专题05 相交线与平行线（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角的定义 题型02余角与补角的计算 题型03垂直的定义与垂线段 题型04平行线的性质与判定求角 题型05光的折射与平行线 题型06过拐点做平行 题型07折叠问题与平行线 题型08三角板与平行线 题型09尺规作图与平行线 题型10垂直定义相关的计算 题型11平行线的证明的理论依据 题型12平行线的证明的综合应用 对顶角的定义题型01 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图所示，直线与相交形成了、、、，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（    ） A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角 余角与补角的计算题型02 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线、交于点平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，与互余，与互补，，则的度数是 ． 垂直的定义与垂线段题型03 6．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 7．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一座塔建在山坡上，塔身与水平面垂直，现测得塔身与山坡坡面所成的锐角为．此山坡的坡面与水平面夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ． 平行线的性质与判定求角题型04 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（    ）     A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，平分，交于E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则 ． 15．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点E，F，射线直线c，若，则 ． 光的折射与平行线题型05 16．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为    19．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则图中其他角的度数正确的是（    ）    A． B． C． D． 过拐点做平行题型06 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，点P为平面内一点．若，则的度数是 ． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是一盏可调节台灯的示意图，固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 23．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    24．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，若，，，则 25．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，，，则的度数为 ．    26．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，，,则的度数为 ． 27．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点在直线上，点为直线之间的一点，连接，直线交于点，，，，则的度数为 ．（用含的式子表示）． 折叠问题与平行线题型07 28．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于（    ） A． B． C． D． 三角板与平行线题型08 29．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）一副三角尺如图所示放置， 其中，则（     ）度． A． B． C． D． 尺规作图与平行线题型09 30．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 31．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 32．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在一条直线上： (1)尺规作图，以为顶点，以射线为一边，作（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 方位角与平行线题型10 33．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，B点在A的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向． (1)求的度数； (2)求的度数． 垂直定义相关的计算题型10 34．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数． 35．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，直线相交于O，，求证：是的角平分线．    36．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线相交于点，过点作，垂足为，，求的度数． 37．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）如图所示，直线与直线相交于点平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 38．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，相交于点，，．    (1)求的度数； (2)求证：． 平行线的性质与判定的应用题型11 39．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 40．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，，，，求的度数． 平行线的证明的理论依据题型11 41．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）学习完第五章“相交线与平行线”后，杜老师布置了一道几何题如下：如图，已知直线被直线所截，平分，，求的度数． 善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并书写出了如下不完整的解题过程． 请你将该题解题过程补充完整： 解：（已知）， （ ）． （ ）． （邻补角的定义）， （等式性质）． 平分（已知）， （ ）． （等式性质）． （等式性质）． 42．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 43．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 平行线的证明的综合应用题型12 44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，交射线于点C；平分，交射线于点D． 【问题发现】 （1）求的度数； 【规律探究】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【规律运用】 （3）当点P运动到使时，直接写出的度数． 45．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图1，，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．用等式表示与的数量关系． 小刚通过观察，实验，提出猜想：． 接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是： 如图1，过点G作，由，可得，根据平行线的性质，可得，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题： 已知，E，F分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图2，若，求的度数． (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示和的数量关系．（四边形内角和为） 46．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）【问题探究】 （1）如图1，，平分，，则______度； （2）如图2，点是直线上一点，分别平分和，则与的位置关系是______； 【问题解决】 （3）如图3，，，分别平分和，求的度数． 47．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 48．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）探究题： (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明． 49．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 50．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 51．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．      (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角的定义 题型02余角与补角的计算 题型03垂直的定义与垂线段 题型04平行线的性质与判定求角 题型05光的折射与平行线 题型06过拐点做平行 题型07折叠问题与平行线 题型08三角板与平行线 题型09尺规作图与平行线 题型10垂直定义相关的计算 题型11平行线的证明的理论依据 题型12平行线的证明的综合应用 对顶角的定义题型01 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对等角相等，结合已知，得出答案即可，掌握“对顶角相等”是解题的关键． 【详解】解：∵，和是对顶角， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图所示，直线与相交形成了、、、，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（    ） A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角及邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据对顶角及邻补角的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴要确定这四个角的度数，至少要测量其中的个角即可， 故选：A ． 余角与补角的计算题型02 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线、交于点平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义．根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据对顶角的性质可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角、补角的知识，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．如果两个锐角的和是一个直角（）,那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和是一个平角（），那么这两个角叫互为补角．根据补角和余角的定义，逐一分别判定，即可获得答案． 【详解】解：设互余且相等的两个角均为，则有， 解得，即互余且相等的两个角都是， 故结论①正确； 同角的余角相等，结论正确，故②正确； 根据补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角， ∴“若，则，，互为补角”不成立，故结论③错误； ∵钝角为大于，小于的角，而和等于的两个角互为补角， ∴钝角有补角，故结论④错误； 设某一锐角为，则其补角为，其余角为， ∵， ∴该锐角的补角比其余角大，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的是①②⑤，共3个． 