8.2 立方根 课件-2024-2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.2 立方根 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第一课时） 1.了解立方根的概念. 2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别. 3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根. 问题 要做一个体积为27 cm3的正方体模型，它的棱长要取多少？ 正方体的体积公式为：S = a3， 则有 27 = a3， 即a3 = 27. 此时 a 的值为多少呢？ a 思考 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少? 因为23=8，所以这个数可以是2. 除2以外，任何一个数的立方都不等于8. 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2. 知识点1 立方根 4 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根. 例如，2 是 _____ 的立方根，3 是 _____ 的立方根． 8 27 知识点1 立方根 5 知识点1 立方根 27 -27 125 -125 3 -3 5 -5 立方 开立方 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方. 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 6 例1 填空： 知识点1 立方根 ( )3=1 ( )3=8 ( )3=0 ( )3=-64 1 0 -4 2 7 根据立方根的意义填空: 因为13=1，所以1的立方根是( )； 因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )； 因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )； 因为( )3=-，所以-的立方根是( )； 因为( )3=0，所以0的立方根是( ). 1 0.4 0.4 0 0 -2 -2 - - 知识点2 立方根的性质 8 你能发现正数的立方根有什么特点吗?负数呢?0的立方根是多少? 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， 0的立方根是0. 知识点2 立方根的性质 9 平方根 立方根 区别 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 可以为任何数 非负数 ± 知识点2 立方根的性质 平方根与立方根的区别 10 知识点2 立方根的性质 平方根 立方根 联系 运算关系 0 的开方 都与相应的乘方运算互为逆运算. 0 的平方根与立方根都是 0. 平方根与立方根的联系 11 知识点2 立方根的性质 例2 关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有0 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 正数有一个立方根 立方根等于本身的数有-1，0，1 负数有立方根 C 12 仿照平方根的表示方法，如何表示立方根？ 知识点3 立方根的表示 13 类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”. a 是被开方数 3 是根指数 注意：这个根指数3绝对不可省略！ 知识点3 立方根的表示 例如：表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2. 实际上省略了中的根指数2，因此也可以读作“二次根号a”. 14 例3 求下列各数的立方根： (1)(2)3； (2)343； (3)64； (4) . 解:(1) (2)3的立方根是2，即=2； (2)因为73=343，所以343的立方根是7，即=7； (3)因为(4)3=64，所以64的立方根是4，即=4； (4)因为()3= ，所以的立方根是，即= . 知识点3 立方根的表示 15 1.的立方根是_____. 2 注意： 是64的算术平方根，需要先计算出结果 16 2.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)的立方根是； (2) 64没有立方根； (3) (1)3的平方根是1； (4) 0的平方根和立方根都是0. 的立方根是 −64的立方根是−4 (−1)3=−1，−1没有平方根 17 3.求下列各数的立方根: (1)216； (2)； (3) 133； (4)0.008. 解:(1)因为(6)3=216，所以216的立方根是6，即 =6； (2)因为()3=，所以的立方根是，即； (3)133的立方根是13，即=13； (4)因为(−0.2)3=−0.008，所以−0.008的立方根是−0.2， 即 =−0.2. 18 4.求下列各式的值: (1). (2) . 解： (1)＝ ＝. (2) ＝ ＝20. 当被开方数是一个算式时，应先算出这个算式的结果，再进行开立方运算. 19 5.已知一个正方体的体积是1 000 cm3，现要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使余下的体积是488 cm3，那么截去的每个小正方体的棱长是多少? 分析：根据8个小正方体的体积之和=原体积-剩余体积列方程求解. 20 解：设截去的每个小正方体的棱长是x cm. 根据题意，得8x3=1 000-488， 即x3=64. 所以x=，即x=4. 答：截去的每个小正方体的棱长是4 cm. 21 立方根 性质 表示 定义 如果x3=a，那么x叫作a的立方根或三次方根. 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”. 