9.1 用坐标描述平面内点的位置 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第九章 平面直角坐标系 9.1 用坐标描述平面内点的位置 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 平面直角坐标系的概念（第一课时） 1.理解平面直角坐标系的概念，能画出平面直角坐标系，提升抽象能力，增强动手能力. 2.在平面直角坐标系中，能由点的位置确定点的坐标或能由点的坐标确定点的位置. 问题 在庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动中，天安门广场上出现了“祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗? 表演现场设置了由有序数对标识的点位，3 000多名表演者手举光影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案. 类似于生活中用有序数对确定位置，在数学中可以通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画平面内点的位置. 数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标. 知识点1 平面直角坐标系 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 6 在图中的数轴上，点A、点B的坐标分别是多少？ 点A的坐标为-4，点B的坐标为2. 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 A B -4 知识点1 平面直角坐标系 7 反过来，利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置. 坐标为5的点在哪？ 是点C. 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 A B C 5 -4 知识点1 平面直角坐标系 8 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如图中A，B，C，D，E各点)? A B C D E 知识点1 平面直角坐标系 9 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为x轴或横轴 竖直的数轴称为y轴或纵轴 x y O 横轴 纵轴 知识点1 平面直角坐标系 10 x轴或横轴，习惯上取向右为正方向； y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向； 两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点. x y O 原点 取向右为正方向 取向上为正方向 知识点1 平面直角坐标系 11 例1 下列四个选项中,关于平面直角坐标系的画法正确的是（ ） 知识点1 平面直角坐标系 D 12 例如：由点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标3，垂足N在y轴上的坐标是4. 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示. 2 -1 A 1 5 4 3 -4 -3 -2 -1 O 6 4 3 2 1 5 -2 -3 -4 x y (3，4) N M 知识点2 用坐标描述点的位置 我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作A(3，4). 13 类似地，你能写出B，C，D，E的坐标吗？ 2 -1 C 1 5 4 3 -4 -3 -2 -1 O 6 4 3 2 1 5 -2 -3 -4 x y (0，2) B (-2，0) D (0，-3) E (-3，-4) 知识点2 用坐标描述点的位置 14 2 -1 A 1 5 4 3 -4 -3 -2 -1 O 6 4 3 2 1 5 -2 -3 -4 x y (3，4) N M 知识点2 用坐标描述点的位置 点到坐标轴的距离： 若点A(a，b)， 则点A到x轴的距离为点A的纵坐标的绝对值，即为|b|； 点A到y轴的距离为点A的横坐标的绝对值，即为|a|. 15 例2 在平面直角坐标系中描出下列各点: A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)， D(4，-2)，E(0，-4). x y O 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 A(4，5) B(-2，3) C(-2.5，-2) D(4，-2) E(0，-4) 解:如图，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，可在图中描出点B，C，D，E. 知识点2 用坐标描述点的位置 16 知识点2 用坐标描述点的位置 描点(a,b)的方法 (1)在x轴上找出表示数a的点,过该点作x轴的垂线; (2)在y轴上找出表示数b的点,过该点作y轴的垂线.两条垂线的交点就是点(a,b). 知识点2 用坐标描述点的位置 跟踪训练 在如图所示的平面直角坐标系中， (1)写出A,B,C三点的坐标; (2)描出点D(2,-3),E(-2,4),F(0,-2); (3)分别写出点A,B,C到x轴、y轴的距离. 解：(1) A(4,3), B(-3,0), C(-4,-1). 18 知识点2 用坐标描述点的位置 解： (2) 如图所示. 跟踪训练 在如图所示的平面直角坐标系中， (1)写出A,B,C三点的坐标; (2)描出点D(2,-3),E(-2,4),F(0,-2); (3)分别写出点A,B,C到x轴、y轴的距离. 19 知识点2 用坐标描述点的位置 跟踪训练 在如图所示的平面直角坐标系中， (1)写出A,B,C三点的坐标; (2)描出点D(2,-3),E(-2,4),F(0,-2); (3)分别写出点A,B,C到x轴、y轴的距离. 点 到x轴的距离 到y轴的距离 A B C （3）解： 3 4 0 3 1 4 20 思考 原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点? 原点O的坐标为(0，0)； x轴上的点：(1,0)，(-1,0)…； y轴上的点的： (0,1)，(0,-1)…. 