微专题05 活用抽象函数模型解题（4大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题05 活用抽象函数模型解题 【题型归纳目录】 题型一：利用抽象函数考查函数的单调性、对称性、 周期性、求值等 题型二：双抽象函数 题型三：与导数结合的抽象函数 题型四：可求出解析式的抽象函数 【知识点梳理】 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ) （5）对数函数模型 或 或 且 ) （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）其它模型 或 【典型例题】 题型一：利用抽象函数考查函数的单调性、对称性、 周期性、求值等 【典例1-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，所以， 用代替得， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以，是以4为周期的周期函数， 因为，所以. 故选：D 【典例1-2】（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，， 令，则，即：①； 令，得到； 因为为偶函数，， ②；结合①②得到：， ，， 所以，所以函数的周期为8， . 故选：A. 【变式1-1】（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【解析】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 【变式1-2】（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由，所以，所以， 所以，由有， 所以，即，所以函数的周期为6， 所以， 由，，， 令有，， 所以，所以， 令有，，即， 令有，即，， 所以， 所以， 故选：D. 【变式1-3】（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 【答案】D 【解析】由得，且函数关于点对称； 由得. 又由得， 所以，得函数是周期为2的函数， 当时，，故. 故选：D 题型二：双抽象函数 【典例2-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【答案】B 【解析】由，得，又因为， 所以，故，， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，得，所以， 所以也是以4为周期的周期函数， 因为当时，，所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 又因为，所以，所以. 故选：B. 【典例2-2】（2025·河南·二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数为上的奇函数， 所以，则，所以， 函数与的图象关于点对称， 则，即， 所以. 故选：B 【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由，得， 两式相加得， 两边取导数得，即， 则，所以是以6为一个周期的周期函数， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，所以直线是图象的一条对称轴， 由，两边取导数得， 则， 令，得，又，所以； 令，得；令，得； 令，得；令，得. 所以， 因为， 所以. 故选：B 【变式2-2】（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为函数是R上奇函数，所以， 因为函数是R上偶函数，所以， 对于，取为得：，即， 联立，可得， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，对于，取为，得， 因为，所以， 由A选项知，取为，得， 联立，得， 取为，得， 取为，得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数是R上奇函数可知，， 因为是R上偶函数，所以， 所以， 又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误； 对于D，由A选项知，所以，， ，， 由C选项知, 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-3】（多选题）（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【答案】BCD 【解析】对于A，因为是偶函数，所以， 所以，即的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数， 设的最小正周期为，由，得，故B正确； 对于C，由，得， 又是偶函数，所以， 所以，则的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由C项可知，， 因为是奇函数，所以，即， 则，所以， 因此的图象关于点对称，且， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 题型三：与导数结合的抽象函数 【典例3-1】（2025·高三·安徽·阶段练习）已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，则函数关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去. 故，则令，即，即函数关于轴对称， ， 令，则，又∵， ∴，则， 即函数是周期为的周期函数， ∴， ∵函数关于点中心对称和轴对称， ∴导数关于对称和点中心对称， 同理可得， ∴， ∴切线方程为：，即. 故选：D 【典例3-2】（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【答案】BC 【解析】由题意，函数与的定义域均为. 由求导可得，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 由求导可得， ， ，则（为常数）， 令，则有，所以，即， 所以，即函数的图象关于直线对称. 又由可得， 则有， ， ，即， 所以函数的图象关于点对称. 所以函数是周期函数，周期.证明如下： 由可得， 由上述结论可知，所以. 则，即， 又由可得，所以. 所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确； 对于A，因为，， 若，则，与矛盾. 故A错误； 对于D，由求导可得， 则有，因为，所以 则（是常数），令，可得， 所以，即函数的图象关于直线对称. 所以，函数也是周期函数，周期. ，令，可得， 根据对称性可知，， 所以. 所以，不确定是否为0，故D错误. 故选：BC. 【变式3-1】（多选题）（2025·湖北·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在上单调递减，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．的极小值为 【答案】ABD 【解析】的图象关于直线对称， ， 即， 的图象关于直线对称， 则是偶函数，故A正确； ， ， ， 的图象关于点对称， 的图象关于点对称， 即是奇函数，故B正确； ， 又的图象关于直线对称， ， ，则， ， 8为的一个周期． ，故C错误； 在上单调递减， 且的图象关于点对称， 在上单调递减， 在上单调递减， 的图象关于直线对称， 在上单调递增， 是的周期函数， 在上单调递增， 时，取得极小值， ，故D正确. 故选：ABD. 题型四：可求出解析式的抽象函数 【典例4-1】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期末）已知定义域为的连续函数满足，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上的最大值为1 【答案】ABD 【解析】对于A，令， 则，所以，故A正确； 对于B，由，得， 令，则， 令，则，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由， 关于求导得，， 令， 则， 所以（为常数），即， 所以（为常数）， 因为， 所以，所以， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故C错误；D正确. 故选：ABD. 【典例4-2】（多选题）（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，满足，且，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．在上单调递减 【答案】ABC 【解析】令，得，则，A项正确； 等式两边同乘，得， 设，则，易知， 令，得，是奇函数，B项正确； 关于求导，得，由知为常函数， 即，设（，为常数）， 由，得，由，得，即， 则，令得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，C项正确，D项不正确． 故选：ABC. 【变式4-1】（多选题）（2025·高二·重庆·阶段练习）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【答案】ACD 【解析】对于选项A：令，可得，解得； 令，可得， 且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确； 对于选项B：因为， 可得， 令，可得； 又因为，则，可得， 且，可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：因为， 令，解得或；令，解得； 可知在和上为增函数，在上为减函数， 所以是的极小值点，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【变式4-2】（多选题）（2025·高三·黑龙江·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数为减函数 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【解析】因为， 令，得， ，，故A正确； 令，，得， ，，，故B正确; 令得， ，，所以， 则函数为增函数，且函数为奇函数，故C错误，D正确； 故选：ABD 【变式4-3】（多选题）（2025·四川·一模）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，令，， 因为，所以，故A正确； 设，则 显然满足条件，但是，故B错误； 对于C，令， ， 所以， 又，所以为偶函数， 即，故C正确； 对于D，设，类似A中推导，可知满足题设条件， 但最小正周期是，故D错误， 故选：AC 【变式4-4】（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，令可得：， 所以，正确； 对于B，令，可得：， 令可得：，即， 所以，即是奇函数，正确； 对于C：令，可得， 由B可得：， 所以，C错误； 对于D，令，可得：， 所以 所以， ， , 累加可得： 所以， 化简可得：， 当时，代入可得满足， 所以，则， 故选：ABD 【专题训练】 1．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 2．（2025·浙江·三模）已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【解析】由题，， ， 所以函数是周期为3的周期函数， 又，，， ，， ，， 所以满足的正整数n的最大值为2028． 故选：C． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 4．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由， 令则； 所以可得：， 也即， 令，有， 即， 所以， 两式相加得到：，即 所以， 所以的周期为， 令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾， 所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 所以， 故选：A 5．（2025·安徽蚌埠·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，令，得； 令，得），所以； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数.令，得， 所以； 用替换，可得， 所以，所以， 所以， 即.所以， 故是以6为周期的周期函数，又， 所以. 故选：C. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 7．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义域为的奇函数满足，则， 即，所以，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则，，，则， 当时，， 因为，故. 故选：D. 8．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且有， 令，得，解得； 令，得，则， 而，即不恒为0，因此，函数为奇函数， 由为偶函数，得，则， 于是，，8为的一个周期， 由，得，即 ，因此，所以. 故选：B 9．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【解析】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 10．（多选题）（2025·河北秦皇岛·一模）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】对于A，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误； 对于B，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故， 令则，故，或， 因为的值域为，故，故，故B正确； 对于C，令则，故， 故C正确； 对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误. 故选：BC 11．（多选题）（2025·江西宜春·二模）已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】， 令，得，解得； 令，则，又， 所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得， 所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得， 同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 12．（多选题）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】BCD 【解析】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 等价于，所以的图象关于点对称， 由，得到，又， 所以，则，所以的周期为， 又当时，，则时，，时，， 时，，的部分图象如图所示. 对于选项A，因为，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，又， 所以，则， 所以的周期为，，又，所以， 则，故选项B正确， 对于选项C，由图象知，当时，由得到， 又的周期为，则时，，，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，故选项D正确， 故选：BCD. 13．（多选题）（2025·西藏拉萨·二模）已知定义在上的函数，满足，，且．则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【解析】在①中，用代替，得， 因，则②， ①②两式相加可得， 因此的图象关于点对称，故A正确； 由A选项可知， 又为偶函数，则，所以， 可得，则， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，则， 又，所以， 则，故C错误； 对于D，因， 则 ，故D正确． 故选：ABD． 14．（多选题）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】由是偶函数，得，即， 则（为常数），由于， 取，得，于是， 对于A，由函数是R上偶函数，得， 由，得，即， 于是，函数图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，即， 由，得，于是， 即，因此，函数是周期为4的周期函数，B正确； 对于C，由，，得， 则， ，因此，C错误； 对于D，由，得，， ，， 因此，D正确. 故选：ABD 15．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【解析】因为为偶函数，则，即函数的图象关于直线对称， 因为，则函数的图象关于点对称， 因为，则，所以，， 则，即， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 因为函数的图象关于直线对称，则， 由可得，则， 故，所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，则， 且，所以，，A对； 因为，故函数是周期为的周期函数， 若函数为奇函数，且，则， 从而有，则， 又因为的图象关于直线对称，则，这与矛盾， 故函数不是奇函数，B错； 因为，且，则， 则，且， 所以，，D错. 故选：AC. 16．（多选题）（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 【答案】ABD 【解析】由图象的变换知A项正确； 因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确； 由得①， 在中用代替得②， 由①②得，所以3是的周期，C项错误， 由知的周期， 则， 在中令得，所以，D项正确. 故选：ABD 17．（多选题）（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 18．（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【解析】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 19．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 20．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，令，得，故A正确；对于B，由，得的图象关于直线对称，故B错误； 对于C，把中的替换为（关键：对任意实数成立，则对任意也成立），得，故C正确； 对于D，因为是上的奇函数，所以，，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 所以，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 法二：由，得函数的图象关于直线对称， 由为上的奇函数，得，，，，所以是以4为周期的函数， 不妨设，，由对称性得，又， 所以，且，解得，，所以，； 当时，，由得. 对于A，，故A正确； 对于B，，从而的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，等价于的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， 则结合解析式得， 从而，故D正确. 故选：ACD. 21．（多选题）（2025·青海海东·二模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 22．（多选题）（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 【答案】BCD 【解析】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 23．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 【答案】68 【解析】， . 则. 因为偶函数，则， 即，结合. 则， 则， 即的一个周期为4.因，由，， 可得.， 对于，令，可得， 又，令，可得. 则，又的一个周期为4， 则 . 故答案为： 24．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 【答案】1 【解析】令，得， 令，得，所以． 将代入，可得． 令，得， 又因为恒成立，且不恒为， 所以，从而为奇函数， 又由，可得， 所以，所以为的周期， 于是， 故答案为：. 25．（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 【答案】3 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 26．（2025·高三·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 【答案】2 【解析】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 ． 【答案】48 【解析】因为，所以， 又因为，则有， 因为是奇函数，所以， 可得，即有与， 即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数. 因为且. 所以，所以为偶函数， 由是奇函数，则，因为，所以， 又因为，且的周期为4， 所以， 由得，因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 28．（2025·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 【答案】 【解析】由得， 由得， 令得， 因为的图象关于直线对称，所以， 由得， 由得， 则，， 所以，为周期为4 的周期函数，， 在中，令得，则， 在中，令得，则， 令得，则，， . 故答案为：. 29．（2025·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 令，有，则或． 若，则令，有，得， 与已知矛盾，所以． 令，有，则，得． 令，有，得． 令，有，得． 令，有，得． 令，有，得． 令，有，得． 令，有，得， 令，有，即， 所以，故， 所以的周期为12． 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题05 活用抽象函数模型解题 【题型归纳目录】 题型一：利用抽象函数考查函数的单调性、对称性、 周期性、求值等 题型二：双抽象函数 题型三：与导数结合的抽象函数 题型四：可求出解析式的抽象函数 【知识点梳理】 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ) （5）对数函数模型 或 或 且 ) （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）其它模型 或 【典型例题】 题型一：利用抽象函数考查函数的单调性、对称性、 周期性、求值等 【典例1-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【典例1-2】（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【变式1-2】（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-3】（2025·山西·一模）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．0 B．2025 C． D．1013 题型二：双抽象函数 【典例2-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【典例2-2】（2025·河南·二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 【变式2-2】（多选题）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【变式2-3】（多选题）（2025·山西晋城·二模）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 题型三：与导数结合的抽象函数 【典例3-1】（2025·高三·安徽·阶段练习）已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【变式3-1】（多选题）（2025·湖北·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在上单调递减，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．的极小值为 题型四：可求出解析式的抽象函数 【典例4-1】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期末）已知定义域为的连续函数满足，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上的最大值为1 【典例4-2】（多选题）（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，满足，且，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．在上单调递减 【变式4-1】（多选题）（2025·高二·重庆·阶段练习）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【变式4-2】（多选题）（2025·高三·黑龙江·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数为减函数 D．函数为奇函数 【变式4-3】（多选题）（2025·四川·一模）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【变式4-4】（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 【专题训练】 1．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（2025·浙江·三模）已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·安徽蚌埠·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 10．（多选题）（2025·河北秦皇岛·一模）已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点中心对称 11．（多选题）（2025·江西宜春·二模）已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 12．（多选题）（2025·河南·二模）已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．的解集为 D． 13．（多选题）（2025·西藏拉萨·二模）已知定义在上的函数，满足，，且．则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 14．（多选题）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 15．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（     ） A． B．为奇函数 C． D． 16．（多选题）（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 17．（多选题）（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 18．（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 19．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 20．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 21．（多选题）（2025·青海海东·二模）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 22．（多选题）（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 23．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 24．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 25．（2025·江苏南通·一模）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则 ． 26．（2025·高三·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 ． 28．（2025·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 29．（2025·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$