7.3 定义、命题、定理 课件-2024-2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.3定义、命题、定理 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第一课时） 1.通过具体实例，了解定义、命题的意义. 2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，会判断一个命题的真假，可以利用反例判断一个命题是错误的. 在古希腊，有一位著名的哲学家叫柏拉图.有一天，他的学生问他：“老师，什么是美？” 柏拉图没有直接回答，而是带着学生们来到了一片开满鲜花的草地.他指着那些花朵说：“你们看，这些花朵形态各异，颜色缤纷，但它们都有一种共同的特质，能让我们内心产生愉悦和赞赏之情，这就是美.” 然后，他又带学生们到了一座宏伟的神殿前，说：“这座神殿，它的建筑结构严谨对称，比例恰到好处，也能让我们感受到一种震撼人心的美.” 从柏拉图对美的探寻中，我们可以发现，他在试图找到一种能够概括所有被我们称为 “美” 的事物的共同特征，这其实就类似于我们数学里非常重要的一个概念 —— 定义. 对新的数学对象进行清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义. 类似之前学过的： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 定义的常用叙述方式：“……叫作……” 5 同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线. 含有未知数的等式叫作方程. 两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 你还能举出哪些有关定义的例子？ 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们理解它，并做出准确的判断. 6 例1 请你说出垂直的定义，并用符号语言表示. 解：一般地，当两条直线AB，CD相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说AB与CD互相垂直. 符号语言： 如图，∵∠AOD=90°， ∴AB⊥CD. 7 我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：   (1)中华人民共和国的首都是北京. ( )   (2)我们班的同学多么聪明! ( )   (3)浪费是可耻的. ( )   (4)春天到了，花儿开了. ( )   判断 描述 判断 描述 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： (1)等式两边加同一个数，结果仍相等； (2)对顶角相等； (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 像上面这样，可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题. 被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. 注意： 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 例2 判断下列语句是不是命题. (1)画线段AB=2cm； (2)你喜欢画画吗? (3)分数一定是有理数； (4)同角的补角相等； (5)两个锐角互余. 易错提示：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题. 不是. 不是. 是. 是. 是. 跟踪训练 下列语句中，不是命题的是( ) A. 两点之间，线段最短. B. 内错角都相等. C. 连接A，B两点. D. 平行于同一直线的两直线平行. C 一般地，命题由题设和结论两部分组成. 题设：是已知事项； 结论：是由已知事项推出的事项. 数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式， “如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____. 题设 结论 例如：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 题设 结论 改写： 如果______________________________，那么________________. 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补. 例如：对顶角相等. 改写： 如果__________________，那么________________. 两个角是对顶角 这两个角相等 命题的题设和结论不明显，怎么办？ 真、假命题： 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题； 假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题. 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等. 如果两个数绝对值相等，那么它们互为相反数. 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例）， 它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 例3 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ①内错角相等； 解：①是命题，如果两个角是内错角，那么这两个角相等. 其中“两个角是内错角”是题设，“这两个角相等”是结论. 这个命题是假命题， 如图，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2. 例3 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果…那么…”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ②美丽的中国； ③延长线段AB到点C，使BC=AB; 解：②③不是命题，因为它们都不是判断一件事情的语句. 例3 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果…那么…”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ④整数一定是有理数； 解：④是命题，如果一个数是整数，那么这个数一定是有理数. 其中“一个数是整数”是题设，“这个数一定是有理数”是结论. 这个命题是真命题. 例3 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果…那么…”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ⑤若a,b满足a2=b2，则a=b. 解：⑤是命题，如果a,b满足a2=b2,那么a=b. 其中“a,b满足a2=b2”是题设，“a=b”是结论. 这个命题是假命题， 如a=2，b=-2，满足a2=b2，但不满足a=b. 跟踪训练 指出下列命题的题设和结论: (1)如果∠1与∠2是内错角，那么∠1=∠2； (2)对顶角相等； (3)两个负数的和是负数. 解：(1)题设：∠1与∠2是内错角；结论：∠1=∠2. (2)题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等. (3)题设：两个数是负数；结论：这两个数的和是负数. 1.