精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年（五四学制）九年级下学期期中考试数学试题

九年级第二学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个有理数中，绝对值最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：A、 B、 C、 D、， ∵， ∴绝对值最小的是， 故选：B ． 2. 美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 2025年2月23日央视新闻报道：2025年春运40天（1月14日至2月22日）全社会跨区域人员流动量达到亿人次，创历史新纪录．将数据9020000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的意义，根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：部件“榫”的实物图的俯视图是： 故选：B． 6. 分式方程的解是（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：B． 7. 泰山气势雄伟磅礴，不仅风景秀丽，而且中药材种类丰富．其中最为著名的五种中药材为：泰山灵芝、何首乌、四叶参、黄精和紫草．五个外表一样且不透明的盒子中分别装有这五种中药材，现从中任意拿出两盒，盒中装着泰山灵芝和黄精的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，盒中装着泰山灵芝和黄精的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：令、、、、分别表示泰山灵芝、何首乌、四叶参、黄精、紫草，列表得： 一共有20种情况，盒中装着泰山灵芝和黄精的有2种情况， ∴现从中任意拿出两盒，盒中装着泰山灵芝和黄精的概率是， 故选：A． 8. 2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A. 11000元 B. 10200元 C. 10000元 D. 9900元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元，根据购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元建立方程组求解即可． 【详解】解：设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进“滨滨”和“妮妮”各100个的总费用为11000元， 故选：A． 9. 如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，延长分别交直线于K、L，由正多边形外角和定理可得，再由平行线的性质得到，则由光的反射定律可知，据此可证明都是等腰直角三角形，则，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长分别交直线于K、L， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律可知， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 若一列数满足任意相邻三个数的和都相等，且，则（　　） A. 670 B. C. 677 D. 675 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字规律；根据题意得出， ，，，这列数为：，，4，，，，…，按，，循环，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵这列数中任意相邻三个数的和都相等， ∴…， 又∵， ∴，，， ∴这列数为：，，4，，，，…，按，，循环出现， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 13. 将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 14. 如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求弧长，解题的关键是熟练掌握弧长公式．根据等腰三角形的性质求出，根据旋转可知，根据三角形外角的性质求出，根据弧长公式求出． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转可知：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴点经过的路径的长为：． 故答案为：． 15. 定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． 根据新定义运算，分两种情况得到方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：当即时， ，解得：， 当即时， ，解得：， 综上可得：的值为或 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的化简求值等知识点． （1）利用特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质进行运算即可； （2）利用分式的混合运算法则，先对代数式进行化简，然后再求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 17. 问题背景： 某数学兴趣小组进行一次数学探究活动：已知两边及一边的对角求作三角形．作出了如下图所示的两个三角形，其中．很明显这两个三角形不全等． 探索发现： 探究1：如图、在上截取，连接．可证得（_____①_____）．得出，得出___________②___________． 探究2：如图，分别过点作于点于点，可证出，得出，又，证得，得出的值． 活动总结： 小组成员感觉本次活动既动手又动脑，收获很大． 探索应用： （1）①处应填写___________． ②处填___________． （2）如图，菱形中，点为对角线上一点，，求证：． （3）如图，矩形中，分别为上的点，连接，且，若，求． 【答案】（1）①；② （2） 证明：如图，过点作于于， 则， 四边形是菱形 ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①利用证明三角形全等即可解答； ②根据，得到，即可解答； （2）过点作于于，证明即可解答； （3）在上截取，证明即可解答． 【小问1详解】 解：①， ； ②， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上截取， 四边形为矩形 ， ，， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． （1）求的值； （2）直线与相交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的性质可得，则，解方程求出a的值即可求出k的值； （2）先求出直线解析式，进而求出点M的坐标，再根据三角形 面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 两点在上， ， ， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为： 把代入得，， ∴直线的解析式为 在中，当时，， ． ． 19. 为落实“首课思政”育人工作，我市某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求值； ②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； ③补全条形统计图； （2）写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数； （3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 【答案】（1）①； ②； ③补全条形统计图为： （2）3小时；3小时；小时 （3）800人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数和用样本估计整体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）①根据扇形统计图中“课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为”，求出其占百分比，结合条形统计图中的数据即可求出的值； ②由条形统计图可知课外阅读5小时人数，再结合总人数即可求出课外阅读5小时所占百分比，可求出其圆心角度数； ③根据抽取的样本总量减去其它几组的人数得课外阅读3小时的人数，据此补全条形统计图； （2）根据中位数，众数和平均数的定义判断即可； （3）用3200乘以样本中每人每周课外阅读时间不低于4小时的人数占比即可得到答案． 