10.3 实际问题与二元一次方程组 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第一课时） 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题; 2. 掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤. 3.通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念. 1.方程组的解是 一审：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 二设：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 三列：根据题目中的等量关系，列出方程(组)； 四解：解所列方程(组)，求出未知数的值； 五检：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意； 六答：写出答案(包括单位名称). 5 -2 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg，每头小牛1天需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗？ 大牛 小牛 饲料用量 原来 现在 30 15 30+12 15+5 675 940 分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组. ___________________ ____________________ 30x+15y=675, (30+12)x+(15+5)y=940. 大牛 小牛 饲料用量 原来 现在 30 15 30+12 15+5 675 940 5 解：设 每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组. ____________________ ____________________ 30x+15y=675, (30+12)x+(15+5)y=940. 解这个方程组，得 x=_____ y=_____ 20, 5. 答：每头大牛1天约需饲料_____kg.每头小牛1天约需饲料____kg. 因此，饲养员李大叔对大牛食量的估计________,对小牛食量的估计_______. 20 5 较准确 偏高 饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg，每头小牛1天需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗？ 6 跟踪训练 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？ 解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人. 则 解得 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤: (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系. (2)设：恰当地设未知数. (3)列：依据题中的等量关系列出方程组. (4)解：解方程组，求出未知数的值. (5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义. (6)答：写出答. 解：设现在父亲是x岁，儿子是y岁. 根据题意，得 解得 答：现在父亲是30岁，儿子是6岁. 例1 现在父亲的年龄是儿子年龄的5倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则现在父亲和儿子的年龄各是多少. 跟踪训练 某爱心社给甲、乙两所学校捐赠图书，已知捐给甲校的图书数量与捐给乙校的图书数量之比为3：2，且捐给甲校的图书数量比捐给乙校的2倍少700本，求捐给甲、乙两所学校的图书分别是多少本. 解：设捐给甲校的图书是x本，捐给乙校的图书是y本. 依题意，得 解得 答：捐给甲校的图书是2 100本，捐给乙校的图书是1 400本. 1.为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得 答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元. 解得 11 2.学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅。第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费 151元；第二次买了 4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费 178 元.每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元? 解：设每套《西游记》的价格为x元，每套《水浒传》的价格为y元， 依题意得 答：每套《西游记》的价格为29元，每套《水浒传》的价格为31元. 解得 3.某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t. 建筑垃圾清运费由150 元/t上调为 180 元/t.这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨? 解：设这家公司去年的餐厨垃圾有x吨，建筑垃圾有y吨. 依题意得 解得 答：这家公司去年的餐厨垃圾有8吨，建筑垃圾有34吨. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系. 设：恰当地设未知数. 列：依据题中的等量关系列出方程组. 解：解方程组，求出未知数的值. 验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义. 答：写出答. 第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第二课时） 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题. 2.学会利用二元一次方程组解决几何图形、工程问题. 1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？ 2.把长方形纸片折成面积之比为1:2的两个小长方形，有哪些折法？ 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 ？ 200 m 100 m 思考1： 要把这块土地分为两块小长方形，可以如何分？ 200 m 100 m 思考2： 如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？ 总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关. 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 ？ 200 m 100 m 思考3： ①要表示种植面积需假设哪些量？ ②要表示单位面积产量呢？ ①可假设这两块地的长分别为x m，y m， ②可假设甲种作物每平方米产量为1，则乙种作物每平方米产量为2. 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 ？ x y 200 m 100 m x y 100x 100y 思考4： 若假设甲、乙两块地的长分别为x m，y m，甲种作物每平方米产量为1，则乙种作物每平方米产量为2. 那么根据题意能找到哪些相等关系列方程？ x+y=200 100x : 200y=3 : 4 两块地的长度总和为200 m. (甲地面积×每平方米产量):(乙地面积×每平方米产量)=3:4 A E B D F C x m y m 解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，设AE，BE的长分别为xm，ym，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a. 