拓展8.1 概率与其他知识的交汇-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

拓展8-1 概率与其他知识的交汇 一、概率与数列 四、概率与立体几何 二、马尔科夫链模型 五、概率与解析几何 三、概率与导数 一、概率与数列 1．新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 2．2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求. 3．甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． (1)求甲答题总得分的概率； (2)求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 4．2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 5．黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 二、马尔科夫链模型 6．（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于 7．商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 8．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，= ．    9．某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 10．在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动.，，，四个球员围成如图一个矩形，已知每个人传球给相邻球员的概率为，每个人传球给不相邻球员的概率为.例如：传球给，的概率为，传球给的概率为.热身由开始传球，记次传球后，球在，，，脚下的概率分别为，，，. (1)求出，； (2)证明：，是等比数列； (3)试求出的通项公式. 11．2025年3月16日，我国著名乒乓球运动员王楚钦在WTT冠军赛中夺得了男单总冠军，这一振奋人心的消息再次点燃了全民乒乓球的激情，为此某校组织了一场乒乓球擂台赛，其中甲、乙、丙三名同学参加了此次擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制，且每局比赛的两名同学获胜的概率均为，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 三、概率与导数 12．某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球，恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 13．小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是 ． 14．投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立. (1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望； (2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值. 15．为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 16．已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 17．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 18．第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 四、概率与立体几何 19．如图所示，直三棱柱中，D是的中点，若在直三棱柱内随机取一点，则该点取自四棱锥内的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（    ） A．移动两次后，“”的概率为 B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于 C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于 D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0） 21．在三棱锥中，为直角三角形，且平面，小明和小亮两名同学做游戏，第一次每人从三棱锥的表面中任取一个平面，取哪个平面相互独立，取出的两个平面若垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥的棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，取出的两条棱若共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为 . 22．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为 .在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为 . 23．如图，已知四面体中，，，，平面平面.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 五、概率与解析几何 24．若随机变量，且.点在椭圆：上，的左焦点为，为曲线：上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩，，，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 27．设是从集合中随机选取的数，直线，圆.则直线与圆有公共点的概率是 ；直线与圆的公共点个数的数学期望是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展8-1 概率与其他知识的交汇 一、概率与数列 四、概率与立体几何 二、马尔科夫链模型 五、概率与解析几何 三、概率与导数 一、概率与数列 1．新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 【答案】(1)分布列见解析，期望为4； (2). 【详解】（1）由题可得X的值可得为3，4，5，6， 则，，，. 则分布列如下： 3 4 5 6 则； （2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》， 可得，，， 则. 则 ， 两式相减可得：. 则. 2．2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求. 【答案】(1)分布列见解析，7 (2) 【详解】（1）方法一： 由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，则的可能取值为4，5，6，7，8. ， ， ， ， . 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 所以 方法二： 记随机抽取的4名游客的纪念币个数分别为，则有， 又注意到是一个取值为1，2的两点分布， 所以是0-1分布， 记，则服从二项分布，且， 所以的分布列为，数学期望为， 则有的分布列为， 数学期望为. （2）因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场， 所以， 设， 则， 由两式相减得： ， 所以. 3．甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． (1)求甲答题总得分的概率； (2)求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为共20道试题，甲能答对其中的15道题， 甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题， 所以甲答题总得分的概率为 . （2）设甲答对题目的个数为，则， 则， 所以； 由题意可知，乙答题得分的取值范围为， ，，，， ， ， 记， ， 得 ， 所以， ， 因为，所以， 则，所以乙胜出． 