2 -1 1 5 4 3 -4 -3 -2 -1 O 6 4 3 2 1 5 -2 -3 -4 x y 知识点3 点的坐标符号特点 21 思考 原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点? 2 -1 1 5 4 3 -4 -3 -2 -1 O 6 4 3 2 1 5 -2 -3 -4 x y x轴上的点的纵坐标为0， y轴上的点的横坐标为0. 知识点3 点的坐标符号特点 22 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限 象限 知识点3 点的坐标符号特点 23 Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ x y O 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 第一象限 第二象限 第四象限 第三象限 坐标轴上的点属于哪个象限？ 坐标轴上的点不属于任何象限. 知识点3 点的坐标符号特点 24 思考 每个象限内点的坐标符号具有什么特点？ （＋，＋） （－，＋） （－，－） （＋，－） 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 在第二象限 在第三象限 在第四象限 在x轴上 在y轴上 ＋ ＋ － ＋ － － ＋ － 纵坐标为0 横坐标为0 知识点3 点的坐标符号特点 25 知识点3 点的坐标符号特点 例3 在平面直角坐标系中,点M(m-3,m+1)在x轴上,则点P(m-1,1-m)在 (　　) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 纵坐标为0 m=-1 P(-2,2) 26 知识点3 点的坐标符号特点 跟踪训练 若|a|=5,b2=16,且点M(a,b)在第三象限,则点M的坐标是(　　) C A.(5,4) B.(-5,4) C.(-5,-4) D.(5,-4) a=±5, b=±4 a=-5, b=-4 27 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的坐标和它对应吗？ 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应； 反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 知识点3 点的坐标符号特点 28 1.如图，点A，B，C，D的坐标分别为 　　　 　　　 　　 　　　　　　.  A(3，2)，B(2，3)，C(-2，3)，D(-1，-3) (3，2) (2，3) (-2，3) (-1，-3) 29 2.请你根据下列各点的坐标判定它们分别在第几象限或在什么坐标轴上？ A（-5，2) B (3，-2） C（0，4） D（-6，0） E（1，8） F（0，0） G（5，0） H（-6，-4) M （0，-3） 第二象限 第四象限 y轴的正半轴上 x轴的负半轴上 第一象限 坐标原点 x轴的正半轴上 第三象限 y轴的负半轴上 30 3. 若点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是2，且点P在第一象限，请写出点P的坐标. 点P(x，y) 到x轴的距离是4， 到y轴的距离是2， 第一象限点的坐标特征：(+，+) P(2，4) |y|=4 |x|=2 点P的坐标为(2，4) 31 4.已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( ) A.(a，b) B.(-a，b) C.(-a，-b) D.(a，-b) 解析：∵a+b>0，ab>0. ∴a>0，b>0. ∵小手盖住的点在第四象限， ∴该点的横坐标大于0，纵坐标小于0. ∴(a，-b)满足题意. D 32 内点的位置 用坐标描述平面 象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征： 第一象限：(+，+)，第二象限：(-，+) 第三象限：(-，-)，第四象限：(+，-) x轴上的点的纵坐标为0，表示为(x，0) y轴上的点的横坐标为0，表示为(0，y) 原点 象限 坐标轴 点的坐标特征 平面直角坐标系 4个象限 第九章 平面直角坐标系 9.1 用坐标描述平面内点的位置 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 用坐标描述简单几何图形（第二课时） 1.对给定的简单几何图形，会选择合适的平面直角坐标系，描述它的位置. 2.建立平面直角坐标系，用坐标刻画一个图形上的关键点，从而刻画这个图形. 问题 根据建立的平面直角坐标系， 请说出点A，B，C的坐标. A B C A(-2, 0) B(1,1) C(1,-2) x y o A B C 你能根据给出的点建立不同的直角坐标系吗？ A B C x y o A(0,0) B(3,1) C(3,-2) 建立的直角坐标系不同，同一点的坐标也不同. 几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以描述一些几何图形. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 38 思考 如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点、AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴?写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标. 6 6 y x (A) B C D O 这样建立的平面直角坐标系以AD所在直线为y轴. 当取1个单位长度代表长度“1”时，正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，0),(6，0)，(6，6)，(0，6). 知识点 用坐标描述简单的几何图形 39 若另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么? 知识点 用坐标描述简单的几何图形 40 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 当取1个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(-3，0)，(3，0)，(3，6)，(-3，6). y x A B C D O 知识点 用坐标描述简单的几何图形 41 一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形. 