11.1.2节不等式的性质 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第十一章 不等式与不等式组 11.1.2节不等式的性质 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第一课时） 1.理解并掌握不等式的性质. 2.在探索不等式的性质的过程中，体会所应用到的归纳和类比方法. 对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它的解集. 例如：不等式x+3>6的解集是x>3， 不等式2x<8的解集是x<4. 3 但是对于比较复杂的不等式（如）直接得出解集就比较困难. 怎样解不等式呢？ 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 4 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实. (1)交换不等式两边，不等号的方向改变: 如果 a>b，那么 b<a. 例如，由 5>x，可得x<5. 知识点 不等式的性质 5 (2)不等关系可以传递： 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由 y>x，x>-3 ，可得 y>-3. 知识点 不等式的性质 6 类比等式的性质，你能猜想不等式有哪些性质吗? 知识点 不等式的性质 7 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 不等式是否也有类似的性质呢? 先考虑不等式两边加(或减)同一个数的情况. 知识点 不等式的性质 8 探究 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律: 知识点 不等式的性质 ① 5＞3 5+2 3+2， 5+0 3+0 , 5+(-2) 3+(-2)，； ② -1＜3 -1+4 3+4，-1+0 3+0, -1+(-7) 3+(-7) ． ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ 规律：当不等式两边加或减同一个数时，不等号的方向不变． 9 由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 知识点 不等式的性质 10 知识点 不等式的性质 一般地，不等式有如下性质: 不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 符号语言:如果 a>b，那么 a±c>b±c. 11 接下来，考虑不等式两边乘(或除以)同一个不为0的数的情况. 知识点 不等式的性质 12 知识点 不等式的性质 探究 ① 6＞2 6×4 2×4， 6÷2 2÷2； ② -2＜4 -2×2 4×2，-2÷2 4÷2； ③ -4＜-2 -4×2 -2×2，-4÷2 -2÷2. ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ 规律：当不等式两边乘(或除以)同一个正数时，不等号的方向不变. 13 知识点 不等式的性质 不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 符号语言：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或). 14 知识点 不等式的性质 探究 ① 6＞2 6×(-4) 2×(-4)， 6÷(-2) 2÷(-2)； ② -2＜4 -2×(-2) 4×(-2)，-2÷(-2) 4÷(-2)； ③ -4＜-2 -4×(-2) -2×(-2)，-4÷(-2) -2÷(-2). < < > > > > 规律：当不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变. 15 知识点 不等式的性质 不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言：如果 a>b，c<0，那么 ac<bc(或). 注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0； 两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 16 比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同? 知识点 不等式的性质 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立. (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立. 17 例1 已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a+3与b+3；(2)-2a与-2b. 解:(1)因为a>b， 所以 a+3>b+3 (不等式的性质1). (2)因为a>b， 所以 -2a<-2b (不等式的性质3). 知识点 不等式的性质 18 1.设 a>b，用“<”或“>”填空. (1) a+2____b+2； (2) a-3____b-3； (3) -4a____-4b； (4) ____ . > > < > 加同一个数，不等号方向不变 减同一个数，不等号方向不变 乘同一个负数，不等号方向改变 除以同一个正数，不等号方向不变 19 2.下列不等式变形错误的是 (　　) A.若a>b，则1-a<1-b B.若a<b，则 ax2≤bx2 C.若ac>bc，则a>b D.若m>n，则> C 除以同一个负数，不等号方向改变 20 3.已知关于x的不等式(1-a)x>2的两边都除以(1-a)，得x<， 试化简:|a-1|+|a+2|. 解：∵不等式的两边都除以(1-a)后不等号的方向发生了改变， ∴1-a<0， ∴a>1， ∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1. 21 不等式的性质 对称性:如果a>b，那么b<a 传递性:如果a>b，b>c，那么a>c 性质1:如果a>b，那么a±c>b±c 性质2:如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或) 性质3:如果 a>b，c<0，那么 ac<bc(或) 基本事实 第十一章 不等式与不等式组 11.1.2节不等式的性质 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第二课时） 1.进一步理解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式. 2.会在数轴上表示不等式的解集，体会数形结合思想. 问题 不等式的性质有哪些? 1.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 2.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 3.不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也需要依据不等式的性质进行. 本节课我们就来学习怎样利用不等式的性质解不等式. 思考 解不等式的最终目标是把不等式转化成什么形式？ 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x>m或x<m(m为常数)的形式. 知识点 不等式性质的应用 27 例1 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) x-7＞26； (2) 3x<2x+1； (3) x ＞50；　　 (4) -4x＞3.　　　　 