故选：B． 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，与互余，与互补，，则的度数是 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、补角和余角的定义和对顶角的性质，根据余角和补角的定义得出，，结合利用平行线的判定和性质即可得出答案．熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 【详解】如图，根据题意可得，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 垂直的定义与垂线段题型03 6．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：B． 7．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的相关计算，根据垂线的定义得出，由已知条件可得出，即可求出，再根据补角的定义即可求出． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ， ， ． 故选：D． 8．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一座塔建在山坡上，塔身与水平面垂直，现测得塔身与山坡坡面所成的锐角为．此山坡的坡面与水平面夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂直的定义，平行线的性质，过点作，则，根据塔身与水平面垂直得，则，由此可得的度数．熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如下图所示：   ， 塔身与水平面垂直， ∴， ， ． 故选：D． 9．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】依据垂线段最短，即可得到当时，最短．根据面积法求得垂线段的长即可． 本题主要考查了垂线段最短的性质，问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【详解】解：如图所示，当时，最短，   ， ， 的最小值是． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，先由平角的定义得到，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 平行线的性质与判定求角题型04 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答．本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，平分，交于E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线定义，根据平行线的性质可得，进而根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴ ∵平分， ∴ 故选：D． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质．利用平行线的性质与角平分线的定义计算． 【详解】∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 故选：A． 14．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，过点O作，根据平行线的性质得出，，根据角的和差可得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∵， ， ，， ， ， ∴． ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点E，F，射线直线c，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由垂直的定义得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：如图： 射线， ， ， ． 故答案为：． 光的折射与平行线题型05 16．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行可得，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵平行光线，水面和底平行 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选C． 17．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 18．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为    【答案】/70度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】如图，设光线与水面相交于点C，    由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则图中其他角的度数正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由题意得：，，，根据平行线的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：   ， 由题意得：，，， ， ，故A错误， ，故D错误， ， ，故B错误， ，故C正确， 故选：C． 过拐点做平行题型06 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，利用平行线的性质得，，再根据即可求解，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 【详解】解：过点作，如图：   ，， ， ， ， ，， ，， ， 故选B． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，点P为平面内一点．若，则的度数是 ． 【答案】100或24/24或100 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分当点P在之间时，当点P在下方时，两种情况过点P作，根据平行线的性质得到，，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在之间时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在下方时， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：100或24． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是一盏可调节台灯的示意图，固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【答案】157 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于，延长交于，如图： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：157． 23．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．当时， ；    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，时，过作，如图所示，根据平行线性质找到角的和差关系，列式求解即可得到答案． 【详解】解：当时，过作，如图所示：   ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，若，，，则 【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的性质和角度求解，解题的关键是掌握平行线的性质． 由，，得，平行的性质可知，再结合即可求解． 【详解】，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为： 25．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，，，则的度数为 ．    【答案】/95度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 26．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，，,则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，利用两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 27．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点在直线上，点为直线之间的一点，连接，直线交于点，，，，则的度数为 ．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定．过点E作交于点P，延长交于点Q，设，则， 根据，可得，再由，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交于点P，延长交于点Q， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 折叠问题与平行线题型07 28．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，把长方形沿对折，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可． 本题考查了长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性质，折叠性质是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴． 故选D． 三角板与平行线题型08 29．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）一副三角尺如图所示放置， 其中，则（     ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质的简单运用．另外，一定要把一副三角尺各角的度数作为常识牢记于心． 利用平行线的性质和三角尺各角的度数进行计算即可． 【详解】解：， ． ． 故选：B． 尺规作图与平行线题型09 30．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 31．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 【答案】(1)见解析 (2)同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查作一个角等于圆周角、平行线的判定； （1）过点作，交于点，则点即为所求． （2）结合平行线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， 则点E即为所求． （2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行． 32．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在一条直线上： (1)尺规作图，以为顶点，以射线为一边，作（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是注意理解题意，分类讨论画出图形． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）如图1，根据同位角相等两直线平行可得；如图2，根据三角形内角和为可推出． 【详解】（1）如1图所示： （2）如图1，， ， ； 如图2，， 反向延长交于点， ， ， ． 方位角与平行线题型10 33．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，B点在A的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)60° (2)85° 【分析】本题考查平行线的性质，方位角等知识，属于基础试题，掌握平行线的性质是解题的关键 （1）根据方位角确定相关角的度数，再根据角的和差计算即可； （2）过点C作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）过点C作，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 垂直定义相关的计算题型10 34．