5.3.2 函数的极值与最大（小）值 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《函数的极值与最大（小）值》教学设计 1、 教学内容 高二年级人民教育出版社普通高中数学选择性必修第二册第五章第三节第二课时函数的极值。 二、教材分析 《函数的极值》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章第三节第二课时的内容，本节课的主要内容是利用导数研究函数的极值。学生已经学习了导数概念，导数几何意义，导数运算，函数单调性等知识，函数的极值是函数单调性的一个重要应用，它反映了函数在某一点附近的局部性质。通过对函数极值的学习，学生能够更深入地理解函数与导数的关系，进一步提高运用导数解决实际问题的能力。函数的极值是在学生已经学习了函数的单调性和导数的基础上进行的，它是对导数应用的进一步深化，同时也为后续学习函数的最值奠定了基础。通过对函数极值的探究，有助于培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学思维能力。 三、学情分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对极值概念的理解和如何求函数的极值，产生这一问题的原因是极值概念比较抽象，会跟最值有混淆，要解决这一问题，就要采用数形结合的方法重点研究极值的概念，通过概念辨析强化定义理解，通过问题探究总结判断函数极值点方法、求函数极值的步骤，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法，借助探究活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养。 4、 教学目标 （1） 通过观察具体函数的图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程； （2）结合函数图像，理解函数极值的概念，掌握判断函数极值点的方法、总结求函数的极值的步骤； （3）通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，培养缜密的思维习惯。 五、教学重难点 重点：函数极值的概念和利用导数求函数极值的方法 难点：函数极值与导数的关系以及判断函数极值点方法 六、教学过程 教学环节 设计意图 教学预设 1.创设情境，引入新课 起跳后运动员身体的重心与水面高度随时间变化的曲线可以看作是抛物线的一部分，那么根据相关的数据，如果我们可以得到,此时（1）t等于何时，h最大呢？ （2）函数在t=1时的导数又是多少呢？ （3）那么t=1附近的函数图像有什么特点，相应的其导数正负变化的情况又是什么样子的呢？ 通过信息技术工具，利用几何画板微观的分析t=1附近图象变化过程 2.新课教学，探究新知 结合上述的分析过程，对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？继续引导学生探究以下的问题： 如图，函数y=f(x)在x=a,b,c，d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？ 3.概念辨析，加强理解 辨析1：判断下面的说法是否正确，并说明理由？ （1）函数在定义域内的极大值点（极小值点）唯一 （2）函数的极大值一定大于它的极小值 （3）函数的极大值是最大值 辨析2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？其为在该点取得极值的什么条件？ 4.知识迁移，理论实践 设置例题1 引导学生归纳判断极值点的方法 （1）原函数的极值点是导函数的变号零点（根据导函数图象，列出随x的变化而变化的图表分析），从而确定极值点 （2）极值点是函数单调性的转折点（函数图象波峰位置——极大值点，波谷位置——极小值点） 巩固练习1 通过例题引导学生思考如何去求函数的极值呢？ 例题2：求函数的极值 教师根据学生归纳，总结一般地，求函数极值的步骤：（1）函数求导（2）方程求根（3）列表判号（4）求出极值 巩固练习2：求函数的极值 5.归纳总结，形成体系 让同学们从知识层面、思想方法上谈一谈本节课的收获，培养学生的总结、概括、表达能力 用口诀总结本节课， 一阶导数把零找， 导数为零可能妙； 左右两边看符号， 增减变化要知晓； 左增右减极大值， 左减右增极小到； 若求极值仔细找， 多步判断错不了。 立足于教材“高台跳水”的例子，利用奥运会全红婵夺冠的精彩视频创设情境，实践学科育人的教学理论，落实立德树人根本任务。 根据建构主义理论，贴近学生认知的最近发展区，在以学函数单调性与导数的基础上，利用几何画板动态展示函数h(t)在t=1处，及其附近的函数值的大小情况和导数符号的变化，意在以逼近的方法来实现t=1附近的微观分析，这一设计引导学生经历由几何直观感知事物的形态与变化，再到利用信息技术工具从数学的本质上理解数学问题的过程，同时在知识的探究中渗透了数形结合思想，提升学生分析、解决问题的能力 通过对比函数在这些点附近的取值，引发学生的认知冲突，从而引出极值的概念，体现从特殊到一般的思想，发展学生直观想象、逻辑推理核心素养. 通过概念辨析，让学生进一步理解并体会极值研究的是函数的局部性质 探究导数值为0与函数取得极值的逻辑关系是函数极值概念的疑点，也是学生认知的难点，通过举反例的手段进行逻辑判断，从而简单、有效地突破难点 通过例题1，意在进一步强化利用导数符号变化规律判断极值点，引导学生思考还可以借助原函数图象来找到极值点，进一步深化对极值点概念的理解，强化学生数形结合思维意识与能力 通过教材课后练习，根据函数图象和导函数图象之间的关系，及时反馈学生对判断函数极值点方法的掌握 通过典型例题，具体函数求极值，让学生归纳总结求函数极值的步骤，培养学生规范表达、书写的能力，形成严谨的科学态度 突出方程求根、列表判号是求函数极值的关键 通过教材课后练习，及时反馈学生对求函数极值的步骤、方法的掌握 用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，学生分享、教师总结，引导学生课后完成本节课的思维导图. 以口诀的形式将利用导数工具研究函数单调性与极值的数学思想方法高度概括，是一种文学素养和情怀的渲染，可以增强数学学习的趣味性 从学生实际问题出发，对现实问题进行数学抽象，建立数学模型 学生从具体函数入手： 从t=1取值，到导数值的特点，分析t=1附近图象特点及其导数正负变化情况 学生由特殊函数入手，在研究一般函数的特点，教师根据学生分析的结论，给出极小值点、极小值、极大值点、极大值定义 根据定义，引导学生要注意极值点是一个实数，极值是这个实数对应的函数值，极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质 小组讨论，合作交流，完成思考辨析，小组代表黑板展示 引导学生根据以学的基本初等函数找寻例子，确定条件，得出结论 学生通过一题多解，不同角度判断函数极值点，自己总结归纳方法，强化概念的理解 学生解答，检测对函数极值点的判定的掌握 选取小组代表在黑板解答，根据解答过程引导学生总结求函数极值的步骤 主要检测学生求函数极值的掌握情况，学生限时解答，及时反馈 ①知识层面 ：什么是极值？ （文字语言、图形语言、符号语言） ②方法层面：怎么求极值？（借助图象、借助导数） ③思想层面：为什么借助导数求极值？转化与化归、函数与方程、数形结合 引导学生在知识的理解、掌握、应用上加强自我的反思、总结、提炼 7、 作业设计 课本作业： P98教材课后练习题5 实践作业： （1）做出本节课的思维导图 （2）以学习小组为单位，查阅与“极值”有关的实例 设计意图：为了使“学生在数学上得到不同的发展”.设置课本作业、实践作业、拓展作业。课本作业意在重视教材，重视基础，巩固极值概念和用导数求极值的方法；实践作业意在提高学生学习数学的兴趣，学会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界；拓展作业的目的是为下节课函数的最大（小）值的学习做铺垫。 八、教学反思 本节课运用“问题探究式”、“观察发现式”、“讨论式”的教学方法，在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过情境实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义，通过思考辨析的问题设置，加深对极值概念的理解，由于函数极值点的导数特征结论无法进行严格的证明，借助几何画板，让学生“看得见”“说得出”性质，对于直观结果，引导学生从图象角度、单调性角度、导数角度判断极大值和极小值，培养学生会用数学的语言（文字语言、图形语言、符号语言）表达世界，突破本节课的难点.发展学生直观想象、逻辑推理核心素养.根据设置具体函数求极值、给出导数图象判断函数极值点的例题，引导学生归纳判断方法和求解步骤。函数的极值是函数与导数的一个重要应用，本节课结合信息技术工具，通过小组探究、合作、交流、展示，较好地引导学生掌握并理解函数的极值概念、判断极值点、求解极值的方法，在教学过程中，还需增强学生互动，把课堂的主动权交给学生，还需注重对学生的思维方式进行引导和培养，激发学生的创新意识和数学兴趣，使他们能够深刻理解并正确应用所学知识。 学科网（北京）股份有限公司 $$