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：①课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为， 其所占的百分比为， 课外阅读时间为2小时的有15人， ； ②依题意得：扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为； ③课外阅读3小时的人数为：人， 【小问2详解】 解：∵课外阅读3小时的人数为20人，人数最多， ∴众数为3小时； 把阅读时间按照从低到高排列，第30位和第31位的阅读时间都是3小时， ∴中位数为小时； 小时， ∴平均数为小时； 【小问3详解】 解：（人） 答：估算该校达到学校要求标准的学生有800人． 20. 如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．） （1）求两地的距离（结果保留根号）； （2）分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）的距离是千米 （2）路线一：千米；路线二：千米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作，垂足为，解和，求出的长，根据进行计算即可； （2）过点作，垂足为，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，进而根据线段的和差求出两条路线的长即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：千米， 在中，千米， 千米， 在中，千米， 所以千米， 答：的距离是千米； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， ， 由题意得 ∴千米， 千米； 由（1）可知：， 路线一：千米， 路线二：千米． 21. 如图，正方形中，点在边上，将线段沿折叠到，以点为圆心，的长为半径作圆，连接，延长交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求的最大值． 【答案】（1）； （2）的最大值为2． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质得，且，由正方形的性质，再根据圆周角定理即可求解； （2）证明，得到，根据的大小是定值，得到当最大时，的值最大，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得，且， 点，点也在上， 四边形为正方形， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 即， 又∵， ， 又， ， ， 的大小是定值， 当最大时，的值最大， 随着点在上运动，当恰好过圆心时，取得最大值，此时， 的最大值为2． 22. 如图①所示，中，，垂足为． （1）求证：； （2）延长至，使，如图②所示，连接，． ①求证：； ②若，求． 【答案】（1） 证明：，， （2）①证明：由（1）知 又 ② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握射影定理是解题的关键． （1）证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可得证； （2）①利用两组边对应成比例且它们的夹角相等的三角形相似证明，再利用相似三角形的对应角相等即可得证； ②延至点，使，连接，可得，，证明得到从而求出，即，再求出，从而得到的值，从而利用得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：延至点，使，连接 又，， 又 ， 又∵， 在中 又∵， ∴ 23. 已知抛物线（为常数）． （1）①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； （2）当时，最小值为，求值； （3）若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②证明：， 抛物线的顶点为， ， 该抛物线的顶点在轴上方； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①将点代入解方程即可求解；②将化成顶点式得抛物线的顶点为，根据，开口向下可得该抛物线的顶点在轴上方； （2）分两种情况：①当，即时，当时，有最小值；②当，即时，当时，有最小值．分别代入解方程即可求解； （3）由题意知，得，进而可得，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①抛物线过点， ， 解得； ②略 【小问2详解】 解：①当，即时， 当时，有最小值． ， （不合题意，舍去）； ②当， 即时， 当时，有最小值． （不合题意，舍去） 因此，或； 【小问3详解】 解：由题意知，当时，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个有理数中，绝对值最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 1 2. 美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年2月23日央视新闻报道：2025年春运40天（1月14日至2月22日）全社会跨区域人员流动量达到亿人次，创历史新纪录．将数据9020000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（　　） A. B. C. 2 D. 3 7. 泰山气势雄伟磅礴，不仅风景秀丽，而且中药材种类丰富．其中最为著名的五种中药材为：泰山灵芝、何首乌、四叶参、黄精和紫草．五个外表一样且不透明的盒子中分别装有这五种中药材，现从中任意拿出两盒，盒中装着泰山灵芝和黄精的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A. 11000元 B. 10200元 C. 10000元 D. 9900元 9. 如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. D. 10. 若一列数满足任意相邻三个数的和都相等，且，则（　　） A. 670 B. C. 677 D. 675 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：___________． 12. 如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则___________． 13. 将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 14. 如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为___________． 15. 定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 问题背景： 某数学兴趣小组进行一次数学探究活动：已知两边及一边的对角求作三角形．作出了如下图所示的两个三角形，其中．很明显这两个三角形不全等． 探索发现： 探究1：如图、在上截取，连接．可证得（_____①_____）．得出，得出___________②___________． 探究2：如图，分别过点作于点于点，可证出，得出，又，证得，得出的值． 活动总结： 小组成员感觉本次活动既动手又动脑，收获很大． 探索应用： （1）①处应填写___________． ②处填___________． （2）如图，菱形中，点为对角线上一点，，求证：． （3）如图，矩形中，分别为上的点，连接，且，若，求． 18. 如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． （1）求的值； （2）直线与相交于点，求的面积． 19. 为落实“首课思政”育人工作，我市某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求值； ②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； ③补全条形统计图； （2）写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数； （3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 20. 如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．） （1）求两地的距离（结果保留根号）； （2）分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）． 21. 如图，正方形中，点在边上，将线段沿折叠到，以点为圆心，的长为半径作圆，连接，延长交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求的最大值． 22. 如图①所示，中，，垂足为． （1）求证：； （2）延长至，使，如图②所示，连接，． ①求证：； ②若，求． 23. 已知抛物线（为常数）． （1）①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； （2）当时，最小值为，求值； （3）若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $