专题01 函数的表示法与变量重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题01 函数的表示法与变量重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 知识点01 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点02 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点03 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列解析式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 3．（23-24八年级下·张家界·阶段练习）已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则_____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 【经典例题二 函数解析式】 【例2】 （23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（公里）的关系式为 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（2025·湖南怀化·一模）函数（是常数）的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·单元测试）找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系对应的图象是______. (4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. A．   B．    C．   D． 【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）函数中，自变量x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 1．（2024·湖南株洲·一模）函数中自变量的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）从这五个数中随机抽取一个数记为，的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内，则a的值为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 1．（2024·湖南永州·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）物体在月球上自由下落的高度（米）和下落时间（秒）的关系：大约是． （1）一物体从高空下落2秒时，下落的高度为 ； （2）当时，物体下落所需要的时间为 ． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）一台收割机在开始工作前，油箱中有柴油L，开始工作后，每小时耗油L． (1)写出油箱中的剩余油量W（L）与工作时间t（h）之间的关系式，并指出其中的自变量和因变量； (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为多少？ 【经典例题六 函数的三种表示方法】 【例6】（23-24八年级下·江苏常州·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 9 2 1 0 ﹣7 ﹣26 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（  ） A．76 B．﹣74 C．126 D．﹣124 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是 ． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）下表记录的是某橘子种植户橘子的销售额（元）随橘子的销量（千克）变化的有关数据．请根据表中数据回答下列问题： 销量（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售额（元） 2 4 6 8 10 12 14 16 18 （1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当销量是5千克时，销售额是　　元； （3）若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为　　． 【经典例题七 用表格表示变量间的关系】 【例7】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【经典例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例8】（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【经典例题九 用图象表示变量间的关系】 【例9】（23-24八年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A．B．C． D． 2．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 3．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【经典例题十 从函数的图象获取信息】 【例10】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的某个函数的部分图象，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（  ） A．小明从家到乒乓球馆的速度是 B．小明在报亭停留时间为 C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 2．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，完成下面的问题： ［素材1］某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． ［素材2］假设每位游客游玩时，行走速度保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程与时间的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． ［问题1］游客游玩时的行走速度为 米/分． ［问题2］路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 米． 3．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）小亮家距离学校8千米，昨天早晨，小亮骑车上学途中，自行车“爆胎”， 恰好路边有“自行车维修部”， 几分钟后车修好了，为了不迟到，他加快了骑车到校的速度．回校后，小亮根据这段经历画出如下图象．该图象描绘了小亮骑行的路程s与他所用的时间关系，请根据图象，解答下列问题： (1)小亮骑行了多少千米时，自行车“爆胎”？ 修车用了几分钟？ (2)小亮“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度一样吗？为什么？ (3)如果自行车没有“爆胎”， 一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到学校多少分钟？（精确到0.1） 【经典例题十一 用描点法画函数图象】 【例11】（23-24八年级下·全国·单元测试）铅笔每支售价0.20元，在平面直角坐标系内表示小明买1支到10支铅笔需要花费的钱数的图像是(   ) A．一条直线 B．一条射线 C．一条线段 D．10个不同的点 1．（2024·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： 0 1 3 2 1 0 1 2    (1)列表：直接填空：___________． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________ (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________． 