4．2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）设小军第一关答对题数为，则， 由题意可知服从二项分布，即，故， 故． （2）由题意知的所有可能取值为0，10，20，…，， 且，， ，， 以此类推，，， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 （3）由题意得，即， 化简得， 两边同时取自然对数，得， 即， 由于为整数，故， 因此小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望时，的最小值为7． 【点睛】方法点睛：求数学期望是等差数列乘以等比数列求和，应用错位相减法即可求出数学期望. 5．黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题意得，随机变量的可能取值为， 可得，， ，所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁， 所以， 则， 由两式相减可得， 所以. 二、马尔科夫链模型 6．（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于 【答案】ACD 【详解】对于A中，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结构为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4个结果，且它们等可能，其中2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2个结果，所以概率为，所以A正确； 对于B中，3次传球后的所有结果为： 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，且它们等可能， 其中3次传球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3个结果， 所以3次传球后球在乙手上的概率是，所以B不正确； 设次传球后球在甲手上的事件为，则有， 令，则， 所以， 所以，则， 因为第一次有甲传球后，求不可能在甲手中，所以，则， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 因为，可得，所以，所以D正确； 当时，可得，所以C正确. 故选：ACD. 7．商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 【答案】 【详解】设小明在第天选择餐馆的概率为， 由题意可知， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 故． 故答案为：. 8．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，= ．    【答案】/ 【详解】依题意，， 又， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 故答案为： 9．某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）最小值为，最大值为. 【详解】（1）记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 10．在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动.，，，四个球员围成如图一个矩形，已知每个人传球给相邻球员的概率为，每个人传球给不相邻球员的概率为.例如：传球给，的概率为，传球给的概率为.热身由开始传球，记次传球后，球在，，，脚下的概率分别为，，，. (1)求出，； (2)证明：，是等比数列； (3)试求出的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可知， ； （2）由题意可知有如下的等式，， ，，， 因此，注意到，所以，即； 又， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列； （3）由（2）可知， 且有，，， 联立后可得，，， 消去，有， 故有，又， 所以，， 则，，，， 则， 又，所以. 11．2025年3月16日，我国著名乒乓球运动员王楚钦在WTT冠军赛中夺得了男单总冠军，这一振奋人心的消息再次点燃了全民乒乓球的激情，为此某校组织了一场乒乓球擂台赛，其中甲、乙、丙三名同学参加了此次擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制，且每局比赛的两名同学获胜的概率均为，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}，设“甲在第轮获胜”， 则. （2）设事件“第轮甲轮空”，当时，则， 所以，又，所以， 则是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以. （3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则， ，，， 所以， 设前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则， ，， ，， 所以， 故前六轮比赛中甲获胜局数的期望为. 三、概率与导数 12．某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球，恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【详解】依题意，单次抽奖中奖的概率， 则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 因此当取最大值时，，而，解得， 所以当取到最大值时的值为. 故选：B 13．小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是 ． 【答案】 【详解】设每次投进的概率为（），因为小张同学在罚球线投篮次，这是次独立重复试验. 所以投进次数恰好为的概率. 设（），. 令，即，解得，. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以当时，取得最大值，即投进次数恰好为的概率取得最大值. 此时. 根据独立重复试验的概率公式，投进次数恰好为次的概率. 故答案为： 14．投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立. (1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望； (2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)最大值为， 【详解】（1）的所有可能值为：0，1，2，3，4，5，显然， ， ，，， ，，， 所以的概率分布为 X 0 1 2 3 4 5 P . （2）依题意，，求导得， 当时，；当时，， 函数在单调递增，在单调递减， 所以当时，的最大值为. 15．为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)． 【详解】（1）由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 16．已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点，理由见解析 【详解】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”， 由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率， 所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为． （2）在一轮中，乙摸出红球的概率． （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布， 则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为， 设，则， 令，解得， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点． 