专题04 一次函数的实际应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 一次函数的实际应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 知识点、用一次函数解决实际问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 1（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 2．（24-25九年级下·湖南常德·期中）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）即墨区某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条定价50元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案． 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 城阳区某服装店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条． (1)采用方案一和方案二的采购费用分别为元和元，分别求出，与x的函数关系式； (2)请根据x的不同取值，帮助服装店老板选择最省钱的方案． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品 素材1 此商店若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． 素材2 若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元； 素材3 该商店销售每件A种纪念品可获利润20元，销售每件B种纪念品可获利润30元； 问题解决 任务1 探求商品单价 求出购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ 任务2 探究购买方案 求出该商店有几种进货方案； 任务3 确定最优方案 在所有的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 1．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 所需费用（元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 2．（24-25八年级下·四川内江·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 3．（广西南宁二中初中大学区2024--2025学年下学期期中考试八年级数学试题）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（2025·吉林松原·一模）已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 1．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，与分别是根据小明步行与小亮骑自行车同时出发在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图像． (1)求所在直线的函数解析式； (2)假设小亮的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，求出发几小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点多少千米． 3．（24-25八年级下·四川内江·期中）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲登山上升的速度是每分钟米，乙在地时距地面的高度为_______米； (2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式（写出自变量范围）； (3)在乙达到山顶前，登山时间为________分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单．独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 2．（2024·安徽合肥·一模）为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程．第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y（亩）与工作时间x（天）满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造． (1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数； (2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同．求第二批任务的改造总价． 3、（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（2025·陕西西安·三模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组进行了两组实验．实验发现，电池充电时，电动汽车仪表盘增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系数据记录如图1：电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： (1)观察图1、图2，分别求出关于的函数表达式及关于的函数表达式； (2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若该电动汽车要坚持到达目的地，需在途中的服务区至少充电多少分钟？ 1．（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． (1)甲采摘园的门票费用是 元； (2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； (3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 2．（24-25八年级下·重庆·期中）“暖心小包”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元／个，豆浆2元／杯，肉包的总金额（单位：元）随购买个数（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数． 新店开张，为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场八五折（运费不打折） 方案二：①每买5个肉包赠送2杯豆浆 ②每买3个菜包赠送1杯豆浆 (1)求购买肉包的总价（单位：元）与购买肉包个数（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． (2)家住距离早餐店的某客户想要在“暖心小包”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆杯数，并列举此时该客户的购买方案． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； (2)若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（2025·陕西商洛·一模）物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … (1)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； (3)在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）某小区儿童游泳池的容积为，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止． (1)当注水2小时，此时蓄水量为多少？注水多长时间水量达到总容积的一半？ (2)写出水池中水的体积与进水时间之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 2、（24-25八年级上·河南驻马店·期中）有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池甲、乙两个蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数关系式为结合图象回答下列问题： (1)求出乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式； (2)图中交点的坐标是______，表示的实际意义是______； (3)当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积倍时，求甲池中水的深度． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 1．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的可变点．例如：对于点，因为，所以，即点的可变点的坐标是； (1)点的可变点的坐标是________；点的可变点的坐标是________； (2)点，中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是________；（填“A”或“B”） (3)若点A在函数的图象上，求其可变点B的纵坐标的取值范围； (4)若点A在函数的图象上，其可变点B的纵坐标的取值范围是，直接写出a的取值范围 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点． (1)求a，m的值； (2)当线段最短时，求的长和点B的坐标； (3)在x轴上是否存在一点M，使的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______． (2)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 1．（2025年四川省南充市中考模拟预测数学试题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴，轴交于，两点，若的面积为5．且该直线与正比例函数的交点在第一象限，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．下列说法错误的是（   ） A．甲车的速度为 B．B、C两地之间的距离； C．后乙追上甲 D．当两车相距40千米时，甲车行驶了或． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（   ） A．摩托车的平均速度是 B．自行车比摩托车早出发2小时 C． D． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为 元． 8．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    9．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 10．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，正方形…，正方形，使得点、、、…、在直线上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的背提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元， (1)求每千克红提和青提进价各是多少元． (2)若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 12．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需元． (1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． (1)求两直线的交点坐标； (2)轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 15．（24-25九年级下·天津·期中）年3月日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离学校的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)填空： ①学校到科技馆的距离是 m； ②小明等待红绿灯所用的时间为 ； ③小明在整个途中，骑行的最快速度是 ； ④小明在整个途中，共行驶了 m． (2)①直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即）期间，他离科技馆的距离与离开学校时间之间的函数关系： ②当小明离开学校时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的实际应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 知识点、用一次函数解决实际问题 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 【答案】(1)， (2)该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，由甲乙商店的优惠方案可得，甲商店购买的费用；乙商店购买的费用，进而可以判断得解； （2）依据题意，要使得乙商店购买的费用少，则，从而，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，甲商店购买的费用； 乙商店购买的费用． （2）解：由题意，要使得乙商店购买的费用少， ． ． ． 又， ． 答：该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少． 1（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 2．（24-25九年级下·湖南常德·期中）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务：万元、万元 任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台， 则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）， 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多． 3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）即墨区某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条定价50元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案． 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 城阳区某服装店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条． (1)采用方案一和方案二的采购费用分别为元和元，分别求出，与x的函数关系式； (2)请根据x的不同取值，帮助服装店老板选择最省钱的方案． 【答案】(1), (2)当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程和不等式的应用，读懂题意，正确列出一次函数是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别表示即可； （2）根据题意分3种情况列出不等式或方程求解判断即可． 【详解】（1）解：采用方案一购买，应付款：（元）， 采用方案二购买，应付款：（元）； （2）解：先按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买， 此时应付款：（元）， ∵， ∴此时比全部按方案二购买更省钱； 当时， 解得， ∴当时，按方案一购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按方案二购买比全部按方案一购买更省钱； 当时， 解得，即按方案一购买30套西服，并获赠30条领带， ∴当时，全部按方案一购买更省钱； 答：当时，全部按方案一购买更省钱；当时，先按方案一购买30套西服，然后余下的条领带按方案二购买更省钱． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品 素材1 此商店若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． 素材2 若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元； 素材3 该商店销售每件A种纪念品可获利润20元，销售每件B种纪念品可获利润30元； 问题解决 任务1 探求商品单价 求出购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ 任务2 探究购买方案 求出该商店有几种进货方案； 任务3 确定最优方案 在所有的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；（2）11种 （3）当该商店购进A种纪念品40件，购进B种纪念品有60件时，利润获取最大为2600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是找出题目中隐含的数量关系，根据数量关系列出相应关系式． （1）根据关系式：A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件需要钱数为950元，A种念品5 件所需钱数加上B 种纪念品 6 件所需钱数为800元，列出二元一次方程组，解之即可． （2）根据关系式：用于购买这 100 件纪念品的资金不少于 7000 元，但不超过 7500 元，列出不等式组，解之即可． （3）设利润为W，根据题意得：，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元． 根据题意得： 解方程组得： 所以购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元． （2）设该商店购进A种纪念品件，则购进B种纪念品有件， 根据题意得： 解得： ∵取正整数 ∴共有11种进货方案． （3）设利润为W，根据题意得： 即： 由一次函数的性质可知，此函数W随的增大而减小，且 所以当时，W取最大值即2600元． 