知识点 不等式性质的应用 分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x>m 或 x<m (m 为常数)的形式. 28 例1 (1) x-7＞26； 知识点 不等式性质的应用 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变， 所以 x-7+7>26+7， 即 x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 0 33 29 例1 (2) 3x<2x+1； 知识点 不等式性质的应用 0 1 解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变， 所以 3x-2x<2x+1-2x， 即 x<1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 30 例1 (3) x ＞50；　　 知识点 不等式性质的应用 0 75 解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变， 所以 >50， 即 x>75. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 31 例1 (4) -4x＞3.　　　　 知识点 不等式性质的应用 解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以 -4，不等号的方向改变， 所以 ，即 x< . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 0 32 除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式. 知识点 不等式性质的应用 “≥”“≤”这两个符号表示什么意思？ 33 x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值. 符号“≥”读作“大于或等于”也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 知识点 不等式性质的应用 34 符号“≥”与“>”的含义有什么区别? “≤”与“<”呢? 知识点 不等式性质的应用 > 大于 ≥ 大于或等于 < 小于 ≤ 小于或等于 35 a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质. 例如:如果a≥b，那么-2a≤-2b. 知识点 不等式性质的应用 36 你能想到生活中在哪里见到过“≥”“≤”这两个符号吗？ 知识点 不等式性质的应用 37 高速公路的限速标志 表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h. 如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100. 知识点 不等式性质的应用 38 思考 如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件? 知识点 不等式性质的应用 x≤120 39 例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 知识点 不等式性质的应用 10 dm 3.5 dm 7dm 分析：问题中的不等关系是:已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 40 知识点 不等式性质的应用 解:因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”， 所以 10×3.5×1+V≤10×3.5×7， 解得 V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是 0≤V≤210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. 0 210 在表示0和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数. 41 利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0): 常见不等式的解集在数轴上的表示： 知识点 不等式性质的应用 不等式的解集 x > a x < a x ≥ a x ≤ a 数轴表示 0 a 0 a 0 a 0 a 42 知识点 不等式性质的应用 用数轴表示不等式的解集的步骤： 1.定边界点：在数轴上要标出原点和边界点，有等号边界点处画实心圆点(表示包括这一点)，无等号边界点处画空心圆圈(表示不包括这一点). 2.定方向：大于向右，小于向左. 43 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 2； (2) 5x-6≤7x-4. 解：(1)根据不等式的性质1,不等式两边加不等号的方向不变， 所以 ， 即 x<2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 2 0 44 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 2； (2) 5x-6≤7x-4. 解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 7x，不等号的方向不变， 所以 5x-6-7x≤7x-4-7x，即 -2x-6≤-4. 根据不等式的性质1，不等式两边加 6，不等号的方向不变， 所以 -2x-6+6≤-4+6，即 -2x≤2. 45 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 2； (2) 5x-6≤7x-4. 根据不等式的性质3，不等式两边除以 -2，不等号的方向改变， 所以 ，即 x≥-1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 0 -1 46 2. (1)如图1，此不等式的解集为　　　　，非正整数解为　　　； (2)如图2，此不等式的解集为　　　　，最大整数解为　　　.  x>-2 -1，0 x<0 -1 图 1 图 2 47 3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物.2024年，某省谷子种植面积已达 324 万亩，平均亩产量约为 320 kg.2025年，若该省谷子的平均亩产量仍保持 320 kg 不变，则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨，该省至少应再多种植多少万亩的谷子？ 列不等式时注意不等号两边的单位要统一. 48 解：设 2025 年该省应种植 x 万亩的谷子. 根据题意，得 . 不等式两边除以 ，得 x≥337.5. 所以 337.5-324=13.5(万亩). 答：2025 年该省至少应再多种植 13.5 万亩的谷子. 49 不等式 不等式性质的应用 解不等式 不等式解集的表示 利用不等式解决实际问题 用不等号“<”“>”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子 定义 0 a 0 a 0 a 0 a 第十一章 不等式与不等式组 11.1.2节不等式的性质 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$