8.6.3平面与平面垂直教案（第二课时）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 (第二课时) 教案 一、教材分析 “平面与平面垂直(第二课时)”主要聚焦于平面与平面垂直的性质定理,是在学生掌握平面与平面垂直的定义、判定定理基础上的深入探究。平面与平面垂直的性质定理揭示了两个垂直平面之间的内在联系, 为解决空间几何中的垂直问题提供了新的理论依据, 在立体几何知识体系中占据重要地位。通过本节课的学习, 有助于学生进一步完善对空间垂直关系的认知,提升逻辑推理、空间想象等数学核心素养,同时也为后续学习更复杂的空间几何问题奠定基础。 二、学情分析 学生在之前已学习平面与平面垂直的相关知识, 具备一定的空间观念和逻辑推理能力。然而,性质定理的理解和应用对学生要求较高,他们可能在理解定理的证明思路、在复杂图形中准确找到满足定理的条件以及运用定理进行严谨证明等方面存在困难。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过观察、分析、推理等方法,逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标 (基于数学核心素养) 1. 逻辑推理素养:理解并掌握平面与平面垂直的性质定理, 能运用定理进行严密的逻辑推理,证明相关垂直问题,培养逻辑思维能力。 2. 直观想象素养:借助图形和模型,直观感受平面与平面垂直的性质,提升空间想象能力, 能在脑海中构建出相关的空间图形及位置关系。 3. 数学运算素养:在应用性质定理解决问题时,涉及到角度、线段长度等的分析与计算,通过练习提高学生的运算能力和对几何图形的分析能力。 4. 数学建模素养:学会将实际生活中的空间几何问题抽象为数学模型,运用性质定理进行求解, 增强数学应用意识, 提升数学建模能力。 5. 课程思政与法制教育目标:在教学过程中,通过介绍我国古代建筑中对空间几何知识的巧妙运用, 增强学生的民族自豪感和文化自信; 同时, 结合生活中因忽视建筑结构稳定性 (涉及平面与平面垂直等知识) 导致的安全事故案例, 引导学生树立安全意识和法律意识, 认识到在建筑等领域遵守相关规范和法律的重要性。 四、教学重难点 1. 重点: 平面与平面垂直的性质定理的理解与应用, 掌握运用性质定理证明垂直问题的方法。 2. 难点: 性质定理的证明思路, 以及在具体问题中如何在一个平面内准确找到垂直于两个平面交线的直线。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程 (40 分钟) (一) 回顾旧知 (5 分钟) 1. 引导学生回顾二面角的概念, 包括二面角的定义 (从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)、表示方法(如二面角 等)、平面角的定义(以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角)以及取值范围( ),通过提问和展示图形的方式强化学生记忆。 2. 提问平面与平面垂直的判定定理, 让学生用文字语言、图形语言和符号语言进行表述:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直(文字语言)； (符号语言),并结合图形进行说明。 (二) 课程思政引入 (3 分钟) 展示我国古代一些著名建筑的图片,如故宫、赵州桥等,介绍这些建筑在结构设计上巧妙运用了空间几何知识, 其中就包含平面与平面垂直等关系, 体现了我国古代劳动人民的智慧和创造力。这些建筑历经岁月洗礼依然坚固屹立,是我国建筑文化的瑰宝, 也是世界建筑史上的杰出代表。通过这些实例, 激发学生的民族自豪感和对数学知识的探索欲望,鼓励学生传承和弘扬中华优秀传统文化,培养学生的文化自信。 (三)探究性质定理 (10 分钟) 1. 提出问题: ,设 ,则 内任意一条直线 与 有什么位置关系？相应地, 与 有什么位置关系？为什么？ 引导学生进行思考和讨论。 2. 给出平面与平面垂直的性质定理: 两个平面垂直, 如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。用文字语言、图形语言和符号语言表示定理: 文字语言:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直。 图形语言:(展示相应图形,让学生直观理解) 符号语言: 3. 证明性质定理: 已知平面 ,垂足为 。求证: 。 证明过程: 在平面 内过点 作直线 ,则 为二面角 的平面角。因为 ,所以二面角 为直二面角,即 。又 ,且 ,所以 。在证明过程中,引导学生理解每一步的依据, 培养学生的逻辑推理能力。 (四)学以致用 (15 分钟) 1. 例 9 讲解 ( 5 分钟 ) : 例 9: 已知平面 平面 ,直线 ,判断 与 的位置关系。引导学生分析解题思路: 设 ,在 内作直线 ,满足 。 因为 ,根据性质定理可得 。 又因为 ,所以 。 又 ,所以 。 详细书写证明过程,强调证明过程的逻辑性和规范性,让学生理解如何运用性质定理判断直线与平面的位置关系。 2. 例 10 讲解 ( 5 分钟 ) : 例 10 : 已知 平面 ,平面 平面 , 求证: 平面 。 引导学生思考证明方法: 过点 作 ,垂足为 。 因为平面 平面 ,平面 平面 ,根据性质定理可得 平面 。 又因为 平面 ,所以 。 因为 平面 平面 ,所以 。 又 ,所以 平面 。 在讲解过程中,强调证明垂直问题时如何寻找关键条件,以及性质定理的灵活应用。 3. 法制教育渗透 ( 5 分钟 ) : 展示一些因建筑施工中忽视平面与平面垂直等结构稳定性要求, 导致建筑安全事故的案例。讲解这些事故不仅造成了严重的人员伤亡和财产损失,还涉及到违反建筑法规和安全规范等法律问题。例如,在建筑施工中,如果不按照设计要求保证墙体与地面、楼层之间的垂直关系, 可能会导致建筑物在使用过程中出现倾斜、倒塌等危险情况, 这不仅违背了工程建设的基本规范, 还触犯了相关法律法规,施工方需要承担相应的法律责任。通过这些案例,引导学生树立安全意识和法律意识, 让学生明白在实际生活中, 无论是建筑施工还是其他涉及空间几何结构的领域,都必须严格遵守相关规范和法律,确保安全。 (五)课堂小结(4 分钟) 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括平面与平面垂直的性质定理的内容、证明方法以及应用定理解决的问题类型,总结证明垂直问题的常用思路和方法。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系,明确本节课的核心内容和学习要点。同时,再次强调我国古代建筑文化的魅力以及在实际生活中遵守法律法规的重要性,巩固课程思政和法制教育成果。 (六) 布置作业 (3 分钟) 1. 必做题: 完成人教 版必修第二册 161 页练习 1、2、3、4; 163 页习题 8.69、 10、18。通过作业巩固平面与平面垂直性质定理的应用, 提高学生运用定理解决问题的能力。 2. 选做题:寻找生活中一个运用平面与平面垂直性质的实际例子,并分析其中涉及的几何原理；思考平面与平面垂直的性质定理在其他学科领域(如物理学中的受力分析)的应用。 3. 拓展任务:查阅资料,了解更多我国古代建筑中蕴含的数学智慧,写一篇简短的心得体会, 进一步增强学生的文化自信; 同时, 关注身边的建筑安全问题, 若发现存在安全隐患的建筑,可向相关部门反映,培养学生的社会责任感和法律意识。 七、教学反思 在教学过程中,要注重引导学生通过观察、思考和讨论来理解性质定理,多利用图形和实例帮助学生建立直观形象。在讲解定理证明和例题时,要注重逻辑推理的引导,培养学生的逻辑思维能力。练习环节要关注学生的解题情况,及时发现学生在应用定理时出现的问题,如条件使用不完整、证明过程不严谨等,并给予针对性的指导。 同时,要充分挖掘课程中的思政和法制教育元素,将其自然地融入教学内容,不仅要让学生掌握知识, 还要培养学生的综合素质。根据学生的学习情况, 灵活调整教学策略,如增加一些拓展性的练习或补充更多的实际案例,帮助学生更好地掌握本节课的知识, 提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$