精品解析：上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷

2024学年第二学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分，每题只有一个选项正确） 1. 下列说法正确是（ ） A. 是分式方程 B. 是二元二次方程组 C. 是无理方程 D. 是二项方程 2. 从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ） A. B. C. D. 4. 五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（ ） A. 该车的油箱容量为 B. 该车每行驶耗油 C. 当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D. 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数的图像是一条线段 B. 一次函数的图像与轴交于点 C. 一次函数在轴上截距 D. 一次函数的图像一定经过第二、四象限 6. 方程组的实数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 当________时，函数是一次函数． 8. 将直线向上平移3个单位，平移后的直线经过点，那么的值为__________． 9. 从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度． 10. 把二次方程化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是__________． 11. 已知：一次函数中，该函数图象不过第四象限，则的范围是______． 12. 用换元法解方程时，如果设，那么得到关于整式方程是______． 13. 关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 14. 如果方程组无实数解，那么实数取值范围是______． 15. 如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是__________． 16. 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为____________． 17. 如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 18. 如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共5题，19～22每题5分，第23题8分，共28分） 19. 解关于x的方程：． 20. 解关于x的方程：． 21. 解关于x的方程：． 22. 解方程组：． 23. 如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． （1）求的值； （2）已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 四、解答题（本大题共3题，第24题8分，第25题8分，第26题14分，共30分） 24. 随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． （1）问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ （2）小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 25. 已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； （2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； （2）点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； （3）如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分，每题只有一个选项正确） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式方程 B. 是二元二次方程组 C. 是无理方程 D. 是二项方程 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一元二次方程的定义、二元二次方程组的定义、分式方程的定义、二项方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是一元二次方程，则此项不符合题意； B、是二元二次方程组，则此项符合题意； C、是分式方程，则此项不符合题意； D、不是二项方程，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程，较难的是二项方程的判断，解题的关键是掌握二项方程的定义：如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 2. 从一个九边形一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 3. 一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 4. 五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（ ） A. 该车的油箱容量为 B. 该车每行驶耗油 C. 当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D. 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， 可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵时，， ∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， ∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意； ∵景点离家， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意； ∵轿车每行驶，耗油， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数的图像是一条线段 B. 一次函数的图像与轴交于点 C. 一次函数在轴上截距是 D. 一次函数的图像一定经过第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数图象和性质判断即可． 【详解】解：A． 函数的图像是一条线段，本选项说法正确，符合题意； B． 一次函数的图像与轴交于点，本选项说法错误，不符合题意； C． 一次函数，可化为，在轴上截距是，本选项说法错误，不符合题意； D． 一次函数，可化为，当时，，它的图像一定经过第一、三象限，本选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 方程组的实数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】把代入原方程，再化简成，解方程即可求解． 【详解】解： 或或 或或 故选C 【点睛】本题考查了因式分解解方程，解题关键熟练掌握平方差公式和解方程． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 当________时，函数是一次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了学生对一次函数的定义的理解及掌握情况，一次函数的未知数的次数是1，同时系数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 8. 将直线向上平移3个单位，平移后的直线经过点，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据图象平移的规律“上加下减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移个单位， ∴直线向上平移的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 故答案为：． 9. 从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度． 【答案】1800 【解析】 【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案． 【详解】设多边形边数为n，由题意得： n-3=9， n=12， 内角和：． 故答案为：1800． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°． 10. 把二次方程化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是__________． 【答案】和 【解析】 【分析】此题考查了多项式的分解因式，正确掌握直接开平方法解方程是解题的关键． 利用完全平方公式分解因式，两边同时开平方得到答案． 【详解】解：， 分解因式得：， ∴，， 故答案为：和． 11. 已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法，将分式方化为整式方程，设，则方程可化为，进而去分母和移项即可求解，掌握将分式方化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设，则方程可化为， 方程两边乘以，得， ∴， ∴得到关于的整式方程是， 故答案为：． 13. 关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 14. 如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由方程组可得，即得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：， ，得， 整理得，， ∵方程组无实数解， ∴一元二次方程无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，先求出点P的坐标，再找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 16. 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与x，y轴交点坐标的求法是解题的关键；先求出一次函数与x，y轴交点坐标，即可得出所围三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， 当时，， 当时，， 解得：， 直线与x轴、y轴的交点为， 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5， ， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数图象过点A， ， 故答案为：． 18. 如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和折叠综合等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合可求出点的坐标，设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】∵直线过点， ， ， 当时，， ∴点的坐标为，即， ， ， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为， 依照题意画出图形，如图所示． 由翻折得，， ，， ， ， ∴设，则或， 在中，， ∴，即或， 解得：或， 点P的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共5题，19～22每题5分，第23题8分，共28分） 19. 解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 20. 解关于x的方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得或， ∵， ∴且， ∴． 21. 解关于x的方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程，先把原方程变形为，再把方程两边同时平方得到，再把把方程两边同时平方得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 22. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，解二元一次方程组，设，，可得，解分式方程可得，，即得，再解方程组即可求解，利用换元法解答是解题的关键． 【详解】解：设，， 则方程组可变为， ，得， 解得，把代入①，得， ∴， ∴， 解得． 23. 如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． （1）求的值； （2）已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解和的值； （2）设，则可求，利用求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：， ∴直线， ∵点在直线上， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，设， ∵点在轴上，且在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到轴距离为，点到轴的距离为， ∵的面积为， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标为或． 四、解答题（本大题共3题，第24题8分，第25题8分，第26题14分，共30分） 24. 随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． （1）问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ （2）小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】（1）款的进货单价为元，款的进货单价为元 （2）款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【解析】 【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； 【小问2详解】 解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 25. 已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； （2）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1） （2）200千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴， ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； 【小问2详解】 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； （2）点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； （3）如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】（1），或，或， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； 【小问2详解】 解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $