， 根据图象可得点在点和顶点之间，此时线段与图象G有两个交点， ， ， 故； 当点在图象G的直线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得（舍去）， 根据图象可得点在之间，此时线段与图象G有两个交点， 故； 综上，或； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，才符合题意， 如图，当点在点之间，点在之间时， ， 把代入，可得， 解得， ， ， ， 解得， ； 如图，当点在点之间，点在之间时， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖北专用） 考情速递 中考·新动向：1.从单一知识到多维能力融合：试卷强化对知识整合与综合运用的考查，如第23题（综合与实践）串联旋转、相似三角形、勾股定理及等边三角形判定，需分步推导几何关系；第22题（隧道截面问题）将二次函数顶点式、矩形周长最值与旋转几何结合，体现“函数+几何+实际应用”的跨板块综合，打破传统单一知识点命题模式。2.真实情境驱动数学建模：以现实问题为载体设计题目，如第18题（汾河宽度测量）需构建解直角三角形模型，第22题（隧道通行能力分析）需用二次函数刻画隧道截面并解决实际通行问题，第19题（机器人运动能力测试）结合折线图与扇形统计图分析数据，强调“用数学解决真实问题”的建模能力。3.图文信息深度融合：题目依赖图形、图表传递关键信息;4.新定义与开放探究结合：第10题引入“和谐点”定义，要求学生结合一次函数、反比例函数、二次函数性质分析结论正误，体现“现场学习—定义迁移—综合推理”的能力考查；第23题（3）②需通过旋转性质构造等边三角形，开放度高。 中考·新情境：1.传统文化与数学美学融合：第2题以甲骨文为素材考查轴对称图形识别，第3题以宋元时期梅瓶为背景考查三视图，将文化元素融入几何考点，体现“数学+文化”的跨学科属性。2.科技与生活情境的数学化表达：第19题以智能机器人测试为背景，涉及运动能力数据的统计分析；第22题以隧道截面设计为情境，结合工程应用考查二次函数最值。3.开放探究与动态几何的结合第22题（4）要求在矩形旋转过程中，根据直角三角形的不同顶点分类讨论旋转角度，需动态分析图形位置关系，体现几何问题的开放性与运动变化思想；第24题（2）①需根据点D在图象G（直线与抛物线组合图形）上的位置，分类讨论线段PE与图象G的交点个数，考查对分段函数图象的理解与动态分析能力。 命题·大预测：1.综合题占比持续扩大：函数与几何综合（如第22题）、几何变换与方程结合（如第23题）、统计与实际决策融合（如第19题）等题型将成为主流，注重知识网络的“交叉点”命题。2.新定义与真实情境深度绑定：类似“和谐点”的自定义概念题会更多结合函数、几何等核心考点，且情境将更贴近科技前沿（如人工智能、工程设计）或社会热点（如环保、交通），强调“在新情境中构建数学模型”的能力。3.图表信息与跨学科能力强化：复杂图表（如多类型统计图、函数图象与几何图形结合）的信息提取题、跨学科应用（如物理测量、化学实验中的数学计算）将增加，对“非连续文本”的处理能力要求提升。 备考方向:1.构建“知识模块互联”体系：针对几何变换（旋转、折叠、对称）、函数应用（二次函数最值、反比例函数k的几何意义）等高频综合模块，进行专题训练，总结跨知识点的解题通法;2.强化“新定义+开放探究”专项训练：针对性练习自定义概念题，培养“提取定义核心条件→转化为数学表达式→结合已有知识推理”的思维流程；对开放探究题，注重分类标准的合理性与结论的完整性。3.规范逻辑表达与细节辨析：对几何证明题，注重定理引用的严谨性与推导过程的逻辑性. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数与l的和为0的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，化简双重符合，有理数的加法运算，分别计算各选项数据与的和即可得到答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 2．习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 3．龙泉窑褐彩连座梅瓶是深圳博物馆的陶瓷珍品，代表着宋元时期陶瓷工艺的巅峰，如图，它是由可拆卸的瓶身和镂空瓶座组成．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图；直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．熟知三视图的定义是关键． 【详解】解：观察可知，由于该几何体的对称性主视图与左视图相同，俯视图看不到几何体的下部分，但是能看到瓶口，即俯视图与其它两种视图不相同， 故选；A． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方和积的乘方，对各个选项分别计算，即可得到答案． 【详解】A．和不是同类项，不可直接相加减，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 故选：C． 5．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．熟练解不等式是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 将在数轴上表示如下： 故选：D． 6．下图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的（   ） 视力 人数 1 2 4 A．平均数，方差 B．中位数，平均数 C．中位数，众数 D．方差，中位数 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数、方差以及平均数的意义和求解方法，理解每个统计量的实际意义和求解方法是解题的关键． 根据表格中的数据，求得视力为4.9和5.0的总人数，然后根据各统计量的求解方法判断即可． 【详解】解：根据表格数据，可得视力为和的总人数为（人） 视力为所占人数最多为4，因此众数为， 从小到大排列后处在第5、6位的两个数是、，因此中位数为， 则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数， 数据不全无法求平均数，也不能求方差． 故选：C． 7．如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，判定反比例函数图象所在象限，掌握增减性是解题的关键． 根据图象的每一支上，随的增大而增大，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得，， 故选：C ． 8．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 【答案】A 【分析】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． ∴小鸡的只数可能是78， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，三角形外角得性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由题意可得为的角平分线，，则，可得，根据三角形外角性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得出答案． 【详解】由题意可得为的角平分线，， ， ，，则， ∴， ， 故选：C． 10．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（    ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小3分，共15分。 11．要使分式有意义，则x应满足条件 ． 【答案】x≠1． 【分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x−1≠0． 【详解】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 12．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》为、、、，画树状图如下： 一共有种等可能的情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有种， 这两位同学选择观看相同影片的概率为． 故答案为：． 13．两位运动员10次训练的平均成绩都是7环，其中甲成绩的方差为，乙成绩的方差为，你认为教练应选 运动员参赛更好． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了方差的意义，理解方差的意义是解题的关键． 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲运动员的成绩比乙稳定， ∵两位运动员10次训练的平均成绩都是7环， ∴应选甲运动员参赛更好． 故答案为：甲． 14．如图，直线与（且，为常数）的交点坐标为，则关于的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接．   ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分） 计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 17．（6分） 如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴． 18. （6分） 汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 19. （8分） 我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：，；任务2：B机器人的综合成绩最高；任务3：见解析 【分析】（1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； 任务2： 的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：    的综合成绩为：     ， 机器人的综合成绩最高； 任务3： ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 【点睛】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． 20. （8分） 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求k的值； (2)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、解直角三角形、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，解直角三角形得出，求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，由轴对称的性质可得，，，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，求出直线的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，，即， 将代入可得， ∴； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴． 21. （8分） 如图，是的直径，点在的延长线上，，是上的两点，，. (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】连接，根据圆周角定理可知，从而可得，再根据可得，根据切线的定义可证结论成立； 根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，根据可得，根据可以求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆周角定理，解决本题的关键是相似三角形的性质得到对应边成比例，再利用对应边成比例求出线段的长度． 22. （10分） 某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 23. （11分） 综合与实践 已知：如图1，△ABC和的顶点重合，，，，． (1)当点，分别在，边上时，_______； (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，连接． ①求证：； ②求的值； (3)如图3，将图1中的绕点顺时针分别旋转，，得到和，此时与均与垂直于点． ①求的值； ②求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3)①；② 【分析】（1）根据题意得出和是等腰直角三角形，结合，，得出，，即可求出，，即可求解． （2）①证明，得出，即可证明． ②根据，根据相似三角形的性质即可得出． （3）①如图，过点作，证明，设，则，根据旋转可得，在中，根据，列方程求出，再根据即可求解． ②求出，．在中，勾股定理求出，得出，证出为等腰三角形，根据，得出，且，，证明为等边三角形．证明，得出，即可求出，再求出，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵，， ，， ∴，， ． （2）①证明：∵，， ， ， ， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ． （3）解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据旋转可得， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． ②∵， 和都为等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，， ， ， ， 为等腰三角形， 又 ∵， ，且．（三线合一）． ∴， 为等边三角形． 由题意，， ， ， 又∵， ∴， 且， 即， ∴， ， ． 【点睛】该题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. （12分） 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． (1)分别求b、t的值； (2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确画出图形，利用分类讨论解题是关键． （1）根据二次函数的解析式可得，代入可得，再求得的坐标，代入抛物线即可； （2）①画出图形，分类讨论即可； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，分类讨论，分或，逐一分析即可． 【详解】（1）解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得， ， 把代入，可得， 解得； （2）解：①由（1）可得抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ， 将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A， 设平移后的直线解析式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线解析式为， 由题意可得点 当点在图象G的抛物线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得， 根据图象可得点在点和顶点之间，此时线段与图象G有两个交点， ， ， 故； 当点在图象G的直线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得（舍去）， 根据图象可得点在之间，此时线段与图象G有两个交点， 故； 综上，或； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，才符合题意， 如图，当点在点之间，点在之间时， ， 把代入，可得， 解得， ， ， ， 解得， ； 如图，当点在点之间，点在之间时， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$