5.3.2 函数的极值与最大(小)值 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题：函数的极值与最大(小)值 提供者： 单位： 教学内容分析 （1）本节课的主要教学内容是函数的极值与最大 (小) 值的应用。 （2）本节课主要介绍了如何运用导数来寻找函数的极值点以及如何确定一个函数在给定区间上的最大值和最小值。通过具体实例，学生将学习如何通过导数分析函数的增减性，进而找到函数的极值和最值。 （3）通过学习本节课，学生能够理解函数极值与最值的区别与联系，掌握求函数最值的方法，并将其应用于解决实际问题。此外，学生还将通过实例练习，加深对函数极值和最值概念的理解，提高数学运算和逻辑推理能力。 教学目标 （1）数学抽象：通过函数极值与最值的概念理解，培养学生从具体问题中抽象出数学本质的能力。 （2）逻辑推理：通过分析函数极值与最值的关系，提升学生运用逻辑推理解决问题的能力。 （3）数学运算：通过求函数最值的具体计算，增强学生运用导数进行数学运算的熟练度。 （4）直观想象：通过函数图像的观察与分析，发展学生运用直观想象理解数学概念的能力。 教学方法 问题探究法、合作学习法 教学重点及难点 （1）理解函数最值与极值的区别与联系，掌握通过导数求解函数最值的方法，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。 （2）在实际问题中应用导数求函数最值，发展学生数学建模和数学运算的核心素养，提升解决实际问题的能力。 教学过程 师生活动设计 二次备课 一、导入新课 （1）回顾旧知：老师引导学生回顾上节课所学的导数概念、导数的几何意义及其在函数单调性判断中的应用。通过提问的形式，让学生回忆并回答相关问题。“导数的概念是函数在某一点处的变化率，而导数的几何意义则是曲线在该点的切线斜率，可以用来判断函数的单调性……”（生：导数可以帮助我们理解函数在某一点的变化趋势。） （2）引入新课：通过实际例子引发学生对本节课内容 ——函数的极值与最大 (小) 值的兴趣。例如，老师可以展示一个实际问题：“一个工厂生产某种产品时，如何确定生产量使得利润最大，或者如何确定瓶子的半径使得饮料的利润最大？” 这些实际问题都涉及到函数的极值与最值。（生：我们在实际生活中经常遇到这样的问题，希望通过这节课的学习能够解决这些问题。） 二、温故知新 （1）求函数 的极值的一般方法： 解方程 ，找到可能的极值点。 当 时： 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 为极大值； 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 为极小值。 （师：我们可以通过解导数为零的方程来找到可能的极值点，再通过左右两侧的导数符号判断是极大值还是极小值。） （生：原来通过导数的符号变化就可以判断极值点的类型。） 三、探究新知 1. 极值与最值的关系 （1）讲解极值与最值的区别与联系： 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；最值则是一个整体性概念，是整个区间上的最大值或最小值。 （2）通过图象帮助学生理解： 老师在黑板上画出函数 在区间 [a, b] 上的图像。 找出它的极大值：、、；极小值：、、。 找出 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值：最大值：；最小值：。 （师：通过图象我们可以直观地看出极值和最值的区别。同学们可以看到，极值可能有很多个，但最值只有一个。） （生：通过图象确实更容易理解极值和最值的不同。） （3）进一步讨论： 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，极值则反映了函数在某一点附近的局部性质。 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个。 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得。 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值。 极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。 （师：这个区别很重要，我们要记住。） 2. 求函数 在闭区间 [a, b] 上的最值的步骤 （1）求函数 在区间 (a, b) 上的极值。 （2）将函数 的各极值与端点 a 和 b 处的函数值 和 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 四、典例解析 例题 1：求函数 在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值。 解：先求导数 。 解方程 ，得到 。 计算 , , , 不在区间 [0, 3] 内。 比较这些值，得到最大值 ，最小值 。 （师：我们通过计算导数为零的点，然后比较这些点和端点的函数值，得到了最大值和最小值。） （生：这样一步步来，确实很清晰。） 例题 2：求函数 在区间 上的最大值与最小值。 解：先求导数 。 解方程 ，得到 ，从而 。 计算 , , , 。 比较这些值，得到最大值 ，最小值 。 （师：通过类似的方法，我们也可以求出三角函数的最值。） （生：通过计算和比较，我们找到了最大值和最小值。） 五、课堂练习 求函数 在区间 [-1, 2] 上的最大值与最小值。 学生自己计算，并互相讨论验证结果。 老师巡视，指导学生，并在黑板上演示正确答案。 （师：请同学们按照例题的步骤，一步一步来计算。有困难的同学可以互相讨论。） （生：我们按照老师的步骤，找到了最大值和最小值。） 求函数 在区间 [0, 1] 上的最大值与最小值。 学生自己计算，并互相讨论验证结果。 老师巡视，指导学生，并在黑板上演示正确答案。 （师：注意导数的计算和方程的解法。） （生：通过计算和比较，我们得到了最大值和最小值。） 六、小结 总结本节课的主要内容： 极值与最值的区别与联系。 求函数 在闭区间 [a, b] 上的最值的步骤。 通过实际例子和例题，加深对概念的理解和应用。 重点强调：函数的极值与最值在实际问题中的重要性，以及如何通过导数来求解。 布置预习任务：下节课继续学习利用导数求函数的最值，并准备一些实际应用问题进行讨论。 （师：请同学们认真完成作业，并思考如何将这些知识应用到实际问题中。希望大家能够在实践中更好地理解和掌握这些概念。） （生：好的，我们会认真完成作业，并准备一些实际问题进行讨论。） 课后作业 （1）根据本节课学习的函数极值与最大 (小) 值的概念，选择合适的函数，绘制其图像，并找出函数的极大值、极小值以及最大值和最小值。 （2）运用导数求函数最值的方法，解决以下实际问题：设计一个帐篷，求出当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大，并求出最大体积。 学科网（北京）股份有限公司 $$