精品解析：福建省福州九校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

福建省福州九校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考 数学试卷 命题学校：平潭一中 命题教师：任荣 游文杰 林轩 审核教师：吴建华 吴琪韵 考试时间：4月18日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，为边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与共线，与共线，且为非零向量，则与共线 C. 单位向量都平行 D. 若，则、中至少有一个是零向量 4. 已知等边三角形边长为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则该正四棱台的体积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 6. 若非零向量与满足且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形 7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，有这样一个有趣的问题：古人用无盖的正方体容器来测量球体的相关数据.已知该正方体容器的高度为4寸（注：寸是古代长度单位）.将一个球体放置在正方体容器口上，然后向容器内注水，当水面刚好接触到球面时，测得此时容器内水的深度为3寸.若不考虑容器壁的厚度，那么这个球的体积为（ ） A. 立方寸 B. 立方寸 C. 立方寸 D. 立方寸 8. 窗花是贴在窗户上煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在方向上的投影向量为 C D. 若函数，则函数的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于多面体的几种说法，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱台上、下底面边长之比等于侧棱延长线交点到上、下底面的距离之比 D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 10. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若，则向量与向量所成的角为锐角 11. 设复数满足，则的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____. 13. 在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为__________. 14. 已知为的内心，且，记分别为的外接圆、内切圆半径，若，则__________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求； （3）在复平面内复数对应平面向量分别为，且，求. 16. 在中，边的长分别为. （1）利用向量知识证明：； （2）已知，求. 17. 如图在中，为直角，，点是CB的中点，为边AB一点，且满足. （1）当时，求证：； （2）取何值时，与夹角余弦值等于. 18. 在中，角的对边分别为，若，为边上一点. （1）求角的大小； （2）若且，求的周长； （3）若平分角，证明：. 19. 某工业园区有一条长550米，宽15米的货运通道（如图1所示的矩形ABCD），通道一侧规划了55个长10米，宽5米的货车停车位（矩形AEFG），随着园区企业的发展，货车流量不断增加，停车位供不应求，在货物运输高峰时段，通道拥堵严重.园区管理部门的王工程师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不影响货运通道正常通行宽度的条件下，通过压缩通道旁边的绿化带以及调整停车位方向来增加停车位数量，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. （1）若，求值； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照王工程师改造方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州九校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考 数学试卷 命题学校：平潭一中 命题教师：任荣 游文杰 林轩 审核教师：吴建华 吴琪韵 考试时间：4月18日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，为边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 2. 若复数z满足，则复数z的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算化简，再结合复数模公式求解即可. 【详解】由可得，故. 故选：A. 3. 已知向量、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与共线，与共线，且为非零向量，则与共线 C. 单位向量都平行 D. 若，则、中至少有一个是零向量 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C、D，根据向量共线定理判断B. 【详解】对于A：若，无法得到，如，， 显然满足，但是，故A错误； 对于B：因为与共线且为非零向量， 若为零向量，又与共线，所以与共线； 若不为零向量，则存在非零实数，使得，又与共线， 所以，所以，所以与共线； 综上可得与共线，故B正确； 对于C：如，均为单位向量，但是与不共线，故C错误； 对于D：如，，则，但是、均不是零向量，故D错误. 故选：B 4. 已知等边三角形边长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的数量积的定义域运算，即可求解. 【详解】由向量的数量积的运算，可得. 故选：A. 5. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则该正四棱台的体积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3， 所以该正四棱台的体积. 故选：C 6. 若非零向量与满足且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义化简推得，借助于三角形的内角，得；利用二倍角公式化简计算求得即可判断三角形的形状. 【详解】由，可得，即， 因是的内角，故； 由，可得， 因，则，故，则 综上，可知为等边三角形. 故选：B. 7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，有这样一个有趣的问题：古人用无盖的正方体容器来测量球体的相关数据.已知该正方体容器的高度为4寸（注：寸是古代长度单位）.将一个球体放置在正方体容器口上，然后向容器内注水，当水面刚好接触到球面时，测得此时容器内水的深度为3寸.若不考虑容器壁的厚度，那么这个球的体积为（ ） A. 立方寸 B. 立方寸 C. 立方寸 D. 立方寸 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为寸，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积． 【详解】设球的半径为寸， 根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为寸，球心到截面圆的距离为寸， 所以由，解得， 所以球体积为（立方寸）． 故选：D． 8. 窗花是贴在窗户上的煎纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建系，写出相关点的坐标，设，利用余弦定理求得，对于A，取中点为，推得，，继而得到，结合图形，判断当点与点或点重合时，取最大值，利用两点间距离公式计算即得；对于B，根据投影向量的定义计算即可判断；对于C，代入点的坐标计算即可判断；对于D，将相关向量的坐标代入所求函数，整理后，根据二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】 如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设，在中，由余弦定理，，解得. 则 . 对于A，取中点为，则， 则， 两式相减，可得，从而， 由正八边形的对称性，可知当点与点或点重合时，取最大值. 此时不妨取， 则， 故的最大值为，故A正确； 对于B，因 ， 则在方向上的投影向量为：，故B错误； 对于C，，而， 故，即C错误； 对于D，因，， 则 ， 则当时，， 故函数的最小值为，故D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于多面体的几种说法，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱台的上、下底面边长之比等于侧棱延长线交点到上、下底面的距离之比 D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱柱和棱锥、正棱锥的定义可逐一判断A，B，D选项错误，对于C项，可以具体棱台为例，通过其与棱锥的联系以及相似形的知识推理得到. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面之间的交线都互相平行的几何体才是棱柱， 如图1虽具备有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故A正确； 图1 图 2 图3 对于B，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥是正棱锥， 如图2，棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的射影在边上， 此时该棱锥不是正四棱锥，故B错误； 对于C，以三棱台为例，如图3所示，设三棱台的三条侧棱延长后交于点， 过点作平面于点，交平面于点， 因平面平面，则平面， 连接，因平面平面，平面平面， 则，故，又由，可得， 则，其他对应边均可同理得到结论，故C正确； 对于D，因有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的多面体才是棱锥， 如图4，底面为四边形，其余各面都是三角形，但这并不是棱锥,故D错误. 故选：AC. 图4 10. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若，则向量与向量所成的角为锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义求得判断A；对于B，C，D，根据向量数量积的运算律，向量垂直的表达式以及向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由取平方，可得，即得， 因，则， 又，则，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，由，可知向量与向量垂直，故C正确； 对于D，由， 当时，，但是，当时，与共线且方向相同， 此时向量与向量所成的角不为锐角，故D错误. 故选：BC. 11. 设复数满足，则的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】设由得到，即可得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，表示圆上的点到的距离，求出圆心到的距离，即可得解. 【详解】设，由，则， 即，所以，则， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 又， 所以 ， 表示圆上的点到的距离， 又圆心到的距离， 所以的最大值为，最小值为. 故选：BD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再根据向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】依题意，所以. 故答案为： 13. 在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积. 【详解】在正方体中，， 所以 ， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 14. 已知为的内心，且，记分别为的外接圆、内切圆半径，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，即可得到､､三点共线，求出，作于，再求出的三角函数值，从而求出，再由二倍角公式求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】如图，取的中点， 依题意，有. 所以､､三点共线，. 由，知. 作于，则， 所以，，. 所以. 又. 所以，则. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求； （3）在复平面内复数对应平面向量分别为，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件先求出的值，再根据复数的四则运算法则计算即得； （2）利用复数的四则运算化简，再由纯虚数概念得到方程组，解之即得； （3）利用复数的几何意义和向量共线的坐标公式，计算即得. 【小问1详解】 由是实数， 可得，即，则； 【小问2详解】 由表示纯虚数， 则，解得，此时 ； 【小问3详解】 依题意，， 由，可得，故. 16. 在中，边的长分别为. （1）利用向量知识证明：； （2）已知，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，将两边平方由数量积的运算律及定义即可得证； （2）利用余弦定理计算可得. 【小问1详解】 在中，∵， ∴ . ∵、、的长分别为、、， ∴，，， ∴. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理，即， 即，解得， 所以. 17. 如图在中，为直角，，点是CB的中点，为边AB一点，且满足. （1）当时，求证：； （2）取何值时，与夹角余弦值等于. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，将用表示，当时通过计算得即可证明结论； （2）由题意通过数量积的定义，得，通过结合计算数量积及模可求得的值. 【小问1详解】 设，，由题意知. 点D是的中点，故，则； ． 当时，， . 所以，即 【小问2详解】 由（1）知，， ， 设与的夹角为，则， 由题意 即, 解得. 所以当时，与夹角余弦值等于. 18. 在中，角的对边分别为，若，为边上一点. （1）求角的大小； （2）若且，求的周长； （3）若平分角，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换化简得，再根据三角函数的特殊值求得角； （2）在两个三角形中根据余弦定理结合补角的余弦值之和为0，得到等式，求出的表达式，再次利用余弦定理构建方程，求出的长，由此可得的周长； （3）利用三角形面积公式，结合题意中的面积相等构建等式，整理变形后可证得结论. 【小问1详解】 根据正弦定理，由可得， ， 则， 整理得， ，则，得，即， ，则，即. 【小问2详解】 如图，由（1）可知，，设，则， 设，则， 中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 所以， 整理可得，即. 则在中，根据余弦定理，， 整理得，即，解得或（舍去）， 所以，， 所以，的周长为. 【小问3详解】 由（1）可知，，因为平分，所以， 因为， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得. 故得证. 19. 某工业园区有一条长550米，宽15米的货运通道（如图1所示的矩形ABCD），通道一侧规划了55个长10米，宽5米的货车停车位（矩形AEFG），随着园区企业的发展，货车流量不断增加，停车位供不应求，在货物运输高峰时段，通道拥堵严重.园区管理部门的王工程师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不影响货运通道正常通行宽度的条件下，通过压缩通道旁边的绿化带以及调整停车位方向来增加停车位数量，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. （1）若，求的值； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照王工程师的改造方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可； （2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可； （3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解. 【小问1详解】 注意到，又， 则，则. 则， 所以； 所以； 【小问2详解】 由图，， 又， ； 所以，； 【小问3详解】 由（2）可得. 则，则， 化简得：，解得或 因为，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$