精品解析：广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算得解. 【详解】由等比数列性质，得，所以. 故选：D 2. 等差数列中是其前项和，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 54 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】运用等差数列性质即可. 【详解】由题知：，所以. . 故选：A. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 4. 已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（ ） A 1 B. 1.1 C. 5.1 D. 10.1 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的平均变化率定义直接计算即可. 【详解】由题函数的平均变化率为. 故选：D 5. 已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第19项 B. 第20项 C. 第21项 D. 第22项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 6. 若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造新函数，得到．结合锐角三角形性质，三角函数单调性，诱导公式，得到.运用单调性，可以得到函数值大小. 【详解】由于，则. 即令，则. 则在内单调递增. 为锐角三角形，则,则，则. 故，变形得到. 故选：D. 7. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 8. 若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）． A. 甲是乙的充分非必要条件 B. 甲是乙的必要非充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可. 【详解】若为等比数列，设其公比为，则，为常数，所以成等比数列，即是等方比数列，故必要性满足. 若是等方比数列，即成等比数列，则不一定为等比数列，例如，有，满足是等方比数列，但不是等比数列，充分性不满足. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 是以为周期的周期数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知数列递推式，可得是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项 【详解】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 11. 已知,则（ ） A. 的定义域是 B. 函数在上为减函数 C. 若直线和的图象有交点,则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式,列出需要满足的条件,解出即可判断A的正误; 求,判断其正负,确定的单调性,根据和的定义域,确定在区间上的正负,即单调性,即可判断B的正误; 根据单调性求出端点值和极值点,画出草图,即可判断C的正误; 根据单调性,取特殊值,即可证明D的正误. 【详解】解:关于选项A:, , 解得, 故选项A正确; 关于选项B: , , , ,, 在单调递增, , 在上单调递减, 故选项B正确; 关于选项C: ,, , 在单调递增, , 时,单调递减, 时,,单调递增, , 所以画草图如下: 由图可知,若直线和的图象有交点, 则, 故选项C错误; 关于选项D: 时,单调递增, , 即, 成立, 故选项D正确. 故选:ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率. 【详解】因为，则， 故函数的图象在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13. 函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】函数在上是单调递增函数，则在上恒成立.变量分离，等价于，求的最小值，即可求出的范围. 【详解】解：函数在上是单调递增函数，则在上恒成立，等价于在上恒成立，即 在上单调递增，的最小值为3，所以. 故答案为： 14. 如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式. 【详解】由于 所以 梯形 的面积为的面积减去的面积， 则可得 即递推公式为 故为等差数列，且公差， 故，得 故答案为: 【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解二次不等式求解单调区间即可. （2）先根据函数的极值求出，根据（1）得函数的单调区间，然后结合端点值和极值即可求解最值. 【小问1详解】 由题得，且定义域为R． 当时，函数，因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是． 【小问2详解】 由函数在时取得极值，得，解得， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 满足在时取得极小值，故， 又1， 所以函数在区间上的最小值是． 16. 函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求出方程的解个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程； （2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数． 【小问1详解】 易知定义域为， 因为，所以，所以，所以， 所以切线方程为：． 【小问2详解】 方程解的个数等价于于的交点个数． 由得，由得. 所以在上递减，在上递增， 所以，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 又，且时，，作出与的图象， 由图可知当时，方程的解为0个 当或时，方程的解为1个 当时，方程的解为2个. 17. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设的前项和为，，证明：数列的前n项和小于． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件利用配凑的方式，将数列配凑成数列第项与第项的等式关系，即可证明，利用等比数列的通项公式求出通项，再求出的通项公式； （2）根据通项公式的特点，求出的表达式，进而求出的通项公式， 的通项公式，利用裂项相消法求前n项和，观察所求出来的式子可证明结果. 【小问1详解】 ， ， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 即． 【小问2详解】 ． 所以． 所以， 数列的前n项和为． 故数列的前n项和小于. 18. 若数列前项和为，且；数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）采用作差法结合关系式可求，再验证可求的通项公式；对变形得，求出的通项公式，进而求出的通项公式； （2）采用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由，得，. 又，， 两式相减，得，. ，. ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.. 由，得， 又，数列是首项为1，公差为1的等差数列. .； 【小问2详解】 ，. 两式相减，得 . 19. 设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数). （1）证明：当x>1时，f(x)>0； （2）讨论g(x)的单调性； （3）若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）先化简f(x)，再利用导数研究s(x)＝ex－1－x单调性，确定其符号，即得结果； （2）先求导数，再根据a分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间； （3）先讨论a≤0与0<a<时不等式不恒成立，再构造函数h(x)＝g(x)－f(x)(x>1)，利用导数确定其最值，进而可得a≥时不等式恒成立，即得结果. 【详解】（1）证明：f(x)＝， 令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1， 当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s（1）＝0，所以s(x)>0， 从而当x>1时，f(x)>0. （2）g′(x)＝2ax－＝ (x>0)， 当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当a>0时，由g′(x)＝0得x＝. 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增. （3）由（1）知，当x>1时，f(x)>0. 当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－lnx<0， 故当f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 当0<a<时， >1， g(x)在上单调递减，<g（1）＝0，而>0，所以此时f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立. 当a≥时，令h(x)＝g(x)－f(x)(x>1)， 当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>0， 因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 又h（1）＝0，所以当x>1时，h(x)＝g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)恒成立. 综上，a的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中其前项和，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 54 D. 81 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数平均变化率为（ ） A. 1 B. 1.1 C. 5.1 D. 10.1 5. 已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第19项 B. 第20项 C. 第21项 D. 第22项 6. 若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 7. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）． A. 甲是乙的充分非必要条件 B. 甲是乙的必要非充分条件 C. 甲是乙充要条件 D. 甲是乙的既非充分也非必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 是以为周期的周期数列 11. 已知,则（ ） A. 的定义域是 B. 函数在上为减函数 C. 若直线和的图象有交点,则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 13. 函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________. 14. 如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值. 16. 函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求出方程的解个数． 17. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设前项和为，，证明：数列的前n项和小于． 18. 若数列的前项和为，且；数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数). （1）证明：当x>1时，f(x)>0； （2）讨论g(x)的单调性； （3）若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$