精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

杨浦区高二期中数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线的一般式转换成斜截式即可求解. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 2. 椭圆的长轴长为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据椭圆长轴长的定义可求. 【详解】由椭圆标准方程可知：，所以长轴长为10. 故答案为：10 3. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 4. 已知空间向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 分析】利用向量共线定理求解. 【详解】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 5. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 6. 已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【详解】由题意，故，，， 故， 故答案为： 7. 设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________ 【答案】11 【解析】 【详解】由双曲线方程，可得， 根据双曲线的定义可知， 又因为，所以. 8. 已知圆与圆内切，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 9. 已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 10. 已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，根据斜率求出渐近线的倾斜角，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 所以，所以渐近线方程为，所以渐近线的倾斜角分别为与， 所以其两条渐近线的夹角大小为. 故答案为： 11. 斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于______. 【答案】2或18 【解析】 【分析】 先求焦点坐标，再根据圆心到直线距离等于半径求的值. 【详解】抛物线的焦点,所以直线 因为与圆相切， 所以或18 故答案为：2或18 【点睛】本题考查抛物线焦点以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 12. 已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知，，故，写出对应的坐标计算即可求解点的横坐标. 【详解】 因为抛物线的焦点为，则， 又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点， 设，因为， 则， 所以， 解得（舍）或.即点的横坐标为， 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 若直线经过第一、二、四象限，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 14. 平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用点到平面的距离公式可得结果. 【详解】由题意得，， ∴点到平面的距离. 故选：A. 15. 已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【答案】C 【解析】 【分析】 求出以F1，F2为直径的圆的方程，代入点(3，4)求出，再将点(3，4)代入渐近线方程y＝x可得，利用可求得，从而可得双曲线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为，则以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2， 又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5， 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3，4)在这条渐近线上，所以， 又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为＝1， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：掌握双曲线的焦点坐标、渐近线方程是本题解题关键. 16. 过原点的直线与双曲线交于两点,点在第二象限,将下半平面沿轴折起使之与上半平面成直二面角.则线段的最短长度为 A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设点由对称性知点 分别过点作轴的垂线,垂足分别为 折成直二面角后 . 当时, 选D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知三个顶点坐标分别为、、． （1）求的面积S； （2）求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【小问1详解】 因为，所以直线的方程为，即.    所以点到直线的距离.    因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 18. 一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【答案】2.29米 【解析】 【分析】由题意建立坐标系，求得抛物线的方程，根据卡车宽度建立方程，可得答案. 【详解】由题意建立坐标系，如下： 设抛物线的方程为，依题意抛物线过点， 则，所以抛物线的方程为，车的截面为矩形ABCD， 设，则，所以米， 即限高为2.29米． 19. 已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 根据抛物线定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 20. 如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. （1）求证：平面BCD； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量的方法证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知是平面DBC的一个法向量，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的方法即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则，，， 故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题知，可得点，，，，，， ，， 则，，， 所以，， 所以，. 又，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，， 设是平面ABD的法向量， 则，即， 令，可得，，， 即平面ABD的一个法向量是. 由（1）知，是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为， 则. 又，∴. 结合三棱柱可知，二面角是锐角， ∴所求二面角的大小是. 21. 已知椭圆C：过点，且右焦点为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，再求出即可得到答案； （2）首先直线方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可. 【小问1详解】 由题意，，所以，椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题可得直线斜率存在，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得：， 设，则，， 又，则， 由可得，所以，同理可得， 所以 ， 所以，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区高二期中数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的斜率为______． 2. 椭圆的长轴长为__________. 3. 抛物线的准线方程为______． 4. 已知空间向量，，若，则实数的值为______． 5. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 6. 已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为________． 7. 设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________ 8. 已知圆与圆内切，则实数______． 9. 已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间距离等于______． 10. 已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为______． 11. 斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于______. 12. 已知抛物线焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为_____________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 若直线经过第一、二、四象限，则（ ） A. 且 B. 且 C 且 D. 且 14. 平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A B. C. 1 D. 15. 已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 16. 过原点直线与双曲线交于两点,点在第二象限,将下半平面沿轴折起使之与上半平面成直二面角.则线段的最短长度为 A. B. C. D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知三个顶点坐标分别为、、． （1）求的面积S； （2）求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 18. 一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 19. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 20. 如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. （1）求证：平面BCD； （2）求二面角的大小. 21. 已知椭圆C：过点，且右焦点为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $