10.5角平分线　同步练习题　2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《10.5角平分线》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（  ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：． A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 3．如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（    ）    A．4 B．6 C． D．8 6．如图，中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知M为等边外的一点，，，点N，P分别在，上，连接、、，若平分，，，则的长为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．如图，点是的中点，，，平分，则下列结论中，下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 二、填空题 9．如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 10．如图，在中，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 度．    11．如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 12．如图，在中，，平分，，，则的面积是 ． 13．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 14．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 15．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 16．如图，中，延长、，、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，，，垂足分别为、，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 17．如图，已知锐角，．请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且 （保留作图痕迹，不写做法）． 18．如图，在中，，，的平分线交于点，过点作于点，，，求的面积．    19．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，A，B分别在第一、二象限，，轴于点C，轴于点D，平分，点C，D的坐标分别为和． (1)若，那么与有何关系？说明理由； (2)若的面积等于6，，求的值． 20．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，求证：． 21．如图，在中，，平分，交于点D，于点E，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的度数． 22．如图1，中，，点D是上点，连接，的平分线交于点E，并延长至点F，使得，且． (1)求证：． (2)如图2，若，点H为上一点，连接，K为中点，且，求证：． 23．数学活动课上，在学习了角平分线的尺规作图后．嘉嘉受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法．如图，请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②再以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，交于点； ③连接交于点； ④作射线． 则射线即为的平分线． 【任务】 (1)由尺规作图可直接得到的相等线段有：和______． (2)由（1）中的条件，可证，依据是______（填判定方法） (3)如果把（2）中的作为条件，求证：平分． 24．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 参考答案 1．解：A、∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴选项正确； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项不正确； D、∵，， ∴， ∴选项正确． 故选：C． 2．解：由尺规作图痕迹可知， 为的角平分线，为的垂线， ∴， ， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ 故结论Ⅱ正确； ∵， ∴， ∴ 故结论Ⅰ正确， 故选：A． 3．解：∵，于且， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 4．解：在中，，，， ， 过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短， 平分交于D， ，即线段的最小值为 故选：B 5．解：∵平分，， 平分， ∴，， ∴，， 在中，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．解：如图，在的延长线上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， ，，， ， 故选：A ． 7．解：∵等边， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 如图：过M作，垂足为Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8．解：过点作于点，如图所示： ，平分， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故②符合题意； ， 故④符合题意； ， 故①符合题意， ， ， 故③不符合题意， 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 9．解：在中，， ∵点O在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解：∵的角平分线交于点，，， ∴，， ∵与的周长分别为13和3， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 12．解：作于H， 是的平分线，，， ， 的面积． 故答案为：2． 13．解：过作，交的延长线于， ，，平分， ，， ，， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：1.5． 14．解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 16．解：过点作于， ① 平分，平分，，，， ，， ， 又 ，， 平分，故①正确； ② ，， ，， 又 ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， 又 ， ，②正确； ③在中， ， 在中， ， 平分，平分， ，， ， ， ，③正确； ④由②可知，， ， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 17．解：如图，点即为所求． 18．解：过点分别作，，垂足分别为点，，    平分，，， ． 同理：，． ． ， ， ， ， ． 19．（1）解：，理由如下： ∵轴，轴，轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标分别为和， ∴， ∴． （2）解：如图，设与轴的交点为点，过点作于点， ∵点的坐标分别为和， ∴， ∵平分，轴， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积等于6， ∴，即， ∵， ∴． 20．（1）证明：∵垂直平分边， ∴， ∵平分的外角，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分边， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 21．（1）证明： 平分，，， ． 在和中， ， ． （2）解：在和中，， ， ， 由（1）得， ． （3）解：设 平分， ， ， ， 解得 ． 22．（1）证明：如图1， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴， 在中，， ∴； （2）证明：连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵点为中点，且， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23．（1）解：由尺规作图可直接得到的相等线段有：和， 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 故答案为：（或边角边）． （3）证明：∵ ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴ 在 ∴ ∴，即平分 24．解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$