8.6.2直线与平面垂直（第二课时）教案 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 (第二课时) 教案 一、教材分析 “直线与平面垂直 (第二课时) ”主要围绕直线与平面垂直的性质定理展开,是在学生掌握直线与平面垂直的定义、判定定理基础上的深入学习。直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中垂直于同一平面的两条直线的平行关系,不仅完善了直线与平面垂直的知识体系, 还为解决空间中直线平行、距离计算等问题提供了新的理论依据, 在立体几何的学习中起着重要的承上启下作用。通过对性质定理的学习,有助于培养学生的逻辑推理、空间想象和数学运算等核心素养,提升学生综合运用知识解决问题的能力。 二、学情分析 学生在第一课时已经学习了直线与平面垂直的定义和判定定理, 对直线与平面垂直的相关知识有了一定的认识, 具备了一定的空间观念和逻辑推理能力。然而, 性质定理的证明采用了反证法, 这种证明方法对学生来说相对陌生, 学生在理解证明思路和逻辑过程时可能会遇到困难。在应用性质定理解决实际问题时,如何将具体问题转化为定理所适用的模型, 以及在复杂的空间图形中准确运用定理, 对学生的分析和解决问题的能力提出了较高要求。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过观察、思考、讨论等方法,逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标(基于数学核心素养) 1. 逻辑推理素养:理解并掌握直线与平面垂直的性质定理, 能够运用定理进行严谨的逻辑推理,证明直线与直线平行等相关结论,培养逻辑思维能力。 2. 直观想象素养:通过观察长方体等几何模型,直观感知直线与平面垂直的性质,提升空间想象能力,能在脑海中构建出相关的空间图形和位置关系。 3. 数学运算素养:在应用性质定理解决距离计算、体积推导等问题时,涉及到长度、面积等计算,通过练习提高学生的运算能力和对几何图形的分析能力。 4. 数学建模素养:学会将实际生活中的空间几何问题转化为数学模型,运用直线与平面垂直的性质定理进行求解,增强数学应用意识,提升数学建模能力。 四、教学重难点 1. 重点: 直线与平面垂直的性质定理的理解和应用, 掌握运用性质定理证明直线平行以及计算空间距离的方法。 2. 难点: 直线与平面垂直性质定理的证明思路 (反证法), 以及在具体问题中灵活运用性质定理解决复杂的空间几何问题。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程 (40 分钟) (一) 复习回顾 (5 分钟) 1. 提问学生直线和平面垂直的定义, 引导学生回顾: 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直。其中直线叫做平面的垂线, 平面叫做直线的垂面, 交点叫做垂足。通过图形和符号语言进行强化,如直线 垂直平面 ,可表示为 。 2. 提问直线与平面垂直的判定定理, 让学生回答: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。用图形和符号语言表示为: ,强调“相交”这一关键条件。 (二) 新知探究 (10 分钟) 1. 观察与思考 (4 分钟): 展示长方体 模型,引导学生观察棱 所在直线与底面 的位置关系,提问学生它们彼此之间具有什么位置关系,学生容易得出这些棱都垂直于底面且相互平行。进一步提出问题: 如果已知直线 和平面 ,且 ,那么直线 有怎样的位置关系？ 引发学生思考。 2. 性质定理的证明 ( 6 分钟 ) : 已知 ,求证 。采用反证法进行证明: 假设 不平行于 是经过点 与直线 平行的直线。因为 , ,根据直线与平面垂直的性质 (如果一条直线垂直于一个平面,那么与这条直线平行的直线也垂直于这个平面),所以 。此时出现经过同一点 的两条直线 , 都垂直于平面 ,这与 “过一点有且只有一条直线与已知平面垂直” 相矛盾,所以假设不成立,因此 。得出直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。用图形语言和符号语言表示定理,让学生理解定理的条件和结论。 (三) 例题讲解 (12 分钟) 1. 例 1 讲解 (6 分钟): 例 1: 直线 平行于平面 ,求证: 直线 上各点到平面 的距离相等。引导学生分析证明思路: 过直线 上任意两点 分别作平面 的垂线 ,垂足分别为 。 因为 ,根据直线与平面垂直的性质定理,可得 。 设直线 确定的平面为 。又因为 ,根据直线与平面平行的性质 (如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行),可得 。 所以四边形 是矩形,从而 。由 是直线 上任意的两点,可知直线 上各点到平面 的距离相等。 详细书写证明过程,强调证明过程中运用的定理和逻辑关系,让学生理解如何运用性质定理解决距离相等的证明问题。讲解直线到平面的距离的概念:一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。 2. 棱台体积公式推导 (6 分钟): 以推导棱台的等积公式 S) 为例, 展示棱台图形, 引导学生分析: 延长棱台各侧棱交于点 ,得到截得棱台的棱锥。过点 作棱台的下底面的垂线, 分别与棱台的上、下底面交于点 ,则 垂直于棱台的上底面, 。 设截得棱台的棱锥的体积为 ,去掉的棱锥的体积为 ,高分别为 和 , 则 。 所以棱台的体积 。由棱合的上下底面平行,证明棱台的上、下底面相似,根据相似图形面积比与对应边长比的关系 ,可得 。 将 代入上式,得到 。在推导过程中,引导学生理解如何运用直线与平面垂直的性质 (作垂线) 以及相似图形的性质来解决体积计算问题, 提高学生综合运用知识的能力。 (四) 练习巩固 (8 分钟) 1. 布置练习题: 在正方体 中, 是 上一点, 是 的中点, 平面 。求证: 。引导学生思考: 因为四边形 为正方形,所以 。 又因为 平面 ,所以 。 由于 ,根据直线与平面垂直的判定定理,可得 平面 。 又因为 平面 ,根据直线与平面垂直的性质定理,所以 。 2. 让学生独立完成练习,教师巡视,对学生的解题过程进行指导,纠正错误,强化对直线与平面垂直性质定理的应用能力。针对学生在证明过程中出现的逻辑不严谨、 定理运用错误等问题,及时给予指导和反馈。 (五)课堂小结(3 分钟) 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括直线与平面垂直的性质定理的内容、证明方法, 以及运用性质定理解决的问题 (如证明直线平行、计算直线到平面的距离、推导棱台体积公式等)。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系, 明确本节课的核心内容和学习要点, 如性质定理的应用条件和常见的解题思路。 (六)布置作业(2 分钟) 1. 必做题: 完成教材 练习 2、 3,通过作业巩固直线与平面垂直性质定理的应用, 提高学生运用定理解决问题的能力。 2. 选做题:思考在三棱柱中,如果侧棱垂直于底面,如何利用直线与平面垂直的性质定理证明一些线段平行关系；预习平面与平面垂直的相关内容,思考平面与平面垂直的定义和判定方法与直线与平面垂直的联系。 七、教学反思 在教学过程中,要注重引导学生通过观察几何模型,自主探究直线与平面垂直的性质定理, 培养学生的观察能力和逻辑推理能力。在讲解性质定理的证明和例题时, 要注重逻辑推理的引导,让学生理解证明的思路和依据,特别是反证法的运用。练习环节要关注学生的解题情况, 及时发现学生在应用定理时出现的问题, 如证明过程不严谨、定理运用不熟练等,并给予针对性的指导。根据学生的学习情况,灵活调整教学策略,如增加一些拓展性的练习或补充更多的实例,帮助学生更好地掌握本节课的知识, 提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$