专题04：数论·余数问题和数字问题【专项训练】-2025年小升初数学典型例题系列（原卷版+解析版）通用版

第 1 页 共 11 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 04：数论·余数问题和数字问题【专项训练】 一、填空题。 1．一个三位数 45 ，要使它是 3的倍数， 里最大填( )；要使 它是 2、3和 5的倍数， 里可以填( )。 【答案】 9 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数就 是 3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是 0，各个数位上的数字的和是 3的倍数 的数。 【详解】 一个三位数 45 ，要使它是 3的倍数，4＋5＝9，9＋9＝18， 里最大填 9；要使它是 2、3和 5的倍数， 里可以填 0。 2．“17、22、24、27、29、37、45、60”中，2的倍数有( )个，3的倍数 有( )个；2、3、5共同的倍数有( )个；质数有( )个。 【答案】 3 4 1 3 【分析】2的倍数的特征是：个位上是 0、2、4、6、8的数。 3的倍数的特征是：各个数位上数字的和是 3的倍数的数。 同时是 2、3、5的倍数的特征是：个位上是 0，且各个数位上数字的和是 3的倍 数的数。 质数是只有 1和它本身两个因数的数。 【详解】22、24、60的个位符合 2的倍数特征，所以 2的倍数有 3个； 24中 2＋4＝6（是 3的倍数），27中 2＋7＝9（是 3的倍数），45中 4＋5＝9 （是 3的倍数），60中 6＋0＝6（是 3的倍数），符合 3的倍数的特征，所以是 3的倍数有 4个； 60的个位是 0，且是 3的倍数，所以 2、3、5共同的倍数有 1个； 17只有 1和 17两个因数，29只有 1和 29两个因数，37只有 1和 37两个因数， 第 2 页 共 11 页 所以质数有 3个。 3．有一箱橘子的数量在 100个以内，2个 2个地数、5个 5个地数、3个 3个地 数都正好数完，这箱橘子最多有( )个。 【答案】90 【分析】根据题意，题目要求橘子的数量能被 2、3、5整除，即该数是 2、3、5 的公倍数。2、3、5均为质数，最小公倍数为：2×3×5＝30，在 100以内，30的 倍数有 30、60、90，其中最大的是 90，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 2×3×5＝30 30×2＝60 30×3＝90 在 100以内，30的倍数有 30、60、90，最大的是 90。 有一箱橘子的数量在 100个以内，2个 2个地数、5个 5个地数、3个 3个地数 都正好数完，这箱橘子最多有 90个。 4．将一个两位数的十位和个位数字交换，得到的新两位数比原数大 63，这样的 两位数有( )个。 【答案】2 【分析】本题可以用方程解决。设原来的这个两位数为 xy，则现在的两位数就是 yx。再根据得到的新两位数比原数大 63，即可列出方程求解。 【详解】解：设原来的这个两位数为 xy，则现在的两位数就是 yx。 10 63 10x y y x    9 63 9x y  9 9 63y x  7y x  因为 x、y是数位上的数字， 所以 x＝1、y＝8或 x＝2、y＝9。 因此这样的两位数有 2个。 5．你作为大楼设计师，正在设计每层每户的门牌号码。大楼共有 9层，每层有 第 3 页 共 11 页 28间房间。例如，第一层的门牌为：101、102、103、…、128，类似的，第二 层的门牌为 201～228，…，第九层的门牌为 901～928。每个数码需要单独打印 制作，例如：101要制作两个数码 1和一个数码 0，制作整幢大楼的门牌，共需 要( )个数码 2。 【答案】136 【分析】“2”可能出现在个位，也可能出现在十位，也可能出现在百位，分这三 种情况分别求出“2”出现的次数，最后再求和，即可知道制作整幢大楼的门牌， 共需要多少个数码 2。 【详解】个位：每层会出现 3次，102、112、122，9×3＝27（个）； 十位：每层会出现 9次，120、121、122、123、124、125、126、127、128，9×9 ＝81（个）； 百位：2楼会出现 28次，201～228，28个； 一共：9×3＋9×9＋28 ＝27＋81＋28 ＝108＋28 ＝136（个） 因此制作整幢大楼的门牌，共需要 136个数码 2。 6．循环小数 2.4521632163…，小数点后第 2006～2019位的数字和是( )。 【答案】41 【分析】循环小数是从小数点后第 3位开始循环的，循环节是 2163，循环节有 4 个数字，用 2006减两个不循环的位数，再除以 4，根据余数情况判断出第 2006 位是哪个数字，再用 2019减 2006的差加 1的和除以 4，商是多少就有多少个（2 ＋1＋6＋3）的和，如有余数还要加上余下数字，据此即可解答。 【详解】2006－2＝2004 2004÷4＝501，第 2006位数是 3； 2019－2006＋1＝14（个） 14÷4＝3……2，第 2006～2019位中间有 3组 3216，第 2018、2019位的数字分 别 3、2； （2＋1＋6＋3）×3＋3＋2 第 4 页 共 11 页 ＝12×3＋5 ＝36＋5 ＝41 小数点后第 2006～2019位的数字和是 41。 7．如果一个四位数 A与一个三位数 B的和是 2013，且 A和 B是由 7个不同的 数字组成的。那么 A与 B的差最小是( )。 【答案】39 【分析】设 A＝ abcd，B＝ efg，根据整数加法的计算法则，bcd＋ efg不可能是两 位数，即不可能是 13，所以 A＋B在计算时，百位向千位进 1，则 A的千位上 是（2－1），a也就是 1；cd＋ fg也不可能是 13，所以 A＋B在计算时，十位向 百位进 1，所以 b＋e＝10－1＝9； cd＋ fg＝113，要使两个数的差最小，则 A 要尽可能最小，B要尽可能最大，所以 b最小为 0，e最大为 9；所以 d、g不可 能是 1，也不可能是 0，即 c＋f＝10，d＋g＝13，c最小为 2，f最大为 8，d最小 为 6，g最大为 7。据此解答。 【详解】根据分析可知，A最小为 1026，B最大为 987，所以 1026－987＝39 A与 B的差最小是 39。 【点睛】解答本题的关键是明确要使两个数的差最小，则被减数要越小，减数要 越大。 8．第七届世界军人运动会，简称“武汉军运会”，将于 2019年 10月 18日至 27 日在湖北武汉举行，赛期十天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27个大项、 329个小项。届时，将有来自一百多个国家的近万名现役军人同台竞技。 2019101827329除以 11的余数是( )。 【答案】4 【分析】11的整除特征：分别求出奇数位数字之和与偶数位数字之和，然后作 差，如果差能被 11整除，则这个数就能被 11整除。如果差不能被 11整除，则 差是多少，这个多位数除以 11的余数就是多少。 【详解】奇数位数字之和：9＋3＋2＋1＋1＋1＋2＝19 偶数位数字之和：2＋7＋8＋0＋9＋0＝26 第 5 页 共 11 页 差：19＋11－26＝4 所以这个十三位数除以 11的余数是 6。 9．一个数除以 7得到的商和余数都相等，这个数最大是( )。 【答案】48 【分析】根据“余数＜除数”可知，当除数是 7时，余数最大为 6。再根据“被除数 ＝除数×商＋余数”即可求出此时被除数最大是多少。 【详解】余数最大为 6 6×7＋6 ＝42＋6 ＝48 因此这个数最大是 48。 10．商店有一个保险箱，密码是 3854□942，从左往右数第五位上的数字忘记了， 只记得密码是 5678×6789的乘积，那么□里应填( )。 【答案】7 【分析】根据同余定理先求出 3854□942、5678×6789除以 9的余数，再根据余 数推断□里的数即可。 【详解】3854□942≡3＋8＋5＋4＋□＋9＋4＋2＝35＋□≡3＋5＋□＝8＋□（mod9） 5678×6789≡（5＋6＋7＋8）×（6＋7＋8＋9）＝26×30≡（2＋6）×（3＋0）＝24≡2 ＋4＝6（mod9） 因为 5678×6789＝3854□942， 所以，8＋□≡6（mod9） 所以，□＝9＋6－8＝7 故答案为：7 二、选择题。 11．下面各数中，同时是 2、3、5的倍数的是( )。 A．18 B．220 C．75 D．810 【答案】D 【分析】根据 2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是 2的倍数； 根据 5的倍数的特征，一个数的个位是 0或 5，这个数就是 5的倍数；根据 3的 第 6 页 共 11 页 倍数的特征，各个数位的数字之和是 3的倍数。据此解答。 【详解】A．1＋8＝9，9 3 3  ，18符合 2和 3的倍数特征，但不符合 5的倍数 特征。 B．2 2 0 4   ，4 3 1.3  ，220符合 2和 5的倍数特征，但不符合 3的倍数特征。 C．7 5 12  ，12 3 4  ，75符合 5和 3的倍数特征，但不符合 2的倍数特征。 D．8 1 0 9   ，9 3 3  ，810符合 2、3和 5的倍数特征，所以它同时是 2、3、5 的倍数。 故答案为：D 12．下列说法有几句是错误的( )。 （1）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是 5、6、7、8、9，算老师赢，否则 算小明赢，那么小明赢的可能性大； （2）拉动一个长方形木架（如图），在这个变化过程中，平行四边形的面积和 高成正比例； （3）ABAABB是个六位数，其中A表示比 10小的任何一个非零自然数，B表示 0， 那么这个六位数一定是 2、3、5的公倍数； （4）把一根长 16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数）。 如果第一次从 2厘米处折，那么第二次应从 8厘米处折。 A．0句 B．1句 C．2句 D．3句 【答案】B 【分析】（1）找出掷两个骰子和的所有可能，比较和是 5、6、7、8、9与和是 其它数的数量的多少即可判断； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定， 还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反 比例。据此判断； （3）2、3、5的公倍数的特征：个位一定是 0，且各位上的数字和是 3的倍数。 第 7 页 共 11 页 据此判断； （4）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边进行判断。 【详解】（1）掷两个骰子，点数和的所有可能情况如下：两个骰子最小都是 1 点，和最小为 1＋1＝2；最大都是 6点，和最大为 6＋6＝12。具体的和以及对应 的组合有： 1＋1＝2；1＋2＝3；1＋3＝4，2＋2＝4；1＋4＝5；2＋3＝5；1＋5＝6；2＋4＝6； 3＋3＝6；1＋6＝7；2＋5＝7；3＋4＝7；2＋6＝8；3＋5＝8；4＋4＝8；3＋6＝9； 4＋5＝9；4＋6＝10；5＋5＝10；5＋6＝11；6＋6＝12，共 21种。 其中和是 5、6、7、8、9的情况有 13种，和是 2、3、4、10、11、12的情况有 8种，13＞8，所以小明赢的可能性大；原题说法正确。 （2）平行四边形的面积计算公式是 S＝a×h（S表示面积，a表示底，h表示高）， 在拉动长方形木架变成平行四边形的过程中，底的长度就是原来长方形的长，这 个长度是固定不变的。 根据正比例的定义，如果两个相关联的量的比值一定，那么这两个量成正比例关 系。 在这里 h S ＝a（一定），也就是平行四边形的面积与高的比值（底）是一定的， 所以平行四边形的面积和高成正比例，该说法正确。 （3）已知 B＝0，所以这个六位数 ABAABB的个位数字是 0，根据 2和 5的倍 数特征，个位是 0的数一定是 2和 5的倍数，再看这个六位数各个数位上数字和： A＋B＋A＋A＋B＋B＝3A＋3B＝3A（因为 B＝0）。 由于 A表示比 10小的任何一个非零自然数，所以 3A一定是 3的倍数。 根据 3的倍数特征，一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3 的倍数。 所以这个六位数同时是 2、3、5的倍数，也就是 2、3、5的公倍数，该说法正确。 （4）把一根长 16厘米的吸管折成三段，第一次从 2厘米处折，第二次从 8厘米 处折。那么折下的两段长度分别是 2厘米和 8－2＝6厘米，剩下的一段长度是 16－8＝8厘米，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，这里 2 ＋6＝8厘米，两边之和等于第三边，不满足三边关系，所以不能围成三角形。 原题说法错误。 第 8 页 共 11 页 所以（4）的说法错误，错误的有 1句。 故答案为：B 13．四个六位数分别是 XXXYXX、XYXYXY、XYYXYY、XYYXYX，并且 X 是比 10小的非零自然数，Y是 0，那么，这四个数中一定是 2、3、5的倍数的 是( )。 A．XYYXYY B．XYYXYX C．XXXYXX D．XYXYXY 【答案】D 【分析】这个数同时是 2、3、5的倍数，它的个位上的数一定是 0，且各个数位 上的数字之和是 3的倍数。 2的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是 0或 5的数。 2、5的倍数特征：个位上是 0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【详解】A．XYYXYY的个位是 Y，即是 0，是 2、5的倍数； 各个数位上的数字之和是 X＋Y＋Y＋X＋Y＋Y＝2X＋4Y，不是 3的倍数，不符 合题意； B．XYYXYX的个位是 X，不是 0，不是 2、5的倍数，不符合题意； C．XXXYXX的个位是 X，不是 0，不是 2、5的倍数，不符合题意； D．XYXYXY个位是 Y，即是 0，是 2、5的倍数； 各个数位上的数字之和是 X＋Y＋X＋Y＋X＋Y＝3X＋3Y＝3（X＋Y），是 3的 倍数，符合题意。 故答案为：D 14．现有 931、932、933、934、935这五个数，从中选出两个数，使选出的两个 数的和能被 6整除，满足条件的选法共有( )种。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据余数的可加性，即和的余数等于余数的和。例：9÷4＝2……1，11÷4 ＝2……3，（9＋11）÷4的余数是 1＋3＝4，由于余数和除数是相等的，则这两 个数的和能被 4整除。931、932、933、934、935除以 6的余数分别为 1、2、3、 第 9 页 共 11 页 4、5。要是这两个数的和能被 6整除，则两个余数加起来为 6。分情况讨论。 【详解】①1＋5＝6，则 931与 935的和能被 6整除。 （931＋935）÷6 ＝1866÷6 ＝311 ②2＋4＝6，则 932与 934的和能被 6整除。 （932＋934）÷6 ＝1866÷6 ＝311 满足条件的选法共有 2种。 故答案为：C 15．从 0至 9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有 ( )种填法使得方框中话是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）设四个括号内填的数依次是 a、b、c、d．这句话中共有 8个数， 显然 a>b>c>d≥0． （2）由于括号内四个数不同，因为只有 0、1不大于 1，（加上已给出的 1）， 所以 a≥5． （3）a≥5，所以至少有一个数大于 4，则 d≥1．而 a=5，则 b、c、d中有一个是 0， 则这种情况不存在；所以 a≥6，又因为 a不可能是 8（8个数中已有一个 1），所 以 a=7、或 6． （4）当 a=7时，则所填四个数最小的 d≥2． 当 d=2时，b不能等于 6，（已经有 1、2、2三个数不大于 2了），b只能是 5， c=4、3满足条件．这句话为：这句话里有 7个数大于 1，有 5个数大于 2，有 4 个数大于 3，有 2个数大于 4；或这句话里有 7个数大于 1，有 5个数大于 2，有 3个数大于 3，有 2个数大于 4． 当 d=3时，为了满足三个数大于 4，则 b、c分别为 6、5，没有 5个数大于 3． 