特训09 反比例函数 压轴题（十大题型,江苏精选+其他补充）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训09 反比例函数 压轴题（十大题型） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：给出条件求角度 题型4：定值问题 题型5：平移问题 题型6：对称问题 题型7：翻折问题 题型8：交点始终在函数图像上 题型9：新定义题 题型10：以实际生活为背景的反比函数综合 题型11：分式在平面直角坐标系、几何中的应用 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． (1)若，，求点的坐标； (2)求点的横坐标； (3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 题型2：最值问题 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 题型3：给出条件求角度 7．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 题型4：定值问题 9．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点． (1)________，_________； (2)求点的坐标； (3)点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_____________________； (4)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 题型5：平移问题 12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 题型6：对称问题 14．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． 15．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）解决数学问题是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数的图像上，连接，满足，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点C分别作x轴、y轴的平行线，交点组成四边形，直线交x轴于点F，作射线OD，交于点E．    (1)①四边形的形状是 ； ②点B是否在射线上？试说明理由； (2)求证：； (3)若，过点E作y轴的平行线l，在l上存在点Q，使原点O关于直线的对称点O′ 恰好在四边形的对角线所在直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 题型7：翻折问题 16．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 题型8：交点始终在函数图像上 17．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、是反比例函数的图象上的两点，且点与点关于原点对称，直线：经过点，，设点、的横坐标分别为、（）．    (1)若，，，且点在直线上． ①求函数的表达式； ②求的面积； (2)当时，求证：； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边向左侧作矩形其中轴，且，试说明：直线与线段的交点始终在函数的图象上． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 题型9：新定义题 19．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 题型10：以实际生活为背景的反比函数综合 21．（2023·广东深圳·一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 22．（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 反比例函数 压轴题（十大题型） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：给出条件求角度 题型4：定值问题 题型5：平移问题 题型6：对称问题 题型7：翻折问题 题型8：交点始终在函数图像上 题型9：新定义题 题型10：以实际生活为背景的反比函数综合 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【解析】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． (1)若，，求点的坐标； (2)求点的横坐标； (3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点横坐标为； (3)存在，． 【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可； （）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可． （）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴； （2）解：设点的坐标为， 过点作，垂足为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点横坐标为； （3）解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下： 设点的坐标为，则，， 由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等， ∴， 整理得，， ∴． 3．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)①，；②点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 【解析】（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ②， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①；②不存在，见解析 (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： （1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标； ②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意； （2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值． 【解析】（1）①当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在； （2）设， ∵， ∴， ∴ 将点代入，得， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴． 题型2：最值问题 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)； 【分析】（1）由正方形，，可得，将代入反比例函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，当时，，即，将代入，可求，则一次函数的表达式为：，当时，，可求，则； （2）待定系数法求直线的表达式为：；如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N，设，则，证明，则，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，即，可求，即，同理，直线的表达式为：，设交于点T，当时，，即，，证明，则，； （3）如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， 证明四边形为平行四边形，则，由四边形的周长为，可知此时四边形的周长最小，由勾股定理得，，，则四边形的周长的最小值为；同理，直线的表达式为，当时，，可求，则点M． 【解析】（1）解：∵正方形，， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为：， 当时，，即， 将代入得，， 解得，， ∴一次函数的表达式为：， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：； 如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 设交于点T， 当时，，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为， ∴此时四边形的周长最小， ∵， 由勾股定理得，，， ∴四边形的周长的最小值为； 同理，直线的表达式为， 当时，， 解得， ∴点M， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 【答案】(1)①；②，，发现 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及图像问题，坐标两点的距离公式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据题意利用待定系数法将点求出，再代入点，求出，所以点，将两点A、B分别代入一次函数即可得出答案； ②由①得出方程式可知点，，得，，发现． （2）根据题意将，点分别代入函数得，解得，即一次函数为，得到点，，进而得出，发现恒成立． （3）根据题意得出点E坐标，，所以，求出的一次函数，延长交于y轴于点M，即函数也是函数，求出点M坐标为，因为②中得出结论，即可得出中点N的坐标为，代入函数即可得到答案． 【解析】（1）解：①∵两点A、B是与的交点， ∴将点A代入，解得，再代入点，解得， ∴， 将两点A、B分别代入得：，解得， 故答案为：． ②由①知一次函数为，即，， ∴，， j即． （2）解：②中的结论是否仍然成立，理由如下： 把点，点代入一次函数中得：，解得：， ∴一次函数解析式为：； 当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∴，， ，仍然成立． （3）解：∵四边形是矩形，点，， ∴， 如图2 延长交y轴于M，设直线得解析式为：， 则，解得：， ∴直线得解析式为：， 当时，， ∴， ∴的中点N的坐标为， 在②中对于任意两点，②中得结论都成立， ∴当反比例函数于矩形的对角线有交点N时，k有最大值，此时． 故答案为：4.5． 题型3：给出条件求角度 7．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 【答案】(1), (2)点Q的坐标为：，， (3) 【分析】本题考查反比例函数与特殊四边形存在性问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及平行四边形和正方形的性质是解题的关键． （1）根据得到的值，进而得到的坐标， 再由点E为AD中点，，通过中点坐标公式得到的值，得到点坐标，将点代入即可得到k的值； （2）根据题意若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，可分①当为对角线时， ②当为对角线时，③当为对角线时三种情况讨论，即可得到所有点Q的坐标； （3）过点作于，作于，连接，根据正方形的性质易证得，进而得到是等腰直角三角形，故可得的度数． 【解析】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵E为中点，， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴． （2）解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， ①当为对角线时， 根据中点坐标公式可得：，， 则有，， 解得：，， ∴，， ∴，， ②当为对角线时，同理可得，， ③当为对角线时，同理可得，； 综上所述：点Q的坐标为：，，． （3）解：过点作于，作于，连接，如图 ： ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①说明见解析；；② 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 【解析】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型4：定值问题 9．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知点，，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线上经过C、D． (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q为平面里一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数是否发生改变？若改变，写出其变化范围；若不改变，请求出其值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)不变， 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，然后分，，，根据勾股定理，一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质等求解即可； （3）连接，，过N作于Q，交于P，证明四边形是矩形，得出，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，结合，可得，最后根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出． 【解析】（1）解：∵，为中点且点E在y轴上， ∴， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴ ∴， ∵C、D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，则若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形， 设， 则，，， ①当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， 当时，；当时， ∴或， 设， 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 则， 解得， ∴； 当时， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 设平行于且与有唯一交点Q的直线为， 联立方程组， 整理得， ∴， 解得， ∴直线为或， 当时， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴不存在点P，使， 同理当时，不存在点P，使， ∴不存在， 综上，点Q的坐标为或或或； （3）解：不变， 理由：连接，，过N作于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点． (1)________，_________； (2)求点的坐标； (3)点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_____________________； (4)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1)； (2) (3)或或 (4)的值不发生改变，其值为，理由见解析 【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，故可得出、两点的坐标； （2）设，由，，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （3确定反比例函数的解析式为，由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标； （4）连接、、，证明，得，，，可得结论． 【解析】（1）解：∵，且，， ∴， 解得：， 故答案为：；； （2）由（1）知：，， ∴，， ∵为中点， ∴（表示点的横坐标）， 设， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， 即线段向右平移个单位再向下平移个单位得到，则点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）知：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①如图，当为边且点在点的上方时，若四边形为平行四边形， 又∵，， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为边且点在点的下方时，若四边形为平行四边形， 又∵，， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； ②如图，当为对角线时，若四边形为平行四边形， 则，且， ∵，， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或， 故答案为：或或； （4）的值不变，为． 理由：连接、、， ∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在四边形中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在上运动时，的值不发生改变，其值为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，绝对值和算术平方根的非负性，平移的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，垂直平分线的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解题的关键是分类讨论的正确运用、通过作辅助线构造全等三角形． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【解析】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 题型5：平移问题 12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答； （2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可； （3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可． 【解析】（1）解：把点分别代入和中可得： ，，解得： ∴，． （2）解：设，则， ∴， ∵四边形的面积等于24， ∴,即， 整理得：，解得： 检验：是原方程的解， ∵， ∴，则． ∴． （3）解：由平移可得：, ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去） 经检验是方程组的解， ∴点 ∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 由 (2)可得：， ∴， ∵ ， ∴， 如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M， ∵， ∴, ∴ N为的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴； 如图，当点M位于外部时，作于，连接， ∵， ∴, ∵， ∴关于对称，， 设直线的解析式为:, 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则的中点在直线上， ∴在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，整理得：，解得:， ∴或， 经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴． 综上所述，M的坐标为或 ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，， ，再根据题中定义得到，进而有，根据等角对等边求得即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质推导出，根据题中定义可证得结论； （3）先求得点A、B、E及其平移后对应点的坐标，再分点和落在反比例函数的图像上和点和落在反比例函数的图像上两种情况，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到a和k的方程，进而求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形平行四边形，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴，则， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴是等边三角形，则，， 过E作于H，    ∴则，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 将四边形向左平移a（）个单位后，点A的对应点坐标为，点B的对应点坐标为，点E的对应点坐标为， ∵平移后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上， ∴分两种情况： 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时； 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时， 综上，满足条件的k值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、平移性质、求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 题型6：对称问题 14．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)点或 【分析】（1）先根据待定系数法求出直线的解析式，再把点C坐标代入求出a，再代入反比例函数解析式即可求出k； （2）先求出点E坐标，当点D在x轴正半轴上时，由于的面积与的面积相等，进而可得，设直线的解析式为，把点代入即可求出c，进而可得点D坐标，再根据对称性求出另外一种情况即可； （3）由题意可知：，再分两种情况：当点F在M左侧时，如图，作出辅助线构建三垂直全等三角形，证明，推出，，设，然后用含t的代数式表示出点F的坐标，再代入直线的关系式求解；当点F在M右侧时，同理求解即可． 【解析】（1）设直线的解析式为 将点，代入，得，解得， ∴， 将点代入，得，解得， ∴， 将点代入，得， ∴； （2）把点代入，得， ∴， 当点D在x轴正半轴上时， 设点到的距离为，点到的距离为 因为的面积与的面积相等，所以， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∴，令得， ∴． 当点在轴的负半轴时，根据对称性可得， ∴， ∴或；    （3）由题意可知：， 当点F在M左侧时，如图，过点作轴，过点作于点，过点G作于点， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点．    当点F在M右侧时，如图，过点M作轴，交x轴于点Q，过点F作于点H， 同理可证， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 综上，点或．      【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 15．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）解决数学问题是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数的图像上，连接，满足，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点C分别作x轴、y轴的平行线，交点组成四边形，直线交x轴于点F，作射线OD，交于点E．    (1)①四边形的形状是 ； ②点B是否在射线上？试说明理由； (2)求证：； (3)若，过点E作y轴的平行线l，在l上存在点Q，使原点O关于直线的对称点O′ 恰好在四边形的对角线所在直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)①矩形；②点B在射线上，理由见解析 (2)见解析 (3)点Q的坐标为：或 【分析】（1）①先证四边形 是平行四边形，可得轴可求 ，可得结论； ②先求解析式，再将点坐标代入，即可求解； （2）由矩形的性质可证 ，由等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）先求出点 的坐标，分两种情况讨论，求出的解析式，将点的横坐标代入可求解． 【解析】（1）①如图，延长至， ∵过点分别作轴、轴的平行线，过点分别作轴、轴的平行线， ∴四边形是平行四边形， ∴ 轴， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形；    ②点在射线上，理由如下： 设点，点 ， ∴点 ，点， ∴直线的表达式为：， 当 时， ， ∴点在射线上； （2）证明：∵四边形是矩形， 即 ； （3）如图，过点 作 于 ，延长 交 于 ，设直线l交 交于点 ， E是中点 ∵原点关于直线的对称点恰好在四边形的对角线所在直线上，， ∴点与点重合或点在线段的延长线上 当点与点重合时 ∵点与点关于直线对称 ∴垂直平分 设 与 交于点 ∴点 ∴直线 的解析式为 当时， 当点 在 的延长线上时 ∵ 点 与点 关于直线 对称 同理可求：直线 的解析式为 当 时， ∴点 综上所述：点 的坐标为 或 ．    【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型7：翻折问题 16．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【解析】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型8：交点始终在函数图像上 17．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、是反比例函数的图象上的两点，且点与点关于原点对称，直线：经过点，，设点、的横坐标分别为、（）．    (1)若，，，且点在直线上． ①求函数的表达式； ②求的面积； (2)当时，求证：； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边向左侧作矩形其中轴，且，试说明：直线与线段的交点始终在函数的图象上． 【答案】(1)①；②； (2)见解析； (3)见解析 【分析】（1）①先求出点，，不规则用待定系数法求出函数的表达式即可； ②设直线与轴交于点，直线交轴于，则，根据中心对称点的坐标特征求得，再用待定系数法求出直线解析式为，继而求出，然后利用求解即可； （2）先求出，，，当，则，即代入计算即可得出结论； （3）根据可得，又点的在直线：上，所以，则，所以或，再根据交直线，求得，从而求出，继而求得，然后证明，即可得出结论． 【解析】（1）解：①当时，则， 当时，把代入，得， ∴， 当时，把代入，得， ∴， 把，代入，得 ，解得：， ∴； ②令，则， ∴， 设直线与轴交于点，直线交轴于，则，    ∵点与点关于原点对称， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴， 同理可得， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴； （3）解：∵点的横坐标为，点的在反比例函数的图像上， ∴， 又点的在直线：上， ∴， ∴，则或， ∵交直线：于点，， ∴， ∴    ∵， 即 ∴， ∵轴， ∴点横向坐标为，纵坐标与点纵坐标相同，为， ∴， ∵矩形，轴， ∴轴， 把代入，求得， ∴直线与线段的交点， ∴ ∴直线与线段的交点始终在反比例函数的图像上． 【点睛】本题考查用待定数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积，本题属一次函数与反比例关系函数综合、函数与几何综合题目，难度较大，属中考试常考题目． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【解析】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 题型9：新定义题 19．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【解析】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 【答案】(1)①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 (2)是定值，定值是2 (3)，或或或 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）由得直线过定点，结合函数的图象关于点中心对称可得，两函数交点P，Q关于对称，据此即可求解； （3）求出直线、的解析式可得点，进而可得；根据为的中点，且为函数的对称中心，可得以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线；结合， 可得的高是高的一半，据此即可求解； 【解析】（1）解：由图可知：①函数的图象关于点中心对称； 函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象; 故答案为：①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 （2）解：的值是定值，理由如下： ∵, 则直线过定点 ∵函数的图象关于点中心对称 ∴则两函数交点P，Q关于对称, ∵点P的横坐标是， ∴点Q的横坐标是， 又Q的纵坐标为, ∴, 将代入得， ∴, 整理得 （3）解：由题意可得： 则直线的解析式为： 设直线的解析式为： 则，得 ∴直线的解析式为： 令，可得， ∴ 将、代入函数可得： ，解得： ∴ ∵为的中点， ∴ ∵， ∴将函数向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数 即：为函数的对称中心， ∴， ∵ ∴以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9， ∴， ∵ ∴的高是高的一半， 如图所示：    令函数中，可得， ∴，且为中点， ∴ ∵， 可得点是的三等分点， ∴ 关于的对称点为，关于的对称点为 综上所述，点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了函数图像的平移、平行四边形的判定与性质、中心对称等知识点，综合性较强，旨在考查学生的“举一反三”和“知识迁移”能力． 题型10：以实际生活为背景的反比函数综合 21．（2023·广东深圳·一模）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】（1）；（2），；（3）80米 【分析】 （1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【解析】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 22．（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【解析】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$