【经典例题十二 动点问题的函数图象】 【例12】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，点A、B是以点O为圆心的圆上两个点，若点P沿路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图1，长方形中，动点在长方形的边上沿的方向运动，设点的运动路程为的面积为与的关系图象如图所示，则图中的值为（    ）    A． B．6 C． D．7 2．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知动点 以每秒的速度沿如图所示的边框按从 的路径移动，相应的的面积关于时间t的函数图象如图所示，若 试回答下列问题． (1)此题的自变量是 ，因变量是 ； (2)如图甲， 的长是 ； (3)如图乙，图中的是 ，是 ． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．    B．   C．   D．   2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，为直角，动点P从点D开始沿的路径匀速运动到点A，在这个过程中，的面积S随时间t的变化过程可以用图象近似表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 7．（2025八年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 8．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与的值无关；④用关系式表示的，不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的是 ． 9．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 10．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图①，四边形中，，，从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，则四边形的面积为 ． 11．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 13．（2024·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 14．（23-24八年级下·上海·期中）已知函数，其中与成反比例，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当或，的值均为． 请对该函数及其图像进行如下探究： (1)求该函数的解析式； (2)函数图像探究：根据解析式完成下表： … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 5 4 ① 5 ② … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的大致图像． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所 用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是5分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的表示法与变量重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 知识点01 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点02 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点03 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数． 【详解】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故A不符合题意； B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故B不符合题意； C、对于x的每一个取值，y有不唯一的值，y不是x的函数，故C符合题意； D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列解析式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义可逐项判断求解． 【详解】解：A选项符合函数的定义，不符合题意，故错误； B选项符合函数的定义，不符合题意，故错误； C选项不符合函数的定义，符合题意，故正确； D选项符合函数的定义，不符合题意，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的定义，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数． 【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， ∴①y=x2；②y=2x-1④当x取值时，y有唯一的值对应； 而③，例如当x=2时，y=±2，不具有唯一值. 故具有函数关系（自变量为x）的是①②④． 故答案为①②④ 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 3．（23-24八年级下·张家界·阶段练习）已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则_____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 【答案】(1)是 (2)①；②当时，y的值为1225 【分析】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积，根据函数定义判断即可． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积即可．本题考查了函数的定义，求函数值，熟练掌握定义，规范求函数值是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， 则， 是x的函数， 故答案为：是． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， ①； ②当时，． 【经典例题二 函数解析式】 【例2】 （23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A．表格中的三组的对应值均满足，因此选项A符合题意； B．表格中满足，但与不满足，因此选项B不符合题意； C．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项C不符合题意； D．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查函数关系式，理解函数的定义以及函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（公里）的关系式为 ． 【答案】 【分析】读懂题意，剩油量=原有油量-工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．列出关于变量的关系式． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是读懂题意，掌握两个变量之间的关系． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 (1)在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； (2)声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； (3)某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（2025·湖南怀化·一模）函数（是常数）的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，分，和三种情况判断即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，函数，故选项符合题意； 当时，，可以取任意实数，当时，，且随着的增大或减小，图象无限靠近轴，故选项符合题意； 当时，，当时，，故选项符合题意； ∴图象不可能是， 故选：． 1．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答是关键． 根据题意，结合，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：根据提起铁块的过程可知，铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变； 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，故此过程中弹簧的度数增加； 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故此过程中弹簧的度数增加到最大后保持不变； 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 【答案】100 【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 0~15分的速度：； 25分~35分的速度：； 45分~50分的速度：； ∵， ∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分； 故答案为：100． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·单元测试）找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系对应的图象是______. (4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. A．   B．    C．   D． 【答案】(1) A；(2)D； (3)C； (4)B 【分析】根据题意列出函数解析式，再根据解析式来确定函数图象． 【详解】（1）匀速时速度和时间之间关系不变，故选A； （2）正方形的面积与边长之间的关系是二次函数关系，故选D； （3）用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系是二次函数的关系，且有最大值，故选C； （4）在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系是反比例关系，故选B． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力，解题关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）函数中，自变量x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查求自变量的取值范围．熟练掌握分式的分母不为零，是解题的关键． 1．（2024·湖南株洲·一模）函数中自变量的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0， 解得：x≠-1． 故选：A． 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）从这五个数中随机抽取一个数记为，的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】首先求得不等式组的解集及函数的自变量取值范围，再根据所给的a的值，即可求解． 【详解】解：解不等式组， 由解得， 由解得， 所以，不等式组的解集为， 函数的自变量取值范围为：， 解得且， 所以，且且， 所以，a的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，求函数自变量的取值范围，根据题意，准确计算是解决本题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【答案】(1)全体实数 (2) (3) 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． （1）根据一次函数的自变量为一切实数解答； （2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可； （3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意得：，， 解得：； （3）由题意得：， 解得：． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 【答案】B 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键． 1．（2024·湖南永州·模拟预测）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）物体在月球上自由下落的高度（米）和下落时间（秒）的关系：大约是． （1）一物体从高空下落2秒时，下落的高度为 ； （2）当时，物体下落所需要的时间为 ． 【答案】 米 5秒 【分析】（1）求出时的函数值即可得出结果； （2）求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，； 故答案为：米； （2）当时，， ∴； 故答案为：5秒． 【点睛】本题考查求函数值和自变量的值．正确的计算，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）一台收割机在开始工作前，油箱中有柴油L，开始工作后，每小时耗油L． (1)写出油箱中的剩余油量W（L）与工作时间t（h）之间的关系式，并指出其中的自变量和因变量； (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为多少？ 【答案】(1)，其中t是自变量，W是因变量 (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为 【分析】本题考查了变量之间的关系，自变量、因变量，根据自变量求因变量等知识．熟练掌握变量之间的关系，自变量、因变量，根据自变量求因变量是解题的关键． （1）由题意知，，其中t是自变量，W是因变量； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，其中t是自变量，W是因变量； （2）解：当时，， ∴当工作时间为时，油箱内剩余的油量为． 【经典例题六 函数的三种表示方法】 【例6】（23-24八年级下·江苏常州·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 9 2 1 0 ﹣7 ﹣26 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（  ） A．76 B．﹣74 C．126 D．﹣124 【答案】C 【分析】根据特殊与一般的关系，确定变量之间的函数关系，后计算即可 【详解】解：根据表格数据可知，函数的解析式为y＝﹣+1， 当x＝﹣5时，y＝﹣+1＝126． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图表形式，解析式形式，准确确定两个变量之间的关系是解题关键． 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可． 【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断， A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意； B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意； C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意； D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是 ． 【答案】y=6x+2． 【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度． 【详解】：由题意可得， 把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm， 把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2， 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）下表记录的是某橘子种植户橘子的销售额（元）随橘子的销量（千克）变化的有关数据．请根据表中数据回答下列问题： 销量（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售额（元） 2 4 6 8 10 12 14 16 18 （1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当销量是5千克时，销售额是　　元； （3）若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为　　． 