即当该商店购进A种纪念品40件，购进B种纪念品有60件时，利润获取最大为2600元． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 所需费用（元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元； (2)当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元． 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，根据A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，列出不等式求出的范围，设获得的利润为w元，根据总利润等于两种商品的利润和，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元； （2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件， 由题意得：， 解得：， 设获得的利润为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最大值， 此时，， 答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元 2．（24-25八年级下·四川内江·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 (2)最少要花3210元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 3．（广西南宁二中初中大学区2024--2025学年下学期期中考试八年级数学试题）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、正确列出函数解析式以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）由图直接列式计算即可求得甲种绿植每平米的种植费； （2）直接运用待定系数法求解即可； （2）设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米，根据实际意义可以确定x的范围，结合种植总费用w（元）与种植面积之间的函数关系可以分类讨论，从而得到最少费用即可． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120． （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式． （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（2025·吉林松原·一模）已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 【答案】(1)4；9； (2)； (3)、、． 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象表示的甲5小时匀速行驶20千米，得到其速度为4；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为9； （2）乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据甲乙相距，，当时，求出，推出t不存在；当时， ，推出或；当时，，推出． 【详解】（1）解：甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； （2）解：乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为， 由（1）可得：函数过，， ∴， 解得：， ∴乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为：； （3）解：由（1）知，， 当时，设， 把，代入， 得，，解得，， ∴， ∴，，不合题意，t不存在； 当时，由（2）知，， 若，则， 若，则； 当时，， ∴，． 故甲乙相距时甲行驶的时间为： 、、． 1．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1) (2)200千米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，    根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴， ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，与分别是根据小明步行与小亮骑自行车同时出发在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图像． (1)求所在直线的函数解析式； (2)假设小亮的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，求出发几小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点多少千米． 【答案】(1) (2)自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，结合图象及一次函数的性质求解是解题关键． （1）设的解析式为：，利用待定系数法代入求解即可； （2）设自行车不发生故障时，函数解析式为，确定函数解析式为，然后联立两个函数即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由题意得：， 解得：， 的解析式为：， （2）解：设自行车不发生故障时，函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， ∴自行车不发生故障，函数解析式为， 由解得：． 遇点离小明的出发点千米， ∴自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点千米． 3．（24-25八年级下·四川内江·期中）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲登山上升的速度是每分钟米，乙在地时距地面的高度为_______米； (2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式（写出自变量范围）； (3)在乙达到山顶前，登山时间为________分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是列出函数关系式与方程； （1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在地时距地面的高度的值； （2）分和两种情况，根据高度初始高度速度时间即可得出关于的函数关系； （3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中关于的函数关系式，令二者做差等于即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值；当乙到达终点时，用终点的高度甲登山全程中关于的函数关系式，即可得出关于的一元一次方程，解之可求出值．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：(米分钟)， ． 故答案为：；． （2）当时，； 当时，． 当时，． 乙登山全程中，距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为． （3）甲登山全程中，距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为)． 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 答：登山分钟、分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单．独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)甲装修公司工作9天，乙装修公司工作6天，最少费用为19800元 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是本题的关键． （1）甲、乙两家装修公司的工作效率分别是和；设剩下的工作乙装修公司需天完成，根据题意列关于的方程，并将表示为的函数，从而根据“装修的总费用甲装修公司的费用每天的费用甲装修公司工作的天数乙装修公司的费用每天的费用乙装修公司工作的天数”写出与之间的函数关系式即可； （2）甲、乙两个装修公司工作的总天数为天，将关于的函数关系式代入，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；根据（1）中求得的函数的增减性和的取值范围，确定当为何值时的值最小，求出其最小值，并将此时的值代入关于的函数关系式求出的值即可． 【详解】（1）解：设剩下的工作乙装修公司需天完成， 根据题意，得， 解得， 则，即， 与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， 解得； ，， 随的增大而减小， 当时，的值最小，，此时， 甲装修公司工作9天，乙装修公司工作6天，装修总费用最少，最少费用是19800元． 2．（2024·安徽合肥·一模）为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程．