根据题意可得 解这个方程组，得 答：过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种植______种作物，较小一块土地种植______种作物. 120m 甲 乙 200 m 100 m 若按下图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？ C B F A D E x y 解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形BCFE和AEFD， 设BE,AE的长分别为xm、ym，甲种作物每平方米产量为1，则乙种作物每平方米产量为2. 23 解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形BCFE和AEFD，设BE,AE的长分别为xm、ym，甲种作物每平方米产量为1，则乙种作物每平方米产量为2. 根据题意可得 解这个方程组，得 答：过长方形土地的短边上离一端60m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物. 200 m 100 m C B F A D E x y 24 跟踪训练 小敏和小红玩拼图游戏，小敏用8个同样的小长方形拼成了一个如图 (1)所示的大长方形，小红用同样的8个小长方形拼成了如图 (2)所示的大正方形，不过中间留下一个空白，而这个空白地方恰好是一个边长为2cm的小正方形.求小长方形的长与宽. 设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm 分别用x，y表示大长方形的长及大正方形的边长 构造关于x，y的方程组 分析： x y 3x 5y x+2y 25 跟踪训练 小敏和小红玩拼图游戏，小敏用8个同样的小长方形拼成了一个如图 (1)所示的大长方形，小红用同样的8个小长方形拼成了如图 (2)所示的大正方形，不过中间留下一个空白，而这个空白地方恰好是一个边长为2cm的小正方形.求小长方形的长与宽. 3x 5y x+2y 解：设小长方形的长为xcm,宽为ycm. 依题意，得 解得 答：小长方形的长为10cm、宽为6cm. 另解：由图 (2)可得等量关系“长+2=2×宽” 得：x+2=2y. x+2 2y 26 例1 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成. (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义： x表示______________________，y表示______________________ ； 并写出该方程组中△处的数应是__________， 处的数应是____________. 甲、乙工作效率 工作时间 工作总量 甲队修建的时间 乙队修建的时间 18 4 000 27 例1 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成. (2)陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了a米公路，乙工程队一共修建了b米公路.请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天. 解：(2)根据题意，得 解得 ∴8(天) 答：乙队修建了8天. 28 工程问题中的数量关系 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各部分单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 跟踪训练 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成.按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务.乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 解：设 乙、丙两队合作做了x天，甲队加入后又做了y天. 根据题意，得 解得 答：乙、丙两队合作做了4天，甲队加入后又做了2天. 乙、丙合作x天 甲加入y天 “1” 1.如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式. 为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y各应取什么值？ 2x 3 2 x+2y -3 4y 解：根据各行，各列及对角线上三个数之和都相等， 得 解得 答：x取值为1，y取值为1. 31 2.如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是______cm2. 解：设 小长方形的长为x cm，宽为y cm. 依题意，得 解得 所以大长方形ABCD的面积为： 14×(6+2y)=14×(6+2×2)=14×10=140(cm2). 140 x y y (x-2y) y x y y y 3.某地为打造运河风光带，雇用A,B两个工程队共同完成一段长为180m的河道的清理任务.已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和为20天，A,B工程队分别清理了多长的河道？ 解：设 A工程队清理河道x米，B工程队清理河道y米. 根据题意，得 答：A工程队清理河道60米，B工程队清理河道120米. 解得 4.某车间计划生产一批零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合做，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共同做2天，则还差8个未完成.甲、乙两人每天各做多少个零件? 解：设甲每天做x个零件,乙每天做y个零件. 根据题意，得 解得 答：甲每天做80个零件，乙每天做50个零件. 图形问题 几何图形问题的等量关系主要是几何图形中的常见公式，以及几何图形隐含的线段、角或者面积之间的和差关系. 工程问题 工程问题中的数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各部分单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 列二元一次方程组解决实际问题 第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第三课时） 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题. 2.学会利用二元一次方程组解决调配、方案选择、行程问题. 复习 列二元一次方程组解应用题的一般步骤: (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系. (2)设：恰当地设未知数. (3)列：依据题中的等量关系列出方程组. (4)解：解方程组，求出未知数的值. (5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义. (6)答：写出答. A B 丝路纺织厂 公路10km 铁路110km 铁路120km 公路20km 探究3 如图，丝路纺织厂与A,B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？ 40 思考1 购进的长绒棉的质量与制成的纺织面料的质量相等吗？ 正常情况下生产都会有损耗或是残渣，所以原材料与制成的成品质量不一样. 思考2 运费的单位“元/(t·km)”的含义. 运费=运价×重量(t)×里程数(km) 思考3 公路运费、铁路运费是如何算出来的？ 长绒棉从A地运往工厂的10 km公路运费+纺织面料从工厂运往B地的20 km公路运费=5 200元 长绒棉 纺织面料 长绒棉从A地运往工厂的120 km铁路运费+纺织面料从工厂运往B地的110 km铁路运费=16 640元 42 x t长绒棉（30 800元/t） y t纺织面料（42 500元/t） 合计/元 公路 0.5元/(t·km) 铁路 0.2元/(t·km) 价值/元 5 200 16 640 0.5x10 0.2x120 0.5y20 0.2y110 解：设购买x t长绒棉，制成y t纺织面料. 