【答案】（1）橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的销量是自变量，橘子的销售额是因变量；（2）10；（3）y＝2x． 【分析】（1）根据题意以及表格，即可得到表中反映了橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的销量是自变量，橘子的销售额是因变量； （2）根据表格中的数据，即可得出当销量是5千克时，销售额是10元； （3）根据销售额（元）随橘子的销量（千克）变化的有关数据，即可得到y与x之间的关系式． 【详解】解：（1）表中反映了橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的销量是自变量，橘子的销售额是因变量； （2）当销量是5千克时，销售额是10元； 故答案为：10； （3）依据表格，若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为y＝2x， 故答案为：y＝2x． 【点睛】此题主要考查函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 【经典例题七 用表格表示变量间的关系】 【例7】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可得刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故A正确，不符合题意； 由表格可得：随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，故B正确，不符合题意； 当刹车时车速为时，刹车距离是，故C错误，符合题意； 在限速的高速公路上，最大刹车距离为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 【答案】190 【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 … 需要的天数/天 25 20 15 10 … (1)这本书共有多少页？ (2)需要的天数是怎样随着每天看的页数的变化而变化的？ (3)用m表示每天看的页数，n表示需要的天数，用式子表示m与n的关系．m与n成什么比例关系？ 【答案】(1)300页 (2)需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少 (3)；m与n成反比例关系； 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据． （1）根据每天看的页数乘以时间即可得出结论； （2）由表中的数据可得需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）根据总页数，表示每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系即可；根据关系式判断每天看的页数与需要的天数之间的比例关系即可． 【详解】（1）解：这本书共有（页） 答：这本书有300页； （2）解：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； 答：需要的天数是随着每天看的页数的增加而减少； （3）解：每天看的页数m与需要的天数n之间的数量关系为：； 故答案为：； 可以得出：m与n成反比例关系； 【经典例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例8】（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】直接利用油箱中的油量总油量耗油量进而得出x与y的关系式，再求出的求值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 【答案】23.5 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长， ∴与的关系式为． 当所挂物体的质量为时，即时， 故答案为：23.5． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 【经典例题九 用图象表示变量间的关系】 【例9】（23-24八年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【答案】D 【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项． 【详解】解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1， 解得：a=60，b=4， 甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h， 故A，B，C正确，不符合题意； ∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h， ∴甲车出发后被乙车追上， 故D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键． 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案． 【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误； B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误； C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确； D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键． 2．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 3．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40，10； (2)1； (3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【分析】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【详解】（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇， ， 解得． 所以摩托车出发后1小时，它们相遇； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：，解得 ②相遇后：， 解得： ③摩托车到达终点后，，解得； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键. 【经典例题十 从函数的图象获取信息】 【例10】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的某个函数的部分图象，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象的特征判断自变量不能取，再根据时，即可判断． 【详解】解：由函数图象可知，自变量不能取，B选项不符合题意； 当时，，可判断A符合题意，C、D不符合题意； 故选：A． 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）小明家、报亭、乒乓球馆在一条直线上．小明从家跑步到乒乓馆打球，再去报亭看报，最后回家．小明离家的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（  ） A．小明从家到乒乓球馆的速度是 B．小明在报亭停留时间为 C．乒乓球馆在小明家与报亭之间 D．小明回家的速度是先慢后快 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象中每一段所表示关系，对各选项进行判断即可得到结果，读懂函数图象，获取信息是解题的关键． 【详解】、根据函数图象，小明家到乒乓球馆的距离是用时为， ∴小明从家到乒乓球馆的速度是，原选项错误，不符合题意； 、图象中第二段与轴平行的图象，表示在报亭停留时 间，对应的轴上用时从到，用时为，原选项正确，符合题意； 、根据函数图象，小明先到乒乓球馆，再往回走到报亭再回到家，则乒乓球馆不一定在小明家与报亭之间，原选项不符合题意 ， 、从报亭回到家用时，走了，速度为， ∴小明回家的速度是不变的，原选项错误，不符合题意， 故选：． 2．