数学（浙江卷01）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．今年中国某省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上，“888亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 5．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 8．如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 9．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 10．如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知，满足，则的平方根为 ． 12．分解因式： ． 13．不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为 ． 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 15．如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则 ． 16．如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 19．（8分）如图，已知中，，，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（8分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，_____________，_____________，_____________． (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 21．（8分）在中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 22．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (3)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，求出a的值． 24．（12分）如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A C D B D D D D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14． 15． 16．或 三、解答题:本大题有8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）【详解】解： ．（8分） 18．（8分）【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，；（4分） （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，．（8分） 19．（8分）【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ；（4分） （2）解：， ， ， ， ．（8分） 20．（8分）【详解】（1）解：由题意得：A款“满意”所占百分比为， ∴“不满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴； 故答案为：10，88.5，98；（3分） （2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）；（5分） （3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．（8分） 21．（8分）【详解】（1）解：如图所示， ∵在的垂直平分线上 ∴， ∴；（4分） （2）解：由（1）可得 在中，，， ∴， 设 ∴ 在中， ∴ 解得： ∴（8分） 22．（10分）【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以．（3分） （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：；（5分） ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：．（7分） （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源．（10分） 23．（10分）【详解】（1）解：∵抛物线经过点，． ∴，解得， 故抛物线的表达式为；（2分） （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于， 当时，，解得，， 综上所述点的坐标为或或；（4分） （3）解：由（3）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， ∴ 解得（舍去）或． ∴当时；（6分） 当时，如图： 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为， a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或， ∴当时， 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去） ∴当时，（8分） 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或． ∴当时， 综上所述：当时，a的值为或或或．（10分） 24．（12分）【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是的切线；（3分） （2）证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ，（9分） 是的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（浙江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．今年中国某省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上，“888亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 5．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 8．如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 9．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 10．如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知，满足，则的平方根为 ． 12．分解因式： ． 13．不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为 ． 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 15．如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则 ． 16．如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 19．（8分）如图，已知中，，，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（8分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，_____________，_____________，_____________． (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 21．（8分）在中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 22．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (3)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，求出a的值． 24．（12分）如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解： ，，，，且， 绝对值最小的数是， 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，算术平方根，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．今年中国某省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上，“888亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：888亿， 故选：A． 4．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（   ） A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 【答案】C 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的概念，即可解答，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 【详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30． 根据题意可得中位数为，众数为， 故选：C. 5．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 6．已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：连接． 点A是的中点 ． ． 故选∶B． 7．已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 【详解】解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 8．如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于正确掌握相关知识．利用勾股定理得到，再结合等面积法求出，进而得到，最后根据余弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， 又， ， ， ， 故选：D． 9．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质，解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义．根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】①当时，对应函数值的取值范围是， 则函数图象过点或点， 对于反比例函数（）， 当函数图象过点时，则有两个点符合要求，即 此时有两个“君子数对”； 当函数图象过点时，由于反比例函数（）的图象关于直线对称，而也关于直线对称，则有无数个点符合要求， 此时有无数个“君子数对”； 故①正确； ②当时，，当时，， 又 的对称轴是直线，且， 当时，随的增大而减小，且， 是二次函数的“君子数对”， 故②正确； ③， 又 的对称轴是直线，且， 当时，且 不是二次函数的“君子数对”， 故③错误； 故选：D 10．如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3<BG<．从而判断①不正确； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可； ③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积． 【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形， ∴EF⊥BG且BN=GN， 若BN=AB，则BG=2AB=6， 又∵点E是AD边上的动点， ∴3<BG<． 故①错误； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3， 在Rt△ABE中 即 解得：AE=， ∴BF=DE=6-=． ∴HF=-=． 在Rt△EFH中 =； 故②正确； ③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =， 当点G与点D重合时的面积有最大值==． 故<<． 故③错误． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ， ∴． 故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知，满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根，能根据二次根式有意义的条件求出是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再求出，最后根据平方根的定义求出答案即可． 【详解】解：要使有意义，必须且， 解得：， ， 所以的平方根是． 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13．不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率，掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果数为， 所以摸出的两个球颜色不同的概率， 故答案为：． 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为8，高为3，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 15．如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，设，则，运用勾股定理得到，等面积法得到，再证，得到，则，如图，过点作延长线于点，则，可证，得到，求出，由此即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴设， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，， ∴， ∴，即， 解得，， 如图，过点作延长线于点，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 16．如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ． 【答案】或 【分析】根据分两种情况①当点在线段上时，②当点在延长线上时，作辅助线，结合正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等，结合全等三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：①当点在线段上时， 过点作， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ， ， 为正方形对角线， ， ， ， 设，又正方形边长为6， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 同理可证，， 又， ，解得， ， ②当点在延长线上时， 由①同理可得， 又， ， 综上所述， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并结合全等三角形性质建立方程． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．（8分）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 19．（8分）如图，已知中，，，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等． （1）先求证，再证明； （2）先求得，再由可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ； （2）解：， ， ， ， ． 20．（8分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，_____________，_____________，_____________． (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】(1)10，88.5，98 (2)A款，因A款中位数88.5大于B款的87.5，所以A款好（理由不唯一） (3)85人 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：A款“满意”所占百分比为， ∴“不满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴； 故答案为：10，88.5，98； （2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； （3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 21．（8分）在中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂直平分线，等边等角，勾股定理，解直角三角形； （1）作的垂直平分线交于点，连接，即可求解； （2）由（1）可得，解，得出，设，在中，，勾股定理建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵在的垂直平分线上 ∴， ∴； （2）解：由（1）可得 在中，，， ∴， 设 ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ 22．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (3)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，求出a的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意，可得出此抛物线上有且只有 3 个点到直线的距离等于时，抛物线的顶点到直线的距离等于，即可求出的值，从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标； （3）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，． ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于， 当时，，解得，， 综上所述点的坐标为或或； （3）解：由（3）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， ∴ 解得（舍去）或． ∴当时； 当时，如图： 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为， a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或， ∴当时， 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ∴，解得或（舍去） ∴当时， 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ∴，解得（舍去）或． ∴当时， 综上所述：当时，a的值为或或或． 24．（12分）如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线； （2）可证明，进而推出； （3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..，，根据列出方程，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是的切线； （2）证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$