专题08 导数中的恒成立和有解问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题08 导数中的恒成立和有解问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 恒成立问题】 2 【题型二 有解问题】 7 【压轴能力测评（8题）】 12 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南驻马店·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立. 【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以， 则的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构造函数，借助导数研究其单调性即可得解. 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 3．（24-25高二上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 4．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 5．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式可得分母不为0，等价于函数的图象与轴没有交点，利用导数求的最值可得出实数m的取值范围． 【详解】函数的定义域内R，则恒成立， 令，则， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增，， 时，，则有，得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 7．（24-25高二下·江苏苏州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在上单调递增，所以在上恒成立，分离参数转化为求函数的最大值即可. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，即， 令，则即可， ，所以在上单调递减， 故，所以. 故选：A 8．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据已知函数恒成立，构造函数令，结合导数计算函数单调性及最值得出参数. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，单调递增，且，所以，不成立； 当时，单调递增，单调递减，且 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当单调递增，且 所以当时，满足成立， 则实数的值为. 故选：B. 9．（2025·江西·模拟预测）设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意得，再由对任意恒成立，可得，求出的导数和单调区间，可得最小值，即可得到的最大值． 【详解】当时，，定义域为不恒成立，不合题意； 当时，定义域为在定义域内单调递增， 当时，，不合题意； 当时，定义域为， ， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 令， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为. 故答案为：C 【题型二 有解问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 3．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围. 【详解】的定义域为， 由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 故，故实数的取值范围是. 故选：B 4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 【答案】C 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增， 所以， 由题得， ∴ 故选：C 5．（23-24高二下·江苏镇江·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求出在有解，构造函数，根据函数的单调性求出的最大值即可． 【详解】由存在，使得不等式成立得： 在有解， 令，则， 故时，，此时函数是单调递减， 时，，此时函数单调递增， 故时，，时，， 又， 故函数的最大值是， ， 故选：A． 6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 7．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【详解】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解题的方法是分类讨论三种情况结合函数值域及导函数求参单调性计算求解即可. 8．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将问题转化为存在使得成立， 即求直线上的动点到曲线的最小距离，结合导数的几何意义计算即可求解. 【详解】函数， 若存在使得成立， 则存在使得成立． 即存在使得成立． 可以看作是动点与动点之间距离的平方小于或等于， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由，得，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，即， 根据题意，要使，则， 此时恰好为垂足，由，解得． 故选：A 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解. 【详解】因为存在单调递减区间， 所以在上有解，即在上有解， 令，则，令，解得(负值舍去)， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，故， 故选：B. 2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题中条件“，使得”可转化为和值域交集非空，分别求出和值域分析求解即可. 【详解】由得：， 因为本题中，所以， 所以单调递减，所以， 由得：， 当时，，所以单调递增， 所以， 因为，使得， 所以， 所以， 故选：D. 3．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故，即，解得. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题等价于存在，使，令，求出在上的最小值即可. 【详解】函数，若存在，使， 即存在，使， 令，，则， 当，；当，， 则有在上单调递减，在上单调递增，， 存在，使，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 6．（23-24高二上·上海静安·期末）记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案. 【详解】由题意知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 设，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 且，故在上的最大值为， 故，即实数的取值范围是， 故答案为： 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）对于函数，，若存在唯一的，对任意的，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可知分别求得两函数在规定区间上的单调性以及对应值域，再由存在的个数得出两函数值域的包含关系，解不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可知， 令，可得， 由可得， 可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 可知在处取得极小值，也是最小值， 因此在上的最小值为， 所以，可知在上单调递增； 可得的值域为， 又可得， 令，可得，又， 因此当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 因此，又， 所以当时，函数的部分图象如下图所示： 由图可知若方程在上仅有一根，可得 若存在唯一的，对任意的，使得， 可得， 解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数求得函数单调性，将问题转化为两函数值域之间的包含关系，即可求得结果. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 导数中的恒成立和有解问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 恒成立问题】 2 【题型二 有解问题】 3 【压轴能力测评（8题）】 5 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南驻马店·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏苏州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 9．（2025·江西·模拟预测）设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【题型二 有解问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 5．（23-24高二下·江苏镇江·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是 . 5．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高二上·上海静安·期末）记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25高二下·天津武清·阶段练习）对于函数，，若存在唯一的，对任意的，使得，则实数的取值范围是 ． 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