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出一个反例. (1)钝角大于它的补角； (2)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角； 解：(1)是真命题； (2)是假命题. 反例：两个角都是直角，这两个角互补，但不是钝角和锐角. 21 1.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出一个反例. (3)在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (4)若|a|=|b|，则a=b； (5)若a+b=0，则=. 解：(3)是真命题； (4)是假命题. 反例：当a=-1，b=1 时，|a|=|b|，但a≠b. (5)是真命题. 22 2. 命题“锐角的补角是钝角”的题设为___________________，结论为________________． 3. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是_____________________________ __________________________________________． 一个角是锐角的补角 这个角是钝角 在同一平面内，如果两条直线 都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 23 4.下列命题： ①同旁内角互补； ②垂线段最短； ③同一平面内，不重合的两条直线相交，则它们只有一个交点； ④若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 其中是真命题的是________（填序号） ②③ 定义 对新的数学对象进行清晰、明确的描述 表达形式 如果……那么…… 命题 组成 题设：已知事项 结论：由已知事项推出的事项 分类 真命题 假命题 第七章 相交线与平行线 7.3定义、命题、定理 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 （第二课时） 1.通过具体实例，了解定理的意义. 2.知道证明的意义和必要性，通过实例感悟推理过程的逻辑性，会进行简单的证明，能正确表述证明过程. 同学们，老师手中有一个不透明的盒子，你能通过提供的线索，推测出里面是什么吗？ 线索一：这是一个立体图形. 线索二：它有五个面，有两个面互相平行， 其余各面都是四边形. 你知道盒子里是什么吗？ 28 刚才的过程就像是我们数学世界里的一个个谜题，而数学家们经过长时间的探索和研究，总结出了很多重要结论，这些结论就是我们数学中的定理.但是，仅仅知道定理还不够，我们还需要像解读线索一样，用严谨的逻辑和推理过程来验证这些定理的正确性，这个过程就是证明. 在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题. 其中有些命题是基本事实. “两点确定一条直线” “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等. 还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理. “对顶角相等” “内错角相等，两直线平行”等. 定理也可以作为继续推理的依据.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 举个例子 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”. 题设 结论 与图形有关，应先根据题意，画出图形 a b c 1 2 证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”. 题设 结论 a b c 1 2 已知：如图，直线a⊥b，b∥c， 题设 结论 求证：a⊥c. 目的：证明∠2=90°. a b c 1 2 例1 如图，已知直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c. 证明：∵a⊥b（已知）， ∴∠1=90°（垂直的定义）. ∵b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=90°（等式的基本事实）. ∴a⊥c（垂直的定义）. 证明的一般步骤： (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 1.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，∠A十∠B=180°，求证∠C+∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC (_______________________________). ∴∠C+∠D=180°(_______________________________). A B D C 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 36 2.完成下面的证明. 如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证AB∥CD. 证明：∵∠1=∠2(已知),且∠1=∠4(　　　　　　),  ∴∠2= (等式的基本事实), ∴ (　　　　　　　　　　　　),  ∴∠C=∠3(　　　　　　　　　　　　).  又∵∠B=∠C(已知), ∴∠3=∠B(等式的基本事实), ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　　).  对顶角相等 同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 内错角相等,两直线平行 ∠4 CE∥BF 3.如图，已知AD∥BC，∠A=∠C. 求证：AB∥CD. 证明：方法一 ∵AD∥BC(已知)， ∴∠A=∠ABF(两直线平行，内错角相等). ∵∠A=∠C(已知)， ∴∠ABF=∠C(等式的基本事实)， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 38 3.如图，已知AD∥BC，∠A=∠C. 求证：AB∥CD. 方法二 ∵AD∥BC(已知)， ∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠A=∠C(己知)， ∴∠C+∠ABC=180°（等式的基本事实）， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 39 4.如图,已知∠A=∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上. 求证：AB∥CD. 证明:∵AD⊥BE,BC⊥BE(已知), ∴AD∥BC(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行), ∴∠ADE=∠C(两直线平行,同位角相等). 又∵∠A=∠C(已知), ∴∠ADE=∠A(等式的基本事实), ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 定理 经过推理证实得到的真命题叫作定理. 定理也可以作为继续推理的依据. 定理与证明 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 证明步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 第七章 相交线与平行线 7.3定义、命题、定理 人教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$