第八章 实数 8.2 立方根 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第二课时） 1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系. 2.学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值. 互为相反数的两个数的立方根有什么关系？ 探究 计算和，它们有什么关系？和呢？你能从中发现什么规律？ 因为=_____，=_____，所以_____________， 因为=_____，=_____，所以_____________. 2 -2 3 -3 知识点1 相反数的立方根 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 26 问题 (1)求()³, () ³, () ³, () ³, () ³的值,对于任意数a, () ³等于多少? ()³=0³=0, () ³=2³=8, () ³=(-2)³=-8, () ³=3³=27, () ³=(-3)³=-27 对于任意数a，()³=a 知识点1 相反数的立方根 27 (2)求, , , , 的值.对于任意数a,,等于多少? ==, ==2, ==-2, ==-3, ==4 对于任意数a，=a 知识点1 相反数的立方根 28 例1 求下列各式的值: (1) ； (2)-； (3) . 解：(1) = -=-8； (2) -= =0.1； (3) ==-4. 知识点1 相反数的立方根 可以看作：根号内外同时添加“-” 29 很多有理数的立方根是无限不循环小数. 例如， 等都是无限不循环小数. 我们可以用有理数近似地表示它们. 知识点2 用计算器求立方根 30 你会使用计算器计算一个数的立方根吗？ 知识点2 用计算器求立方根 31 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 知识点2 用计算器求立方根 32 例如：用计算器求，只需依次按键 ②①⑨⑦ ， 显示:13，所以=13. 用计算器求，只需依次按键 ③ = 显示的近似值:1.442249570，所以≈1. 442. 知识点2 用计算器求立方根 = 33 =_____， =_____， =_____， =_____， 探究 用计算器计算…，，，，，…你能发现什么规律？ 0.06 0.6 6 60 被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位. 知识点2 用计算器求立方根 34 ≈________， ≈________， ≈_______. ≈______， 用计算器计算(结果保留到小数点后三位)，并利用你发现的规律求 ，，的近似值 4.642 0.464 2 0.046 42 46.42 知识点2 用计算器求立方根 35 知识点2 用计算器求立方根 例2 已知≈1.038，≈2.237，≈4. 820，求下列各式的值：(1)； (2). 解：(1)1 120是1.12的小数点向右移动3位后的数， 故它的立方根的小数点相应地向右移动1位， 即≈10.38. (2)0.112是112的小数点向左移动3位后的数， 故它的立方根的小数点相应地向左移动1位， 即=-≈-0.482. 36 1.用计算器求下列各式的值: (1); (2); (3); (结果保留小数点后三位). 解：(1)=19 (2) =41 (3) 37 2.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间? (1)； (2) ； (3) ； (4) (1)因为1＜7＜8，所以1＜＜2，在1和2之间； (2)因为64＜99＜125，所以4＜＜5，在4和5之间； (3)因为512＜635＜729，所以8＜＜9，在8和9之间； (4)因为-64＜-28＜-27，所以-4＜＜-3，在-4和-3之间. 38 3.求下列各式中x的值： (1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192. 分析：利用开立方求方程的解，需先将方参程转化为x3=a或(mx+b)3=a的形式，再求x的值. 39 解：(1)因为x3=， 所以x=； (2)因为x3+1=-， 所以x3=- 所以，x=-； 3.求下列各式中x的值： (1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192. 40 (3)因为3(2x+1)3=192， 所以(2x+1)3=64， 所以2x+1=4， 所以x=. 3.求下列各式中x的值： (1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192. 如果方程中出现了某个整体的立方等于一个常数，那么先利用整体思想求出这个整体的值，再求未知数的值. 41 4.已知与互为相反数，求2a-3b+3的值. 解：因为与互为相反数， 所以2a+1+1-3b=0， 即2a-3b=-2. 所以2a-3b+3=-2+3=1. 42 由立方根的关系求字母的值的思路 一个数有且只有一个立方根 如果两个数的立方根相等,那么这两个数相等, 即若= ，则A=B； 如果两个数的立方根互为相反数,那么这两个数互为相反数, = -则A=-B，利用A+B=0列方程求解. 43 5.要生产一种容积为80 L( 1 L=1 dm3)的圆柱形容器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应为多少分米? (用计算器计算，结果保留小数点后一位) 底面直径为d dm，则高为2d dm 44 解：设这种容器的底面直径为d dm，则高为2d dm. 由圆柱的体积公式，得V=π()²·2d， 则π()²·2d =80， 所以d 3=， 所以d=≈3.7. 答:这种容器的底面直径应为3.7 dm. 45 立方根 用计算器计算及探索规律 相反数的立方根 被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位. 第八章 实数 8.2 立方根 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$