10.4 三元一次方程组的解法 课件-2024-2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 两条直线相交（第一课时） 1.了解三元一次方程组的概念. 2. 能解简单的三元一次方程组，进一步体会化归思想，提升运算能力. 复习 1.解二元一次方程组有哪几种方法？ 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 代入、加减 消元 一元一次方程 化二元为一元 化归、转化思想 代入消元法和加减消元法. 消元思想 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ 解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z. 根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=22, 3x+y=47, x=4z+2. 4 解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z. 根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=22, 3x+y=47, x=4z+2. 而这三个条件必须同时满足. 观察 这个方程组有什么样的特点？ 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 三元一次方程组必须同时满足以下条件： (1)方程组中一共有三个整式方程； (2)方程组中一共含有三个未知数； (3)每个方程中含未知数的项的次数都是1. 例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. 未知数的数量有4个 第二个方程不是整式方程 第三个方程每个方程中含未知数的项的次数不为1 A 跟踪训练 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. B. C. C 如何解三元一次方程组呢？ 解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即 三元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组 消元 消元 把③分别代入①②，得 整理，得 变成二元一次方程组 整理，得 解这个方程组，得 把z=3代入得，x=4×3+2=14. 因此，这个三元一次方程组的解为 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组： (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. (3)回代：将求得的未知数的值代入原方程组中含第三个未知数的方程，得到一个一元一次方程. (4)求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值. (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起. 例2 解三元一次方程组. 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. ②×3+③消去y. 例2 解三元一次方程组. 解：②×3+③，得 11x+10z=35. ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 14 把x=5,z=-2代入②，得2×5+3y-2=9. y=. 例2 解三元一次方程组. 因此，这个三元一次方程组的解为 你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较. 解：由①+②-③，得12y-2z=8. ④ 由①，得x=. ⑤ 由④，得y=. ⑥ 把⑤与⑥代入②，得2× + 3×+z=9, 解得z=-2. 例2 解三元一次方程组. ①+②-③可以消去x. 解：把z=-2分别代入⑤和⑥，得x=5，y= 所以，这个三元一次方程组的解为 例2 解三元一次方程组. 通过比较可以发现，例题解法更简便，因为只运用一次“消元”就转化成了二元一次方程组，而运用代入消元法时运算量较大. 跟踪训练 解方程组： →不含未知数z. 消去未知数z. 解：①×2+②，得5x+8y=7. ④ ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x=3，y=-1代入①，得3+3×(-1)+2z=2，所以z=1. 所以，这个三元一次方程组的解为 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. B. C D. C 19 2.解下列三元一次方程组：(1) 解：①+③，得2x+2y=-1.④ ①×2-②，得8x+3y=1.⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 20 2.解下列三元一次方程组：(1) 解：把代入②，得z=-. 因此，这个三元一次方程组的解为 21 解：①+ ② ，得5x+2y=16.④ ①-③，得2x-2y=-2.⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 2.解下列三元一次方程组：(2) 22 解：把代入③ ，得2+3+z=6，解得z=1. 因此，这个三元一次方程组的解为 2.解下列三元一次方程组：(2) 23 3.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值. 解：根据题意，得 解这个方程组，得 所以x，y，z的值分别为7，2，19. 三元一次 方程组 代入法 加减法 满足的条件 三个整式方程 含有三个未知数 含未知数的项的次数都是1 解法 消元 二元一次方程组 一元一次方程 第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 两条直线垂直（第二课时） 1. 熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤. 2. 会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提 高模型观念，发展应用意识. 复习 解下列三元一次方程组： 解：①+③，得2x+2y=-1.④ ①×2-②，得8x+3y=1.⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 复习 解下列三元一次方程组： 解：把代入②，得z=－. 因此，这个三元一次方程组的解为 例1 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. ②-①,得a+b=1. ④ ③-①,得4a+b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组, 把a=3，b=-2代入①，得 c=-5. 因此a，b，c的值分别为3，-2，-5. 跟踪训练在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，y的值相等.求a，b，c的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 化简，得 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别代入x，y的值，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解三元一次方程组即可. ②-①，得a+b=7.④ ③与④组成方程组 解这个方程组，得 把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10. 所以a，b，c的值分别为-1，8，10. 解：化简，得 例2 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的，如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99. 求这个三位数. 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组. 个位数+十位数+百位数=14， 2×百位数-十位数=个位数× ， 新数+99 =原数 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，根据题意，列得三元一次方程 个位数+十位数+百位数=14， 2×百位数-十位数=个位数× ， 新数+99 =原数 35 解这个方程组，得 因此这个三位数是473. 列三元一次方程组解决实际问题的方法 列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键.列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系. 跟踪训练 小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张. 分析：这个问题中包含有____个等量关系. ______________________________________________. ______________________________________________. ______________________________________________. 10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张 10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍 10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元 3 设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：10元、20元、50元纸币各有8张、2张、2张. 1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的. 求这三个数. 解：设甲、乙、丙三个数分别为x,y,z, 由题意列方程组，得 解这个三元一次方程组，得 答：甲、乙、丙三个数分别为10,15,10. 40 解：由题意列方程组，得 解这个三元一次方程组，得 2.在等式z=ax+by+c中，当x=1, y=2时，z=8；当x=2, y=1时，z=5；当x=-1, y=-1时，z=4. 求a，b，c的值. 所以，a，b，c的值分别是-1，2，5. 41 3.某市筹集了120 t抗灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示： (1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法求出可能的运送方案吗? 车型 甲 乙 丙 运载量/(t/辆) 5 8 10 运费/(元/辆) 400 500 600 解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，丙型车有z辆. 根据题意，得 解：(1) 根据题意，得 ×10-②消去z，得5x+2y=40. 所以 x=8﹣y. 由x，y，z是非负整数，可知x与y的和不大于16， 所以y的值为0，5或10， 所以 43 3.某市筹集了120 t抗灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择每辆车的运载能力和运费如下表所示： (2)在(1)的情况下，运费最少是______元. 车型 甲 乙 丙 运载量/(t/辆) 5 8 10 运费/(元/辆) 400 500 600 有三种运送方案： ①甲型车8辆，丙型车8辆； ②甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车5辆； ③甲型车4辆，乙型车10辆，丙型车2辆. 8×400+8×600=8 000（元）. 6×400+5×500+5×600= 7 900（元）. 4×400+10×500+2×600= 7 800（元）. 7 800 列三元一次方程组解实际问题的一般步骤 审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系. 设：恰当地设未知数，数量通常有3个. 列：依据题中的等量关系列出方程组. 解：解方程组，求出未知数的值. 验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义. 答：写出答. 第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$