第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y（亩）与工作时间x（天）满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造． (1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数； (2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同．求第二批任务的改造总价． 【答案】(1)第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩； (2)第二批任务的改造总价为6000000元． 【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元一次方程； （1）设待改造的高标准农田（亩）与工作时间（天）的一次函数关系式为，用待定系数法可得，令即得第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩； （2）设第二批任务中每亩改造价格为元，由这两批任务的改造总价相同得：，解得：，即可求出答案． 【详解】（1）解：设待改造的高标准农田（亩）与工作时间（天）的一次函数关系式为， 由题意得：， 解得， ， 令得， 第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩； （2）解：设第二批任务中每亩改造价格为元， 由题意得：， 解得：， （元）， 答：第二批任务的改造总价为6000000元． 3、（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【答案】(1)30；3 (2) (3)10 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可； （2）设乙工程队停工后关于的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量的取值范围； （3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做， 甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天， ∴甲每天铺设（米）； 故答案为：30；3； （2）解：设乙工程队停工后关于的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ； （3）解：甲工程队每天铺设沥青（米）， 甲乙合作每天铺设沥青（米）， 乙工程队每天铺设沥青（米），乙工程队铺设沥青的总长度为（米）， 设乙工程队已停工的天数为， 则， 解得：， 答：乙工程队已停工的天数为10天． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（2025·陕西西安·三模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组进行了两组实验．实验发现，电池充电时，电动汽车仪表盘增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系数据记录如图1：电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： (1)观察图1、图2，分别求出关于的函数表达式及关于的函数表达式； (2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若该电动汽车要坚持到达目的地，需在途中的服务区至少充电多少分钟？ 【答案】(1)，； (2)20分钟． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题关键是求出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解； （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出满电时汽车最远走多远，再求出还需要走多少千米，再判定充电时间即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得，解得， ∴关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入，得， 解得 ∴关于的函数表达式为． （2）（2）当时，， 当时，，， 当时，， ∴电动汽车在服务区充电至少20分钟． 1．（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． (1)甲采摘园的门票费用是 元； (2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； (3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【答案】(1)48 (2) (3)8千克或13千克 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用， （2）分和用待定系数法可求得； （3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可． 【详解】（1）解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元， ∴甲采摘园的门票费用是48元． 故答案为：48； （2）当时： 设， 把代入，得， 解得， ∴． 当时： 设，把和代入，得 解得 ∴ 综上， （3）∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得 甲采摘园的费用函数为． 分情况讨论： 当时，令， 解得， 当时，令， 解得， ∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）“暖心小包”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元／个，豆浆2元／杯，肉包的总金额（单位：元）随购买个数（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数． 新店开张，为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场八五折（运费不打折） 方案二：①每买5个肉包赠送2杯豆浆 ②每买3个菜包赠送1杯豆浆 (1)求购买肉包的总价（单位：元）与购买肉包个数（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． (2)家住距离早餐店的某客户想要在“暖心小包”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆杯数，并列举此时该客户的购买方案． 【答案】(1) (2)在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案二购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆，赠送8杯豆浆即可． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，根据题意分情况讨论是解题关键 （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意得出肉包买20个，菜包买0个，设购买豆浆碗，依据方案列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当时， 设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 综上可得：； （2）∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：27， 选择方案二：①购买20个肉包，赠送了8杯豆浆， ∴， 解得：， ∴的最大值为：20； ∴豆浆共有20+8=28杯； 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案二购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆，赠送8杯豆浆即可． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【答案】(1)30 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据单价总价数量，即可解决问题． （2）函数表达式单价数量，与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （3）画出函数图象后，根据在下面即可解决问题． 【详解】（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克（元） 故答案为：30； （2）解：由题意知 由图可得，当时，； 当时，设， 将和代入， 得， 解得， ∴， ∴， （3）解：函数的图象如图所示， 由， 解得， ∴点的坐标为； 由， 解得， ∴点的坐标为； 由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围是． 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解和的值； （2）设，则可求，利用求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴直线， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：如图，设， ∵点在轴上，且在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∵的面积为， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标为或． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，求出，根据四边形是平行四边形，可得出，求出x的值即可求解； （3）分类讨论，当D在y轴的左侧和右侧，根据折叠的性质、等角对等边等可得出，构建方程求解即可． 【详解】（1）解∶对于， 当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， 设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的面积为； （3）解：当D在轴左侧时，如图， ， ∵翻折， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴D的坐标为或； 当D在y轴的右侧，如图， 同理， 设，则， ∴， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上，D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； (2)若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 【答案】(1)；， (2)，，． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，正确求出k的值是解题的关键， （1）根据待定系数法即可求得k的值，求得直线的解析式，然后根据坐标轴上点的坐标特征求得A、B的坐标； （2）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，由勾股定理即可求得Q的坐标． 【详解】（1）∵将点代入直线中，得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵直线与y轴交于点B，与x轴交于点A， 令，则． 解得， ∴点的坐标为． 令，则， ∴点的坐标为． （2）∵，， ∴． ∵点在轴上，设点的坐标为． 情况一：当时，，即． 解得， ∵， ∴． 情况二：当时，． 则或． 当时， 解得， ∴ ；当时， 解得， ∴． ∴综上所述：点Q坐标为，，． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（2025·陕西商洛·一模）物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … (1)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； (3)在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析，一次 (2) (3)将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出．理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）先描点，再画图，再根据图象判断函数类型即可； （2）先利用待定系数法求解函数解析式，再检验即可； （3）把代入计算的值，再与比较即可． 【详解】（1）解：如图，描点画图如下： 根据图象可得：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的一次函数； （2）解：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为， 把与代入可得： ， 解得：， ∴体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为； 经检验，解析式符合题意； （3）解：当时， ∴， ∵， ∴将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）某小区儿童游泳池的容积为，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止． (1)当注水2小时，此时蓄水量为多少？注水多长时间水量达到总容积的一半？ (2)写出水池中水的体积与进水时间之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】(1)注水2小时的蓄水量为，注水水量达到总容积的一半 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据蓄水量=原有的水量+后来注进的水量求解即可； （2）根据容器中水量的变化情况得出关系式即可； （3）列表法可以画出函数的图象． 【详解】（1）解：注水2小时的蓄水量：， ∵容积的一半为， ∴水量达到总容积的一半所需时间：， 答：注水2小时的蓄水量为，注水水量达到总容积的一半． （2）解：， 当时，，解得， ∴自变量取值范围：； （3）解：如图所示： 2、（24-25八年级上·河南驻马店·期中）有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池甲、乙两个蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数关系式为结合图象回答下列问题： (1)求出乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式； (2)图中交点的坐标是______，表示的实际意义是______； (3)当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积倍时，求甲池中水的深度． 【答案】(1) (2)，注水小时两个蓄水池的深度相同为米 (3)米 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）令求出甲与轴的交点坐标，设乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式为，然后利用待定系数法即可求一次函数解析式； （2）联立两函数解析式解方程组即可得到点的坐标； （3）求出甲乙两个蓄水池的底面积的比，再求出乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比，然后根据两函数解析式列式求出的值，然后代入甲求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：设乙与的关系式为， 则函数图象经过点，， ∴， 解得， ； （2）解：联立， 解得， 点， 表示的实际意义：注水小时两个蓄水池的深度相同为米； 故答案为：，注水小时两个蓄水池的深度相同为米； （3）解：甲水池的水降低米时乙水池的水上升米， 甲、乙两个蓄水池的底面积的比为， 乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积倍时的高度的比为， ， 解得， 把代入得，米． 答：甲池中水深米． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为：， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 【答案】(1)与 (2)20 【分析】（1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． （2）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴， 解得， 故k的值为20． 1．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的可变点．例如：对于点，因为，所以，即点的可变点的坐标是； (1)点的可变点的坐标是________；点的可变点的坐标是________； (2)点，中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是________；（填“A”或“B”） (3)若点A在函数的图象上，求其可变点B的纵坐标的取值范围； (4)若点A在函数的图象上，其可变点B的纵坐标的取值范围是，直接写出a的取值范围 【答案】(1)， (2)A (3)或 (4) 【分析】本题考查坐标与图象，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据可变点的定义，进行求解即可； （2）求出可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）求出，，的函数值，根据可变点的定义求出的范围即可； （4）易得点在函数上，得到当当时，有最大值为：，求出时，的值，即可得出的范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点的可变点的坐标是； ∵， ∴点的可变点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：由题意，点，的可变点分别为：， 对于函数，当时，，当时，， 即：点在函数的图象上， ∴点的可变点在函数的图象上； 故答案为：A； （3）解：∵点在上， ∴当时，，当时，，当时，， 设， 由题意，得：当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上：或； （4）解：由题意可知，点在函数上， ∴当时，有最大值为：， ∵， 当时，，解得：或，解得：， ∴当时，可变点B的纵坐标的取值范围是． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，满足条件的所有点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答； （1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）根据，解出或，将其代入即可解答； （3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答； 【详解】（1）解：对于，当时，． 所以点E的坐标为． 将，代入， 得， 解得． ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 解得或． 当时，， 解得； 当时，， 解得． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在． 设点，则，． 所以，． 分两种情况： ①当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 1．（2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）可先求得A、B坐标，再求得，从而可证得轴，则可求得C点坐标； （2）由对称性可知点D在y轴上，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）可设，可表示出和的长，分和三种情况，可分别得到关于t的方程，则可求得t的值，可求得E点坐标． 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得轴是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用E点坐标分别表示出的长是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点． (1)求a，m的值； (2)当线段最短时，求的长和点B的坐标； (3)在x轴上是否存在一点M，使的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)存在，． 【分析】（1）点在直线上求得m，结合两直线得交点求得点，代入即可求得a的值； （2）过点A作直线的垂线，垂足为C，求得点，结合直线的解析式求得点，则，根据直线与坐标轴交点判定为等腰直角三角形，过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则，那么，线段最短时，点B位于点C，其值为，且； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则最小，求得直线的解析式为，令解得即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴，解得； （2）解：如图，过点A作直线的垂线，垂足为C， ∵直线与y轴交于点D， ∴点，即， ∵直线的解析式为， ∴点，即， 则， ∵直线与坐标轴交于点和， ∴， 则为等腰直角三角形， 过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则， 那么，线段最短时，点B位于点C，其值为， 此时，， 即当线段最短时，求的长和点B； （3）解：存在，理由如下： 如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M， 则， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为， ∵点 ∴，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 则的值最小时，点． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质和轴对称的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和几何图形的结合． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______． (2)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点 (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； （2）存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一次函数的几何应用： （1）利用非负数的性质可得，即可求解； （2）先证明，得出，，设，点的坐标为，可求出直线的函数表达式，即可． 【详解】（1）解：． 且， 解得：， 即点的坐标分别为， ∴， ； （2）解：如图所示，过点作轴于．   为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的函数表达式为，由题意得： ， 解得：，， 直线的函数表达式为， 当时，， 与轴的交点坐标为， 即点． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，结合点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据的面积，列出函数解析式，再求出时，的值，进而求出点P的坐标即可； （4）先求出点坐标，进而求出的长，设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，， ∴； （2）把代入，得： ，解的：， ∴； （3）由题意，得：， 当时，点在线段上， ∴， ∴的面积为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （4）∵，把，代入，得：， ∴， ∴， 设， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：； ②当时，则：，解得：， ∴， ∴； ③当时，过点作轴，则：， ∴； 综上：，，． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，关于y轴的对称点的特征； （1）先根据对称确定出点关于y轴的对称点，再代入点即可求出的值； （2）确定直线的关系式，若的面积为15，以为底，因此高为，即点的纵坐标为或，然后代入直线的关系式求出点的坐标． 【详解】（1）∵点关于y轴的对称点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得 （2）由可得一次函数解析式为， 令，解得， ∴， ∴， 设， ， ，即或， 是直线上的一个动点， 当时，即，解得：， ， 当时，即，解得：， ， 综上，点的坐标为或． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，结合点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据的面积，列出函数解析式，再求出时，的值，进而求出点P的坐标即可； （4）先求出点坐标，进而求出的长，设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，， ∴； （2）把代入，得： ，解的：， ∴； （3）由题意，得：， 当时，点在线段上， ∴， ∴的面积为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （4）∵，把，代入，得：， ∴， ∴， 设， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：； ②当时，则：，解得：， ∴， ∴； ③当时，过点作轴，则：， ∴； 综上：，，． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴、y轴正半轴分别相交于E，F两点，其中点P是直线上的一个动点，点关于y轴的对称点恰好落在该函数图像上． (1)求k的值； (2)若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，关于y轴的对称点的特征； （1）先根据对称确定出点关于y轴的对称点，再代入点即可求出的值； （2）确定直线的关系式，若的面积为15，以为底，因此高为，即点的纵坐标为或，然后代入直线的关系式求出点的坐标． 【详解】（1）∵点关于y轴的对称点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得 （2）由可得一次函数解析式为， 令，解得， ∴， ∴， 设， ， ，即或， 是直线上的一个动点， 当时，即，解得：， ， 当时，即，解得：， ， 综上，点的坐标为或． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 【答案】(1)， (2)A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小为9280元 (3)当时，A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小；当时，A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨，此时总运费最小 【分析】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用． （1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时，当时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 化简可得，其中； （2）w随x增大而增大，故当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨； （3）此时w与x之间的函数关系变为， 当时，w随x增大而增大，仍当时w最小，此时维持原调运方案不变； 当时，w随x增大而减小，当时w最小，此时应让A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)6 (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法计算三角形面积即可； （3）连接交轴于点，连接，此时满足的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，则，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：连接交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)能，点的坐标为 【分析】（1）令及可以求出，点的坐标，要求点，的坐标首先需要证，证出，即可求出的坐标，同理可以求出点的坐标； （2）先作出关于x轴的对称点，连接，与轴交点就是符合条件的点，求出的坐标，进而求出直线，再求出与轴交点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的坐标， 当时， ， ∴的坐标， 如图所示，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D的坐标为， 同理可得C的坐标为； 故答案为：，，，． （2）点关于轴对称的点为 直线与轴的交点就是能使的长最小的点 设直线的函数解析式为 直线的函数解析式为 把代入得 点的坐标为 【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 【答案】(1)， (2)A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小为9280元 (3)当时，A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小；当时，A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨，此时总运费最小 【分析】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用． （1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时，当时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 化简可得，其中； （2）w随x增大而增大，故当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨； （3）此时w与x之间的函数关系变为， 当时，w随x增大而增大，仍当时w最小，此时维持原调运方案不变； 当时，w随x增大而减小，当时w最小，此时应让A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)6 (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法计算三角形面积即可； （3）连接交轴于点，连接，此时满足的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，则，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：连接交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)能，点的坐标为 【分析】（1）令及可以求出，点的坐标，要求点，的坐标首先需要证，证出，即可求出的坐标，同理可以求出点的坐标； （2）先作出关于x轴的对称点，连接，与轴交点就是符合条件的点，求出的坐标，进而求出直线，再求出与轴交点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的坐标， 当时， ， ∴的坐标， 如图所示，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D的坐标为， 同理可得C的坐标为； 故答案为：，，，． （2）点关于轴对称的点为 直线与轴的交点就是能使的长最小的点 设直线的函数解析式为 直线的函数解析式为 把代入得 点的坐标为 【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1)（4） (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是 (3)即当水位为时，对应时间是 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； （2）解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加， 当时，则， 即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是； （3）解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，， (3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量； （2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可； （3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时， ； 当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 【答案】任务1：每隔水面高度减小；任务2：；任务3：当流水时间为时，水面高度的值为；任务4：实验结束的时间是 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：用待定系数法可得； 任务3：在中，令得； 任务4：在中，令得． 【详解】解：任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：设， 把，代入得： ，解得， ； 任务3：在中， 令得， 当流水时间为时，水面高度的值为； 任务4：在中， 令得， 解得， 实验结束的时间是． 1．（2025年四川省南充市中考模拟预测数学试题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，下列四个结论：①当时，有最大值；②当时，则；③将该函数的图象向左或向右平移3个单位长度都会经过原点；④点在该函数的图象上，符合要求的点共有3个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与几何综合，由函数图象可判断①②；根据点的坐标平移规律可判断③；可证明点在直线上，利用函数图象找到点直线上与原函数图象的交点个数即可判断④． 【详解】解：①由图象可知，当时，有最大值，故①正确； ②当时，或，故②不正确； ③将函数的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；将函数的图象向左平移3个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；∴③正确； ④令，， ∴， ∴点在直线上． 函数的图象如图所示： 由图象可以看出，它们有三个交点， ∴符合要求的点共有3个，故④正确． 综上，有①③④正确． 故选：C． 2．（2025·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴，轴交于，两点，若的面积为5．且该直线与正比例函数的交点在第一象限，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出得到，再根据三角形面积计算公式得到，根据该直线与正比例函数的交点在第一象限得到，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 又∵该直线与正比例函数的交点在第一象限， ∴的图象经过第一、三象限， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息．根据函数图象和已知条件，再进行推导即可以判断①②③④是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地， 、两地间的距离是400千米，故①正确； 由图象可知，甲车行驶2小时后到达配货站C，故②错误； 乙车的速度为千米时，故③正确； 甲车出发至地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 在地相遇之前， 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 在地相遇之后， ，， 时，甲车从地出发开往地，甲乙相距40千米， ， 当甲乙再次相距400千米时，， 甲车从地出发开往地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米．故④错误； 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．