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，完成下面的问题： ［素材1］某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． ［素材2］假设每位游客游玩时，行走速度保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程与时间的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． ［问题1］游客游玩时的行走速度为 米/分． ［问题2］路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 米． 【答案】 60 4800 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解答本题的关键． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，进而可求出速度； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：（1）由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/秒）． 故答案为：60； （2）由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故答案为：4800． 3．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）小亮家距离学校8千米，昨天早晨，小亮骑车上学途中，自行车“爆胎”， 恰好路边有“自行车维修部”， 几分钟后车修好了，为了不迟到，他加快了骑车到校的速度．回校后，小亮根据这段经历画出如下图象．该图象描绘了小亮骑行的路程s与他所用的时间关系，请根据图象，解答下列问题： (1)小亮骑行了多少千米时，自行车“爆胎”？ 修车用了几分钟？ (2)小亮“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度一样吗？为什么？ (3)如果自行车没有“爆胎”， 一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到学校多少分钟？（精确到0.1） 【答案】(1)， (2)小亮“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度不一样，见解析 (3)早到分钟 【分析】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是正确理解题意、从图象获取必须的信息． （1）根据函数图象的意义即可求解； （2）分别求出“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度，进行比较即可； （3）求出未出没有“爆胎”需用的时间，然后与实际情况的时间比较即可进行判断． 【详解】（1）解：根据题意，结合图形可知，小亮骑车行驶了千米时自行车“爆胎”，修车用了分钟， 故答案为：，． （2）解：小亮“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度不一样，理由如下： 修车前小亮的骑车速度为：（千米/分钟） 修车后小亮的骑车速度为：（千米/分钟）， ∵， ∴小亮“爆胎”前的骑行速度和修车后的骑行速度不一样； （3）解：按先前速度所需时间为：（分钟）， ∴（分钟），即早到分钟． 【经典例题十一 用描点法画函数图象】 【例11】（23-24八年级下·全国·单元测试）铅笔每支售价0.20元，在平面直角坐标系内表示小明买1支到10支铅笔需要花费的钱数的图像是(   ) A．一条直线 B．一条射线 C．一条线段 D．10个不同的点 【答案】D 【分析】列出函数的解析式为：y＝0.2x（x正整数，且1≤x≤10）；据此即可求得点的个数． 【详解】∵函数的解析式为：y＝0.2x（x正整数，且1≤x≤10）； ∴在坐标平面内表示为一条直线上的10个点． 故选D． 【点睛】本题考查的是函数的图像，熟练掌握函数的图像是解题的关键. 1．（2024·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： 0 1 3 2 1 0 1 2    (1)列表：直接填空：___________． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________ (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①函数有最小值为，②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小 (4)4 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （4）观察图象即可解答． 【详解】（1）当 时, ， ， 故答案为: ； （2）描点、连线画出该函数图象如图：    （3）写出该图象的两条性质： ①函数有最小值为， ②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小， 故答案为：函数有最小值为； 当时,随着的增大而增大；时，随着的增大而减小； （4）如图，    该函数图象与直线 围成的区域内 (不包括边界) 整点的个数为， 故答案为: ． 【经典例题十二 动点问题的函数图象】 【例12】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，点A、B是以点O为圆心的圆上两个点，若点P沿路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查根据动点问题确定函数图象，根据题中动点的轨迹及速度结合选项中的函数图象求解即可 【详解】解：根据题意得点P沿路线匀速运动， 当在线段上时，点P与点O之间的距离逐渐增大，当在弧上时，点P与点O之间的距离不变，在函数图象上应该平行于x轴的线段，当从点B到点O时，点P与点O之间的距离逐渐减小直到0，由于全程速度不变，所以开始与结束时函数图象上的线段一样， 符合题意得只有选项C， 故选：C 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图1，长方形中，动点在长方形的边上沿的方向运动，设点的运动路程为的面积为与的关系图象如图所示，则图中的值为（    ）    A． B．6 C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图象上点知，且点P在点时，的面积为，根据三角形面积求得，即可求解． 【详解】解：由图象上点知，且点P在点时，的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键．由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式求出的值，即可求得答案． 【详解】解：由题图2可知，，， 当点到达点时，的面积为， ∴， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：5． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知动点 以每秒的速度沿如图所示的边框按从 的路径移动，相应的的面积关于时间t的函数图象如图所示，若 试回答下列问题． (1)此题的自变量是 ，因变量是 ； (2)如图甲， 的长是 ； (3)如图乙，图中的是 ，是 ． 【答案】(1)时间；面积 (2)； (3)； 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积； （2）根据函数图象可判断出、的长度，进一步计算即可求解； （3）根据三角形的面积计算公式，进行求解． 【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积； 故答案为：时间；面积； （2）解：已知当在上时，以为底的三角形的高在不断增大，到达点时，开始不变，由第二个图得， 在上移动了4秒， ． 在上移动了2秒， ， 在上移动了3秒， ， ， ， ∴图甲图形面积是 故答案为：4；15； （3）解：由图得，是点运行4秒时的面积， ， 为点走完全程的时间：， ，． 故答案为：；17． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意 故选：D． 【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，为直角，动点P从点D开始沿的路径匀速运动到点A，在这个过程中，的面积S随时间t的变化过程可以用图象近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题函数图象的识别，设点到直线的距离为，当点在线段运动时，此时不断增大，也不断增大，当点在线段上运动时，此时不变，也不变，当点在线段上运动时，此时不断减少，也不断减少，由此即可得解． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∴的面积为， 当点在线段运动时，此时不断增大，也不断增大，当点在线段上运动时，此时不变，也不变，当点在线段上运动时，此时不断减少，也不断减少， ∵匀速行驶，且， ∴在上行驶的时间大于在上行驶的时间， 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 5．（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， 由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．（2025八年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据绝对值的意义，得到当时，这个距离之和最小，最小值为5，根据二次根式有意义的条件，得到恒成立，即可得出结果． 【详解】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为5，即 ∵函数的自变量的取值范围是全体实数，恒成立， ． 8．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与的值无关；④用关系式表示的，不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】①x是自变量，y是因变量；故说法正确； ②x的数值可以任意选择；故说法正确； ③y是变量，它的值随x的变化而变化；故原说法错误； ④用关系式表示的能用图象表示；故原说法错误； ⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，故说法正确； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了函数的基础知识以及函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法是解题的关键． 9．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详解】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 10．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图①，四边形中，，，从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，则四边形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，先根据函数图象、三角形的面积得出，，再由当点P运动到点C时，的面积S取得最大值，最大值为8，当点P运动到点B时，的面积，求出的长即可利用梯形面积计算公式求出答案． 【详解】由图象可知，， 由图象可知，当点P运动到点C时，的面积S取得最大值，最大值为8 此时，即 解得， 由图象可知，当点P运动到点B时，的面积 此时，即 解得， ∴ 故答案为：10． 11．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 【答案】(1)圆柱的高；圆柱的体积 (2) (3)体积增加 【分析】（1）根据函数的自变量，因变量分析解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算解答即可； （3）根据时，；时，；计算体积增加解答即可． 本题考查了函数的自变量，因变量，圆柱体积，正确额定义，掌握圆柱体积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量是圆柱的高；因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高；圆柱的体积． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，得当时，； 当时，； 故体积增加． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【答案】图（2） 【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象（2）适合表示y与x的对应关系． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．（2024·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）①函数关于y轴对称；②函数没有最大值，有最小值2；③当时，y随x的增大而增大． 【分析】表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可；n表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可． 根据表格描点，连线，就可以得到． 结合图象，可以得出相关结论． 【详解】解：把代入函数， 可得； 把代入函数， 可得． 故答案为：；． 根据表格，可在图中描点，得到图形，如下图， 结合表格和图象，可得：函数关于y轴对称；函数没有最大值，有最小值2；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查函数的表示方式：表格法和图象法，把两种表示方法结合在一起是本题解题关键． 14．（23-24八年级下·上海·期中）已知函数，其中与成反比例，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当或，的值均为． 请对该函数及其图像进行如下探究： (1)求该函数的解析式； (2)函数图像探究：根据解析式完成下表： … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 5 4 ① 5 ② … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的大致图像． 【答案】(1) (2)，，作图见解析 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确画出函数图象、数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法设，，则，将已知条件代入得关于方程组，即可求得该函数解析式； （2）把分别代入，即可求得对应的函数值，在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象即可． 【详解】（1）解：设，，则， 当或，的值均为， ，解得， ∴该函数解析式为； （2）解：把代入得，； 把代得，； 在平面直角坐标系中描点，画出图象如图所示： 故答案为：，． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所 用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是5分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】（1）提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；（2）当时间是5分钟时，学生的接受能力是53.5； （3）当提出概念13分钟时，学生的接受能力最强59.9（4）当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低 【分析】(1)根据x,y表示的意义以及函数的概念即可判定;(2)学生的接受能力最强,即y的值最大,即可确定x的值;(3)根据表格信息即可直接写出;(4)根据表格可以得到y的值超过13分钟以后越来越小,即可解题. 【详解】解:(1)反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系; 其中x是自变量,y是因变量; (2)提出概念所用的时间为5分钟时, 学生的接受能力是53.5； (3)当x在2分钟至13分钟的范围内,学生的接受能力逐步增强,当x在13分钟至20分钟的范围内,学生的接受能力逐步降低, ∴当提出概念13分钟时，学生的接受能力最强为59.9； (4)当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低. 【点睛】本题主要考查了变量的定义,以及正确读表,中等难度,正确理解表中的变量的意义是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$