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，利用邻补角求度数，由垂线的定义可得，由，结合得出，再由对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：， ， ，， ， ． 35．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，直线相交于O，，求证：是的角平分线．    【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直的定义、对顶角的性质、角的计算、角平分线的定义等知识．根据垂直的定义得到，由得到，由对顶角的性质得到，则，得到，即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， 是的角平分线． 36．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线相交于点，过点作，垂足为，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角，由，得，由对顶角相等得，再根据角度和差即可求解，熟练掌握垂直的定义和对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 37．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）如图所示，直线与直线相交于点平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义： （1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，再由对顶角相等即可得到答案； （2）设，则，，再由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则，即． 【详解】（1）， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 设， ，， 平分， ， ， ， ， ， ． 38．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，相交于点，，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角、垂直的定义，角的和差，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角的定义即可求解； （2）根据对顶角以及角的和差即可证明． 【详解】（1）解：，， ， （2）证明：， ， ，， ， ．    平行线的性质与判定的应用题型11 39．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定；首先求出，然后证明出，进而得到． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）学习完第五章“相交线与平行线”后，杜老师布置了一道几何题如下：如图，已知直线被直线所截，平分，，求的度数． 善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并书写出了如下不完整的解题过程． 请你将该题解题过程补充完整： 解：（已知）， （ ）． （ ）． （邻补角的定义）， （等式性质）． 平分（已知）， （ ）． （等式性质）． （等式性质）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，以及角平分线的定义和角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （邻补角的定义）， （等式性质）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （等式性质）． （等式性质）． 42．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 43．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程证明即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换． 平行线的证明的综合应用题型12 44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，交射线于点C；平分，交射线于点D． 【问题发现】 （1）求的度数； 【规律探究】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【规律运用】 （3）当点P运动到使时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）不变化，；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）根据，得知，再根据角平分线的定义知、，可得； （2）由得、，根据平分知，从而可得； （3）由得∠A，当时有，即，再根据（）可得，，即可得，进而即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， 、分别平分和， ，， ； （2）不变化，， 证明：， ， ， 又平分， ， ； （3）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， （）， ， ， 45．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图1，，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．用等式表示与的数量关系． 小刚通过观察，实验，提出猜想：． 接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是： 如图1，过点G作，由，可得，根据平行线的性质，可得，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题： 已知，E，F分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图2，若，求的度数． (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示和的数量关系．（四边形内角和为） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，过点G作，易得，再证明，求解 ，从而可得答案； （2）由（1）同理可得：，再证明，从而可得答案； （3）由（1）同理可得： 再证明 从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点G作， ，， ， ， ． ，， ； （2）解：由（1）同理可得： 与的平分线交于点， ； （3）解：由（1）同理可得： 与的平分线交于点， ． 46．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）【问题探究】 （1）如图1，，平分，，则______度； （2）如图2，点是直线上一点，分别平分和，则与的位置关系是______； 【问题解决】 （3）如图3，，，分别平分和，求的度数． 【答案】（1）30；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分的定义，垂直定义，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质可知，，再结合角平分线的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义及平角定义即可知，即可求解； （3）类比（1）（2）根据平行线的性质及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：30； （2）∵分别平分和， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， 又∵， ∴． 47．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在 ，上，平分交 于点 ，为点右侧的直线 上一点， 平分 交 于点 ． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线 自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至 的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 【答案】（1）①， ；②；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义； （1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得 ②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出； （2）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）① ， 平分， ， ．． 又 平分， ②平分， 平分． ， 设， ； ，则 ， （）①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ， 与互相垂直时， 解得： ②如图所示，当返回时， 解得： ③当第次从出发，与垂直时，如图所示， 解得： 综上所述， 时，与互相垂直 48．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）探究题： (1)如图1，若，求证：； (2)若将图1中的点E移至图2的位置，其他条件不变，此时，，之间有什么关系？证明你的结论． (3)在图3中，，，，，，这五个角之间有何关系？直接写出结论，不用证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （2）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论； （3）过点作，用（1）的结论可知，，再由角之间的关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作，如图1所示．   ， ， ， ， ． （2） 证明如下： 过点作，如图2所示．   ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作，如图3所示． ，结合（1）结论， ， ，结合（1）结论， ， 又， ． 49．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可； （2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）①解：过点P作，如图1，则，    ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解； 当时，如图2，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，如图3，作，则，    同理可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 50．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 51．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．      (1)如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积 列出等式即可； （2）①观察图形得出，，的关系，并用面积法进行证明即可； ②根据垂线段最短，过点A作于D，沿开沟，才能使沟最短，据此作出图形，运用①的结论求出的长，然后根据面积法求出长即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：①，，之间的数量关系是：，推理过程如下： 由题意可知：正方形的面积个三角形的面积， ， 正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积个三角形的面积， ； ②过点A作于D，    由①得： ∴米， ∵ ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了整式的有关运算，完全平方公式的几何意义，垂线段最短，三角形面积，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$