下列说法错误的是（   ） A．甲车的速度为 B．B、C两地之间的距离； C．后乙追上甲 D．当两车相距40千米时，甲车行驶了或． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系．A、B、根据题意，结合图象列式计算即可；C、设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程=乙行驶的路程，列出方程解答便可；D、利用待定系数法分别求出时，，时函数关系式，再列方程解答即可． 【详解】解：甲车的速度为，故选项A正确，不符合题意； 乙前面的速度为：， 乙后来的速度为：， ， 则B、C两地之间的距离为，故选项B正确，不符合题意； 设乙t小时追上甲， 根据题意得， 解得， 则出发后乙追上甲，故选项C正确，不符合题意； 当时，两车距离小于40， ①当时， 设甲距离A地的距离与出发时间之间的关系式为， 代入可得， ， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和， 得，解得：， ， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得， 当两车相距40千米时，甲车行驶了或或，故选项D错误，不符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（   ） A．摩托车的平均速度是 B．自行车比摩托车早出发2小时 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发2小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：， 解得：， 则，故此项符合题意； D．由上可知，故此项正确，不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 【详解】解：将代入得，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为 元． 【答案】8 【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和设的函数关系式，比较y值大小即可． 【详解】解：设y关于x的函数关系式为， 当时，将代入中得： ， 解得：， ∴； 当时，将代入中得： ， 解得：， ∴； 当时，， 当时，， （元）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和射线的函数关系式是解题的关键． 8．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， 又∵时，， ∴设， 将代入得，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．先求出乙队所用的时间，进而得到乙队比甲队晚出发，分别求出甲乙两队的函数解析式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，乙队所用的时间为：， 故乙队比甲队晚出发， 设甲队在时前进的路程（单位：）与甲队出发时间的函数解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， ， 设乙队的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ， ， 当时，， 即当甲出发时间时，甲乙两队相距， 故答案为：． 10．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，正方形…，正方形，使得点、、、…、在直线上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质，点坐标规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先找到直线与轴的交点，然后根据正方形的性质确定后续点的坐标，最后总结出的坐标规律，即可解答． 【详解】解：令，解得， ， 四边形是正方形， ； 当时，， ， 当时，， ， ， 观察规律发现，，，，， 的横坐标是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的背提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元， (1)求每千克红提和青提进价各是多少元． (2)若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元 (2)购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的解析式是解题的关键． （1）设每千克红提的进价元，则每千克青提的进价是元，由题意得，即可得到答案； （2）设购买红提千克，则购买青提千克，由题意列出不等式，可得，设利润为元，由题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质解得，即可求解 【详解】（1）解：设每千克红提的进价元，则每千克青提的进价是元， 由题意得：， 解得： 答：每千克红提的进价是元，则每千克青提的进价是元； （2）解：设购买红提千克，则购买青提千克， 由题意得： 解得： 设利润为元， 由题意得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值， 此时，， 答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元 12．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需元． (1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】(1)种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元 (2)购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，根据题意，列出一元二次方程组即可求解； （2）设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，求出与的函数解析式，再根据题意列出不等式组求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，则由题意得： ， 解得：， 答：种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元； （2）解：设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，则有：， 解得：， 总费用为：， 根据一次函数的性质，当越大，总费用越小；故取时费用最少，此时， 最少总费用为： (元)； 答：购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元； 13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． (1)求两直线的交点坐标； (2)轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）联立两直线解析式求解即可； （2）设，利用 ，列式计算即可． 【详解】（1）解：联立直线和直线可得：， 解得：， 将代入得：， ∴两直线的交点坐标为． （2）解：∵， 当 时， ，当 时， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 或， 或， 15．（24-25九年级下·天津·期中）年3月日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离学校的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)填空： ①学校到科技馆的距离是 m； ②小明等待红绿灯所用的时间为 ； ③小明在整个途中，骑行的最快速度是 ； ④小明在整个途中，共行驶了 m． (2)①直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即）期间，他离科技馆的距离与离开学校时间之间的函数关系： ②当小明离开学校时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案） 【答案】(1)；；； (2)①或 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）①根据图象求解；②根据图象求解；③先求出各段的速度，再比较大小；④根据路程和求解； （2）①根据待定系数法求解；②先求出小强的函数解析式，再根据图象求解． 【详解】（1）解：学校到科技馆的距离是 ， 故答案为∶； 小明等待红绿灯所用的时间为：， 故答案为：2； ③，， ， ， ∴小明在整个途中，骑行的最快速度是， 故答案为：； ④ ∴小明在整个途中，共行驶了， 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，，设， 则，解得： 当时，； 当时，设， 则解得 当时，， ； 小强离科技馆的距离y与小明离学校的时间x之间的函数解析式为： ， 图象如下虚线所示： 由图象得：当时，， 当时第二次相遇， ，则解得： ， 则解得：， 即当时，第二次相遇，此时距科技馆， ∴他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$