根据题中数量关系填写下表. 30 800x 42 500y 题目所求的是_________________________________________， 为此需先解出______与______. 产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元 x y 由表列得方程 解这个方程组，得 45 销售款：42 500×320=13 600 000（元）. 原材料：30 800×400=12 320 000 （元）. 13 600 000-（12 320 000+5 200+16 640）=1 258 160（元）. 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 258 160元. 从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义. 跟踪训练 某水果市场要将168吨水果从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批水果.已知这两种货车的载重分别为10吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 运输使用的车型 运费情况 甲地/（元/辆） 乙地/（元/辆） 大货车 300 400 小货车 200 250 (1)求这两种货车各用多少辆？ 大货车+小货车=18. 大货车×10+小货车×8=168. 解：(1)设用大货车x辆，小货车y辆. 根据题意，得 解得 答：用大货车12辆，小货车6辆. 大货车+小货车=18. 大货车×10+小货车×8=168. 跟踪训练 (2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，且此次的总运费为5 550元.请求出安排前往甲地的大货车多少辆. 运输使用的车型 运费情况 甲地/（元/辆） 乙地/（元/辆） 大货车12辆 300 400 小货车6辆 200 250 (2)解：设前往甲地的大货车a辆，小货车b辆. 根据题意，得 a辆 b辆 (12-a)辆 (6-b) 辆 (2)解：设前往甲地的大货车a辆，小货车b辆. 根据题意，得 解得 答：安排前往甲地的大货车5辆. 例1 某商场计划用40 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1 200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元. (1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共40部，则商场共有哪几种进货方案？ 分三种 情况考虑 购进乙、丙两种型号的手机 由购进手机的总数量和总费用列方程组 求解 购进甲、乙两种型号的手机 购进甲、丙两种型号的手机 52 解：(1)①若购进甲、乙两种型号的手机， 设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部. 根据题意，得 解得 甲型号 乙型号 丙型号 1 200 400 800 解：(1)②若购进甲、丙两种型号的手机， 设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部. 根据题意，得 解得 甲型号 乙型号 丙型号 1 200 400 800 解：(1)③若购进乙、丙两种型号的手机， 设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部. 根据题意，得 解得 因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况应舍去. 综上所述，商场共有两种进货方案. 方案一：购进甲型号手机30部，乙型号手机10部. 方案二：购进甲型号手机20部，丙型号手机20部. 甲型号 乙型号 丙型号 1 200 400 800 例1 (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？ (2)方案一获利：120×30+80×10=4 400（元）. 方案二获利：120×20+120×20=4 800（元）. 所以方案二获利较多，所以商场应购进甲型号手机20部，丙型号手机20部. 综上所述，商场共有两种进货方案. 方案一：购进甲型号手机30部，乙型号手机10部. 方案二：购进甲型号手机20部，丙型号手机20部. 求解方案设计问题的思路 利用分类讨论思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解，再根据题目要求确定最终方案. 1.某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？ 解：设一辆大货车一次可以运货x t,一辆小货车一次可以运货y t. 根据题意，得 解得 所以3x+5y=24.5. 答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5 t. 58 2.七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1 180元.缆车票价如右表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？ 票种 票价/元 往返 80 单程 45 解：设他们购买了往返票x张，单程票y张. 依题意得 解得 答：他们购买了往返票8张，单程票12张. 59 3.甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30km/h,平路的速度为40km/h,下坡的速度为50km/h,那么他从甲地骑到乙地需54min,从乙地骑到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少千米？ 甲 乙 解：设 从甲地到乙地上坡的路程为x km，平路的路程为y km. 根据题意，得解得 所以x+y=15+16=31(km). 答：甲地到乙地全程是31km. 60 4.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作·某大学计划组织本校全体志愿者共480人统一乘车去会场.学校向租车公司租赁A,B两种车型接送志愿者往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位. (1)求A,B两种车型各有多少个座位. 解：(1)设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位. 依题意，得 答：每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位. 解得 4.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作·某大学计划组织本校全体志愿者共480人统一乘车去会场. (2)若A型车日租金为350元，B型车日租金为400元，租车公司最多能提供7辆B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金. (2)设租m辆A型车，n辆B型车， 依题意，得45m+60n=480, 解得n=8-m. ∵m，n为正整数，且n≤7， ∴(舍去) ∴有两种租车方案， 方案1：租4辆A型车、5辆B型车. 方案2：租8辆A型车、2辆B型车. 当租4辆A型车、5辆B型车时， 所需费用为350×4+400×5=3 400(元)， 当租8辆A型车、2辆B型车时， 所需费用为350×8+400×2=3 600(元). ∵3 400<3 600, ∴租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少，最少租金为3 400元. 63 调配问题 用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义. 方案问题 利用分类讨论思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解，再根据题目要求确定最终方案. 列二元一次方程组解决实际问题 第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$