17．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记20件产品中的次品件数为X，由题设知， 则问题可理解为求的最大值， 因此. 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值点为； （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知，， 即. 所以（元）. 18．第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析， (2) 【详解】（1）（i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为， 甲回答了5道题进入决赛的概率为， 所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为. （ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7， 则， ， ， ， 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 P 则. （2）设乙答对第3道题的概率为y，则， 所以 ，， 则 ， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 四、概率与立体几何 19．如图所示，直三棱柱中，D是的中点，若在直三棱柱内随机取一点，则该点取自四棱锥内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为D是的中点，所以， 则，故所求概率. 故选：A 20．（多选）已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（    ） A．移动两次后，“”的概率为 B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于 C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于 D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0） 【答案】AC 【详解】设移动次后，点在点的概率分别为， 其中， ，解得：， 对于A，移动两次后，“”表示点移动两次后到达点， 所以概率为，故A正确；    对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 而，平面， 所以当点位于或时，平面， 当移动一次后到达点或时，所以概率为，故B错误； 对于C，所以当点位于时，PC⊥平面， 所以移动n次后点位于，则，故C正确； 对于D，四面体体积V的数学期望 ，因为， 所以点到平面的距离为， 同理，点到平面的距离分别为， 所以， 所以， 当为偶数，所以，当时,； 当为奇数，所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点在移动次后，点的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案. 21．在三棱锥中，为直角三角形，且平面，小明和小亮两名同学做游戏，第一次每人从三棱锥的表面中任取一个平面，取哪个平面相互独立，取出的两个平面若垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥的棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，取出的两条棱若共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直到游戏结束，则游戏在第三次结束的概率为 . 【答案】 【详解】    设第一次游戏继续的事件为，如图，三棱锥中， 因为平面，易得在平面内， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，在平面内， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面又因为平面， 所以平面平面， 则； 第二次游戏继续的事件为， 如图，三棱锥有6条棱， 不共面的两条棱为与与与，共三组， 则， 所以游戏在第三次结束的概率为. 故答案为： 22．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且平面，点为的中点，点为棱上一动点，且.若直线与底面所成角的正切值为，则的值为 .在个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为 . 【答案】 / / 【详解】 如图，过点作，交于点，连接， 因为平面， 所以平面， 因为直线与底面所成角的正切值为， 所以， 又，，， 所以，， 又在中， 所以， 所以，即， 所以； 从个点中任取4个，共有个结果， 其中4个点共面的取法有6个， 所以这4个点能构成三棱锥的概率为， 故答案为：；.. 23．如图，已知四面体中，，，，平面平面.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【详解】（1）过作，交于，因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）由（1）得，又平面， 所以平面，因为， 故， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得，故为的中点， 所以； （3）6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对： ，故， 4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故。 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱， 故， 所以． 五、概率与解析几何 24．若随机变量，且.点在椭圆：上，的左焦点为，为曲线：上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为随机变量，且，结合正态分布的对称性可知，所以，所以；而的圆心为，半径为1，设椭圆的右焦点为，则，所以， 因此,而当三点共线时，最小，且，所以的最小值为， 故选：B. 【点睛】圆上的动点与定点间的距离的最大值为圆心与定点的距离加半径，最小值为圆心与定点的距离减半径. 25．若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】随机变量，且， 1和关于对称， 即， 设为第一象限中的点，， 抛物线方程为：，， 解得即， 关于准线的对称点为， 根据对称性可得： 当且仅当三点共线时等号成立.如图 故选：D 【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题. 26．某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩，，，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【详解】由学生的竞赛成绩， 得对应的正态曲线的对称轴为直线， 则，即， 所以圆心到直线的距离， 当且仅当时等号成立， 即圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， ∴  直线和圆相交或相切. 故选：D. 27．设是从集合中随机选取的数，直线，圆.则直线与圆有公共点的概率是 ；直线与圆的公共点个数的数学期望是 . 【答案】 / / 【详解】由已知可得，，圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离. 因为直线与圆有公共点，所以，整理可得. 因为，所以， 则满足条件的可能为，，，，，，，，，，共包含10个基本事件. 总的可能包含的基本事件的个数为. 所以，直线与圆有公共点的概率是. 设直线与圆的公共点个数为随机变量，由(1)知，. 由前知，当时，10个基本事件都满足，即，此时有两个交点， 所以，. 所以，. 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$