第 10 页 共 11 页 （5）当 a=6时，则 bcd中有一个数为 0或 1，显然只能是 d=1．若 d=1，则 b=4 （b不能等于 5），c≥3，c=3，这句话为：这句话里有 6个数大于 1，有 4个数 大于 2，有 3个数大于 3，有 1个数大于 4；错误． （6）所以有 2种填法．选 B． 16．把 16分成几个自然数的和，这几个自然数的乘积最大是( )。 A．288 B．256 C．368 D．324 【答案】D 【分析】3×3＝9，2×2×2＝8，9＞8，所以分成两个 3比分成 3个 2乘积大； 3×1＝3，2×2＝4，3＜4，所以分成两个 2比分成 1个 3和 1个 1乘积大； 因此可以将 16分成 4个 3和 2个 2的和，即 16＝3×4＋2×2，由此即可求出这几 个自然数的乘积最大是多少。 【详解】16＝3×4＋2×2 乘积为： 4 23 2 81 4 324    故答案为：D 17．奥利弗、布鲁托、温皮住在同一条街道上，他们家的门牌号依次是从小到大 的三个连续四位数，且依次是 17，11，15的倍数。奥利弗的门牌号最小是 ( )。 A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】C 【分析】由题意可知奥利弗的门牌号是 17的倍数，因此用选项中的数分别去除 以 17，看是否有没有余数即可判断。 【详解】A．2019÷17＝118……13，A不符合题意； B．2021÷17＝118……15，B不符合题意； C．2023÷17＝119，C不符合题意； D．2025÷17＝119……2，D不符合题意； 故答案为：C 18．已知 33位数4 4 4 4ab ab ab ab 能被 77整除，则三位数4ab  ( )。 A．461 B．462 C．463 D．464 【答案】B 第 11 页 共 11 页 【分析】1001＝7×11×13＝77×13，因为 4 4ab ab＝4ab×1001，所以 4 4ab ab能被 77 整除，所以这个 33位数的前 30位能被 77整除，要使这个 33位数能被 77整除， 则最后 3位也要被 77整除，4ab能被 77整除；将每个选项的数代入判断即可。 【详解】A．461÷77＝5……76，不符合题意； B．462÷77＝6，符合题意； C．463÷77＝6……1，不符合题意； D．464÷77＝6……2，不符合题意； 根据分析可知，三位数4ab＝462。 故答案为：B 【点睛】本题考查的是位值原理与整除特征，掌握特殊数 7、11的整除特征是解 答本题的关键。 第 1 页 共 3 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 04：数论·余数问题和数字问题【专项训练】 一、填空题。 1．一个三位数 45 ，要使它是 3的倍数， 里最大填( )；要使 它是 2、3和 5的倍数， 里可以填( )。 2．“17、22、24、27、29、37、45、60”中，2的倍数有( )个，3的倍数 有( )个；2、3、5共同的倍数有( )个；质数有( )个。 3．有一箱橘子的数量在 100个以内，2个 2个地数、5个 5个地数、3个 3个地 数都正好数完，这箱橘子最多有( )个。 4．将一个两位数的十位和个位数字交换，得到的新两位数比原数大 63，这样的 两位数有( )个。 5．你作为大楼设计师，正在设计每层每户的门牌号码。大楼共有 9层，每层有 28间房间。例如，第一层的门牌为：101、102、103、…、128，类似的，第二 层的门牌为 201～228，…，第九层的门牌为 901～928。每个数码需要单独打印 制作，例如：101要制作两个数码 1和一个数码 0，制作整幢大楼的门牌，共需 要( )个数码 2。 6．循环小数 2.4521632163…，小数点后第 2006～2019位的数字和是( )。 7．如果一个四位数 A与一个三位数 B的和是 2013，且 A和 B是由 7个不同的 数字组成的。那么 A与 B的差最小是( )。 8．第七届世界军人运动会，简称“武汉军运会”，将于 2019年 10月 18日至 27 日在湖北武汉举行，赛期十天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27个大项、 329个小项。届时，将有来自一百多个国家的近万名现役军人同台竞技。 2019101827329除以 11的余数是( )。 9．一个数除以 7得到的商和余数都相等，这个数最大是( )。 10．商店有一个保险箱，密码是 3854□942，从左往右数第五位上的数字忘记了， 只记得密码是 5678×6789的乘积，那么□里应填( )。 二、选择题。 第 2 页 共 3 页 11．下面各数中，同时是 2、3、5的倍数的是( )。 A．18 B．220 C．75 D．810 12．下列说法有几句是错误的( )。 （1）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是 5、6、7、8、9，算老师赢，否则 算小明赢，那么小明赢的可能性大； （2）拉动一个长方形木架（如图），在这个变化过程中，平行四边形的面积和 高成正比例； （3）ABAABB 是个六位数，其中A表示比 10小的任何一个非零自然数，B 表示 0， 那么这个六位数一定是 2、3、5的公倍数； （4）把一根长 16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数）。 如果第一次从 2厘米处折，那么第二次应从 8厘米处折。 A．0句 B．1句 C．2句 D．3句 13．四个六位数分别是 XXXYXX、XYXYXY、XYYXYY、XYYXYX，并且 X 是比 10小的非零自然数，Y是 0，那么，这四个数中一定是 2、3、5的倍数的 是( )。 A．XYYXYY B．XYYXYX C．XXXYXX D．XYXYXY 14．现有 931、932、933、934、935这五个数，从中选出两个数，使选出的两个 数的和能被 6整除，满足条件的选法共有( )种。 A．0 B．1 C．2 D．3 15．从 0至 9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有 ( )种填法使得方框中话是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 16．把 16分成几个自然数的和，这几个自然数的乘积最大是( )。 A．288 B．256 C．368 D．324 第 3 页 共 3 页 17．奥利弗、布鲁托、温皮住在同一条街道上，他们家的门牌号依次是从小到大 的三个连续四位数，且依次是 17，11，15的倍数。奥利弗的门牌号最小是 ( )。 A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 18．已知 33位数4 4 4 4ab ab ab ab 能被 77整除，则三位数4ab  ( )。 A．461 B．462 C．463 D．464 2025年小升初数学典型例题系列 专题04：数论·余数问题和数字问题【专项训练】 一、填空题。 1．一个三位数45，要使它是3的倍数，里最大填( )；要使它是2、3和5的倍数，里可以填( )。 2．“17、22、24、27、29、37、45、60”中，2的倍数有( )个，3的倍数有( )个；2、3、5共同的倍数有( )个；质数有( )个。 3．有一箱橘子的数量在100个以内，2个2个地数、5个5个地数、3个3个地数都正好数完，这箱橘子最多有( )个。 4．将一个两位数的十位和个位数字交换，得到的新两位数比原数大63，这样的两位数有( )个。 5．你作为大楼设计师，正在设计每层每户的门牌号码。大楼共有9层，每层有28间房间。例如，第一层的门牌为：101、102、103、…、128，类似的，第二层的门牌为201～228，…，第九层的门牌为901～928。每个数码需要单独打印制作，例如：101要制作两个数码1和一个数码0，制作整幢大楼的门牌，共需要( )个数码2。 6．循环小数2.4521632163…，小数点后第2006～2019位的数字和是( )。 7．如果一个四位数A与一个三位数B的和是2013，且A和B是由7个不同的数字组成的。那么A与B的差最小是( )。 8．第七届世界军人运动会，简称“武汉军运会”，将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期十天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项。届时，将有来自一百多个国家的近万名现役军人同台竞技。2019101827329除以11的余数是( )。 9．一个数除以7得到的商和余数都相等，这个数最大是( )。 10．商店有一个保险箱，密码是3854□942，从左往右数第五位上的数字忘记了，只记得密码是5678×6789的乘积，那么□里应填( )。 二、选择题。 11．下面各数中，同时是2、3、5的倍数的是( )。 A．18 B．220 C．75 D．810 12．下列说法有几句是错误的( )。 （1）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是5、6、7、8、9，算老师赢，否则算小明赢，那么小明赢的可能性大； （2）拉动一个长方形木架（如图），在这个变化过程中，平行四边形的面积和高成正比例； （3）是个六位数，其中表示比10小的任何一个非零自然数，表示0，那么这个六位数一定是2、3、5的公倍数； （4）把一根长16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数）。如果第一次从2厘米处折，那么第二次应从8厘米处折。 A．0句 B．1句 C．2句 D．3句 13．四个六位数分别是XXXYXX、XYXYXY、XYYXYY、XYYXYX，并且X是比10小的非零自然数，Y是0，那么，这四个数中一定是2、3、5的倍数的是( )。 A．XYYXYY B．XYYXYX C．XXXYXX D．XYXYXY 14．现有931、932、933、934、935这五个数，从中选出两个数，使选出的两个数的和能被6整除，满足条件的选法共有( )种。 A．0 B．1 C．2 D．3 15．从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有( )种填法使得方框中话是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 16．把16分成几个自然数的和，这几个自然数的乘积最大是( )。 A．288 B．256 C．368 D．324 17．奥利弗、布鲁托、温皮住在同一条街道上，他们家的门牌号依次是从小到大的三个连续四位数，且依次是17，11，15的倍数。奥利弗的门牌号最小是( )。 A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 18．已知33位数能被77整除，则三位数( )。 A．461 B．462 C．463 D．464 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学典型例题系列 专题04：数论·余数问题和数字问题【专项训练】 一、填空题。 1．一个三位数45，要使它是3的倍数，里最大填( )；要使它是2、3和5的倍数，里可以填( )。 【答案】 9 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 一个三位数45，要使它是3的倍数，4＋5＝9，9＋9＝18，里最大填9；要使它是2、3和5的倍数，里可以填0。 2．“17、22、24、27、29、37、45、60”中，2的倍数有( )个，3的倍数有( )个；2、3、5共同的倍数有( )个；质数有( )个。 【答案】 3 4 1 3 【分析】2的倍数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数的特征是：各个数位上数字的和是3的倍数的数。 同时是2、3、5的倍数的特征是：个位上是0，且各个数位上数字的和是3的倍数的数。 质数是只有1和它本身两个因数的数。 【详解】22、24、60的个位符合2的倍数特征，所以2的倍数有3个； 24中2＋4＝6（是3的倍数），27中2＋7＝9（是3的倍数），45中4＋5＝9（是3的倍数），60中6＋0＝6（是3的倍数），符合3的倍数的特征，所以是3的倍数有4个； 60的个位是0，且是3的倍数，所以2、3、5共同的倍数有1个； 17只有1和17两个因数，29只有1和29两个因数，37只有1和37两个因数，所以质数有3个。 3．有一箱橘子的数量在100个以内，2个2个地数、5个5个地数、3个3个地数都正好数完，这箱橘子最多有( )个。 【答案】90 【分析】根据题意，题目要求橘子的数量能被2、3、5整除，即该数是2、3、5的公倍数。2、3、5均为质数，最小公倍数为：2×3×5＝30，在100以内，30的倍数有30、60、90，其中最大的是90，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 2×3×5＝30 30×2＝60 30×3＝90 在100以内，30的倍数有30、60、90，最大的是90。 有一箱橘子的数量在100个以内，2个2个地数、5个5个地数、3个3个地数都正好数完，这箱橘子最多有90个。 4．将一个两位数的十位和个位数字交换，得到的新两位数比原数大63，这样的两位数有( )个。 【答案】2 【分析】本题可以用方程解决。设原来的这个两位数为，则现在的两位数就是。再根据得到的新两位数比原数大63，即可列出方程求解。 【详解】解：设原来的这个两位数为，则现在的两位数就是。 因为x、y是数位上的数字， 所以x＝1、y＝8或x＝2、y＝9。 因此这样的两位数有2个。 5．你作为大楼设计师，正在设计每层每户的门牌号码。大楼共有9层，每层有28间房间。例如，第一层的门牌为：101、102、103、…、128，类似的，第二层的门牌为201～228，…，第九层的门牌为901～928。每个数码需要单独打印制作，例如：101要制作两个数码1和一个数码0，制作整幢大楼的门牌，共需要( )个数码2。 【答案】136 【分析】“2”可能出现在个位，也可能出现在十位，也可能出现在百位，分这三种情况分别求出“2”出现的次数，最后再求和，即可知道制作整幢大楼的门牌，共需要多少个数码2。 【详解】个位：每层会出现3次，102、112、122，9×3＝27（个）； 十位：每层会出现9次，120、121、122、123、124、125、126、127、128，9×9＝81（个）； 百位：2楼会出现28次，201～228，28个； 一共：9×3＋9×9＋28 ＝27＋81＋28 ＝108＋28 ＝136（个） 因此制作整幢大楼的门牌，共需要136个数码2。 6．循环小数2.4521632163…，小数点后第2006～2019位的数字和是( )。 【答案】41 【分析】循环小数是从小数点后第3位开始循环的，循环节是2163，循环节有4个数字，用2006减两个不循环的位数，再除以4，根据余数情况判断出第2006位是哪个数字，再用2019减2006的差加1的和除以4，商是多少就有多少个（2＋1＋6＋3）的和，如有余数还要加上余下数字，据此即可解答。 【详解】2006－2＝2004 2004÷4＝501，第2006位数是3； 2019－2006＋1＝14（个） 14÷4＝3……2，第2006～2019位中间有3组3216，第2018、2019位的数字分别3、2； （2＋1＋6＋3）×3＋3＋2 ＝12×3＋5 ＝36＋5 ＝41 小数点后第2006～2019位的数字和是41。 7．如果一个四位数A与一个三位数B的和是2013，且A和B是由7个不同的数字组成的。那么A与B的差最小是( )。 【答案】39 【分析】设A＝，B＝，根据整数加法的计算法则，＋不可能是两位数，即不可能是13，所以A＋B在计算时，百位向千位进1，则A的千位上是（2－1），a也就是1；＋也不可能是13，所以A＋B在计算时，十位向百位进1，所以b＋e＝10－1＝9； ＋＝113，要使两个数的差最小，则A要尽可能最小，B要尽可能最大，所以b最小为0，e最大为9；所以d、g不可能是1，也不可能是0，即c＋f＝10，d＋g＝13，c最小为2，f最大为8，d最小为6，g最大为7。据此解答。 【详解】根据分析可知，A最小为1026，B最大为987，所以 1026－987＝39 A与B的差最小是39。 【点睛】解答本题的关键是明确要使两个数的差最小，则被减数要越小，减数要越大。 8．第七届世界军人运动会，简称“武汉军运会”，将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期十天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项。届时，将有来自一百多个国家的近万名现役军人同台竞技。2019101827329除以11的余数是( )。 【答案】4 【分析】11的整除特征：分别求出奇数位数字之和与偶数位数字之和，然后作差，如果差能被11整除，则这个数就能被11整除。如果差不能被11整除，则差是多少，这个多位数除以11的余数就是多少。 【详解】奇数位数字之和：9＋3＋2＋1＋1＋1＋2＝19 偶数位数字之和：2＋7＋8＋0＋9＋0＝26 差：19＋11－26＝4 所以这个十三位数除以11的余数是6。 9．一个数除以7得到的商和余数都相等，这个数最大是( )。 【答案】48 【分析】根据“余数＜除数”可知，当除数是7时，余数最大为6。再根据“被除数＝除数×商＋余数”即可求出此时被除数最大是多少。 【详解】余数最大为6 6×7＋6 ＝42＋6 ＝48 因此这个数最大是48。 10．商店有一个保险箱，密码是3854□942，从左往右数第五位上的数字忘记了，只记得密码是5678×6789的乘积，那么□里应填( )。 【答案】7 【分析】根据同余定理先求出3854□942、5678×6789除以9的余数，再根据余数推断□里的数即可。 【详解】3854□942≡3＋8＋5＋4＋□＋9＋4＋2＝35＋□≡3＋5＋□＝8＋□（mod9） 5678×6789≡（5＋6＋7＋8）×（6＋7＋8＋9）＝26×30≡（2＋6）×（3＋0）＝24≡2＋4＝6（mod9） 因为5678×6789＝3854□942， 所以，8＋□≡6（mod9） 所以，□＝9＋6－8＝7 故答案为：7 二、选择题。 11．下面各数中，同时是2、3、5的倍数的是( )。 A．18 B．220 C．75 D．810 【答案】D 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】A．1＋8＝9，，18符合2和3的倍数特征，但不符合5的倍数特征。 B．，，220符合2和5的倍数特征，但不符合3的倍数特征。 C．，，75符合5和3的倍数特征，但不符合2的倍数特征。 D．，，810符合2、3和5的倍数特征，所以它同时是2、3、5的倍数。 故答案为：D 12．下列说法有几句是错误的( )。 （1）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是5、6、7、8、9，算老师赢，否则算小明赢，那么小明赢的可能性大； （2）拉动一个长方形木架（如图），在这个变化过程中，平行四边形的面积和高成正比例； （3）是个六位数，其中表示比10小的任何一个非零自然数，表示0，那么这个六位数一定是2、3、5的公倍数； （4）把一根长16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每段都是整厘米数）。如果第一次从2厘米处折，那么第二次应从8厘米处折。 A．0句 B．1句 C．2句 D．3句 【答案】B 【分析】（1）找出掷两个骰子和的所有可能，比较和是5、6、7、8、9与和是其它数的数量的多少即可判断； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断； （3）2、3、5的公倍数的特征：个位一定是0，且各位上的数字和是3的倍数。据此判断； （4）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边进行判断。 【详解】（1）掷两个骰子，点数和的所有可能情况如下：两个骰子最小都是1点，和最小为1＋1＝2；最大都是6点，和最大为6＋6＝12。具体的和以及对应的组合有： 1＋1＝2；1＋2＝3；1＋3＝4，2＋2＝4；1＋4＝5；2＋3＝5；1＋5＝6；2＋4＝6；3＋3＝6；1＋6＝7；2＋5＝7；3＋4＝7；2＋6＝8；3＋5＝8；4＋4＝8；3＋6＝9；4＋5＝9；4＋6＝10；5＋5＝10；5＋6＝11；6＋6＝12，共21种。 其中和是5、6、7、8、9的情况有13种，和是2、3、4、10、11、12的情况有8种，13＞8，所以小明赢的可能性大；原题说法正确。 （2）平行四边形的面积计算公式是S＝a×h（S表示面积，a表示底，h表示高），在拉动长方形木架变成平行四边形的过程中，底的长度就是原来长方形的长，这个长度是固定不变的。 根据正比例的定义，如果两个相关联的量的比值一定，那么这两个量成正比例关系。 在这里＝a（一定），也就是平行四边形的面积与高的比值（底）是一定的，所以平行四边形的面积和高成正比例，该说法正确。 （3）已知B＝0，所以这个六位数ABAABB的个位数字是0，根据2和5的倍数特征，个位是0的数一定是2和5的倍数，再看这个六位数各个数位上数字和： A＋B＋A＋A＋B＋B＝3A＋3B＝3A（因为B＝0）。 由于A表示比10小的任何一个非零自然数，所以3A一定是3的倍数。 根据3的倍数特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 所以这个六位数同时是2、3、5的倍数，也就是2、3、5的公倍数，该说法正确。 （4）把一根长16厘米的吸管折成三段，第一次从2厘米处折，第二次从8厘米处折。那么折下的两段长度分别是2厘米和8－2＝6厘米，剩下的一段长度是16－8＝8厘米，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，这里2＋6＝8厘米，两边之和等于第三边，不满足三边关系，所以不能围成三角形。原题说法错误。 所以（4）的说法错误，错误的有1句。 故答案为：B 13．四个六位数分别是XXXYXX、XYXYXY、XYYXYY、XYYXYX，并且X是比10小的非零自然数，Y是0，那么，这四个数中一定是2、3、5的倍数的是( )。 A．XYYXYY B．XYYXYX C．XXXYXX D．XYXYXY 【答案】D 【分析】这个数同时是2、3、5的倍数，它的个位上的数一定是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．XYYXYY的个位是Y，即是0，是2、5的倍数； 各个数位上的数字之和是X＋Y＋Y＋X＋Y＋Y＝2X＋4Y，不是3的倍数，不符合题意； B．XYYXYX的个位是X，不是0，不是2、5的倍数，不符合题意； C．XXXYXX的个位是X，不是0，不是2、5的倍数，不符合题意； D．XYXYXY个位是Y，即是0，是2、5的倍数； 各个数位上的数字之和是X＋Y＋X＋Y＋X＋Y＝3X＋3Y＝3（X＋Y），是3的倍数，符合题意。 故答案为：D 14．现有931、932、933、934、935这五个数，从中选出两个数，使选出的两个数的和能被6整除，满足条件的选法共有( )种。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据余数的可加性，即和的余数等于余数的和。例：9÷4＝2……1，11÷4＝2……3，（9＋11）÷4的余数是1＋3＝4，由于余数和除数是相等的，则这两个数的和能被4整除。931、932、933、934、935除以6的余数分别为1、2、3、4、5。要是这两个数的和能被6整除，则两个余数加起来为6。分情况讨论。 【详解】①1＋5＝6，则931与935的和能被6整除。 （931＋935）÷6 ＝1866÷6 ＝311 ②2＋4＝6，则932与934的和能被6整除。 （932＋934）÷6 ＝1866÷6 ＝311 满足条件的选法共有2种。 故答案为：C 15．从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有( )种填法使得方框中话是正确的． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）设四个括号内填的数依次是a、b、c、d．这句话中共有8个数，显然a>b>c>d≥0． （2）由于括号内四个数不同，因为只有0、1不大于1，（加上已给出的1），所以a≥5． （3）a≥5，所以至少有一个数大于4，则d≥1．而a=5，则b、c、d中有一个是0，则这种情况不存在；所以a≥6，又因为a不可能是8（8个数中已有一个1），所以a=7、或6． （4）当a=7时，则所填四个数最小的d≥2． 当d=2时，b不能等于6，（已经有1、2、2三个数不大于2了），b只能是5，c=4、3满足条件．这句话为：这句话里有7个数大于1，有5个数大于2，有4个数大于3，有2个数大于4；或这句话里有7个数大于1，有5个数大于2，有3个数大于3，有2个数大于4． 当d=3时，为了满足三个数大于4，则b、c分别为6、5，没有5个数大于3． （5）当a=6时，则bcd中有一个数为0或1，显然只能是d=1．若d=1，则b=4（b不能等于5），c≥3，c=3，这句话为：这句话里有6个数大于1，有4个数大于2，有3个数大于3，有1个数大于4；错误． （6）所以有2种填法．选B． 16．把16分成几个自然数的和，这几个自然数的乘积最大是( )。 A．288 B．256 C．368 D．324 【答案】D 【分析】3×3＝9，2×2×2＝8，9＞8，所以分成两个3比分成3个2乘积大； 3×1＝3，2×2＝4，3＜4，所以分成两个2比分成1个3和1个1乘积大； 因此可以将16分成4个3和2个2的和，即16＝3×4＋2×2，由此即可求出这几个自然数的乘积最大是多少。 【详解】16＝3×4＋2×2 乘积为： 故答案为：D 17．奥利弗、布鲁托、温皮住在同一条街道上，他们家的门牌号依次是从小到大的三个连续四位数，且依次是17，11，15的倍数。奥利弗的门牌号最小是( )。 A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】C 【分析】由题意可知奥利弗的门牌号是17的倍数，因此用选项中的数分别去除以17，看是否有没有余数即可判断。 【详解】A．2019÷17＝118……13，A不符合题意； B．2021÷17＝118……15，B不符合题意； C．2023÷17＝119，C不符合题意； D．2025÷17＝119……2，D不符合题意； 故答案为：C 18．已知33位数能被77整除，则三位数( )。 A．461 B．462 C．463 D．464 【答案】B 【分析】1001＝7×11×13＝77×13，因为＝×1001，所以能被77整除，所以这个33位数的前30位能被77整除，要使这个33位数能被77整除，则最后3位也要被77整除，能被77整除；将每个选项的数代入判断即可。 【详解】A．461÷77＝5……76，不符合题意； B．462÷77＝6，符合题意； C．463÷77＝6……1，不符合题意； D．464÷77＝6……2，不符合题意； 根据分析可知，三位数＝462。 故答案为：B 【点睛】本题考查的是位值原理与整除特征，掌握特殊数7、11的整除特征是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$