在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同. 为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征. 42 类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点(例如顶点)的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 43 例 在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为 A(-3，2)，B(-3，-2)，C(3，-2)，D(3，2).画出长方形ABCD. 分析:一个长方形四个顶点的位置确定了，这个长方形就确定了.在平面直角坐标系中，由顶点坐标描出长方形ABCD的四个顶点，就可以画出这个长方形. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 44 x y O 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 解：由长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-3，2)，B(-3，-2)，C(3，-2)，D(3，2)，描出点A，B，C，D. 连接AB，BC，CD，DA，就可以画出长方形ABCD. A B C D 知识点 用坐标描述简单的几何图形 45 跟踪训练 如图，在单位长度为1的正方形网格中绘制一片枫叶，且点A，B，C，D，E均在格点上. (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据(1)中的平面直角坐标系， 写出各点的坐标. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 46 知识点 用坐标描述简单的几何图形 解： (1)以点C为坐标原点建立的平面直角坐标系如图所示.(答案不唯一) (2) A(－1，3)，B(－2，1)，C(0，0)，D(3，－2)，E(3， 1). x y 47 归纳： 几何图形中建立适当的平面直角坐标系的技巧： 1. 使图形中尽量多的点在坐标轴上； 2. 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴； 3. 若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为 x 轴或 y 轴； 4. 以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0). 知识点 用坐标描述简单的几何图形 17世纪，法国数学家笛卡儿引入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法解决几何问题的先河.从那以后，数学的面貌发生了划时代的变化.代数和几何两大领域更加密切地联系起来. 知识点 用坐标描述简单的几何图形 49 1.三角形 ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长都是1)，请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形 ABC 的顶点 A，B，C 的坐标. 解：答案不唯一. 例如：以点 C 为原点建立平面直角坐标系， 则 A (3，0)，B (1，3)，C (0，0). x (O) y -2 -1 1 2 3 1 2 3 -1 -2 50 2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0，3)，B(3，0)，C(0，-3)，D(-3，0), 请画出正方形ABCD. 解:如图所示，正方形ABCD即为所求. 51 3.下图是中国象棋的一部分，已知棋子“车”的坐标为(0，1)，棋子“炮”的坐标为(4，2)，那么棋子“马”的坐标为(　　) B (2，2) (2，3) (3，2) (3，4) 52 4.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的每个顶点都在格点上. (1)在图中建立合适的平面直角坐标系，使点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(2，-3)； 解：建立平面直角坐标系如图所示； 53 解析：如图所示，分别过四边形ABCD的四个顶点作横平竖直的线，分别交于点E，F，G，因为每个小正方形的边长都为1，所以 S四边形ABCD＝S正方形EBFG - S△ABE - S△CDG - S△BCF ＝5×5×1×5×2×4×1×5 ＝16. (2)四边形ABCD的面积为 ⁠. 16 54 5.如图，在平面直角坐标系中，A (1，1)，B (1，2)， C (3，2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿 A→B→C→D→A 循环爬行，问第2 025秒瓢虫在(　 )处． A.(3，1) B.(1，2) C.(0，2) D.(3，2) 55 解：∵A (1，1)， B (1，2)， C (3，2)， D (3，1)， ∴ AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴ C长方形ABCD＝2(AB+AD)＝14． ∴ 瓢虫爬一周所用时间为14÷2=7（秒）. ∵ 2 025÷7＝289……2, 2×2=4, ∴ 当 t＝2 025秒时，瓢虫在点 E处， ∴ 此时瓢虫的坐标为（0，-2）． E 56 5.如图，在平面直角坐标系中，A (1，1)，B (1，2)， C (3，2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿 A→B→C→D→A 循环爬行，问第2 025秒瓢虫在(　 )处． A.(3，1) B.(1，2) C.(0，2) D.(3，2) C 57 用坐标描述 简单几何图形 根据坐标画几何图形 根据图形特点建立坐标轴 1. 尽量多的点在坐标轴上 2. 特殊线段所在的直线为 坐标轴 3. 以某已知点为原点 第九章 平面直角坐标系 9.1 用坐标描述平面内点的位置 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$