精品解析：山东省济宁市曲阜市2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024∼2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A. ﹣40 B. 40 C. ﹣80 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数． 【详解】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为， 故x2的系数为：﹣80． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题. 2. 函数的极值点为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，得到，令，得到或，再利用极值点的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 令得到或，易知时，，当时，， 所以不是极值点，的极小值点为， 故选：B. 3. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480 C. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48 D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列组合及分组分配计算求解判断A，B，C，应用分类分步计算判断D. 【详解】对于A：若每人都安排一项工作，则不同的方法数为，A选项错误； 对于B：若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为，B选项错误； 对于C:若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同安排方法数为，C选项错误； 对于D：若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作， 当1人从事司机工作时，则安排方案有； 当2人从事司机工作时，则安排方案有； 则不同安排方案的种数为. 故选：D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，再利用的单调性，即可求解. 【详解】令，则，易知时，， 即在区间上单调递减， 又，，且，所以， 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的极大值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，最大值和极大值，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 又，由极值的定义可知，是的极大值点，极大值为， 所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B. 6. 多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ） A. 1 B. 729 C. 64 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和. 【详解】根据二项式的展开式， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为多项式的项系数比项系数多35， 所以，解得， 所以其各项系数之和，即当时，系数和为0， 故选：D. 7. 设，若为函数的极小值点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，令，则或，然后分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可 【详解】由， 得， 令，则或， 当，即时， 若时，则在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，不合题意， 若时，则在，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得， 当时，， 若时，在，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，不合题意， 若时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得， 综上，一定成立，所以C正确，ABD错误， 故选：C 8. 将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得甲组的中位数为或，分别求出甲组的中位数为、时的分组方法，即可得解. 【详解】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数， 即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数， 依题意可得甲组的中位数为或， 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组， 再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组， 再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个， 从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去， 同理可得，甲组的中位数不能大于； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个， 从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去， 同理可得，甲组的中位数不能小于； 综上可得不同的分组方法数是种. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到甲组的中位数为或再分类分别计算可得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数在，处取极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】某区间导函数大于0，则原函数在该区间单调递增；某区间导函数小于0，则原函数在该区间单调递减， 导函数在极值点左右要变号，由此结合导函数图象即可得出答案. 【详解】由导函数和原函数的关系可知，在和上单调递增，在上单调递减， 导函数在极值点左右要变号，所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，分析选项可知AB正确，CD错误， 故选：AB. 10. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用导数工具分和两种情况研究函数的单调性，再逐一根据各选项条件和·单调性定义列得方程或不等式即可求解判断 . 【详解】由题可得， 所以当时恒成立，此时函数在定义域上单调递增； 当时，满足， 则令，得（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 对于A，由上可得当时符合条件，当时，则， 所以若在上单调递增，则实数的取值范围是，故A正确； 对于B，由上可得， 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，故B错误； 对于C，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上不单调，则， 所以实数的取值范围是，故C错误； 对于D，若的单调递减区间为，则，故D正确. 故选：AD 11. 将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（ ） A. 若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个 B. 若，，则这样的数列共有个 C. 若，，，则这样的数列共有个 D. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：对的位置分类讨论，即可求解；对于B，根据对称性可得，即可判断B，对于C，分、、三种情况讨论，即可求解；对于D，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可求解. 【详解】对于选项A，从中选出1个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出2个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出3个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出4个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有； 从中选出5个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，所以选项A错误， 对于选项B，由于为奇数，所以没有三个数之和相等的两组数，根据对称性可知这样的数列有个，故选项B正确； 对于选项C，若，从中任选个作为，有种， 因为，，，则一定是剩下四个数中最大的数， 再从个数中选作为，剩下的一个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个； 若，从中任选个作为，有种， 因为，，，则一定是剩下个数中最大的数，且， 再从个数中选个作为，剩下的1个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个； 若，从中任选个作为，有种， 此时中剩下的两个数只能是，且，， 由分步计数原理可知满足条件的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故选项C正确； 对于选项D，若所有奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故选项D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 的展开式中的系数是________（结果用数字表示）． 【答案】210 【解析】 【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果. 【详解】∵的通项为， ∴的通项为， ∴的展开式中的系数为， 同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为：. （也可以根据性质：，因为，故） 故答案为：210 13. 如图，已知平面五边形的周长为14，若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系构造函数关系式利用导数求函数最值. 【详解】过点作，垂足为．设，则， ∵，∴，则， 由，即，解得． 在中，． 记的面积为，则． 设函数，， 则， 令，得或． 所以当时，；当时，． 即在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值， 则取得最大值，此时． 故答案为：. 14. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是________（请填序号）． ① ② ③ ④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据给定的不等式，利用赋值法，结合不等式性质、对数运算及二项式定理逐一分析各个命题即可. 【详解】对于①，由不等式，得，因此，①正确； 对于②，在不等式中，取，得，即， 则，因此，②正确； 对于④，由，得，④正确； 对于③，在不等式中，取，得， 即，因此，③错误. 所以所给不等式中一定成立的是①②④. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知，设 （1）求的值； （2）求的展开式中的系数． 【答案】（1）8 （2）40 【解析】 【分析】（1）已知，利用排列数和组合数公式化简，最后求解关于的方程得出的值． （2）先根据（1）求出的，将式子变形为．接着分别写出与展开式的通项．要得到项，需满足即，找出满足条件的、组合，算出对应系数并相加，得到的系数． 【小问1详解】 由已知，得，，解得：. 【小问2详解】 因为，所以， 展开式的通项为：，， 展开式的通项为：， 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为， 所以展开式中的系数为． 16. 有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） （1）可以有空盒子的方法共有多少种？ （2）1号盒子不放球的方法共有多少种？ （3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ （4）若每个盒子放一个小球，小球编号与盒子编号均不相同，有多少种不同的放法？ 【答案】（1）256 （2）81 （3）144 （4）9 【解析】 【分析】（1）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，分步乘法即可求解； （2）1号盒子不放球，每个球有3种放法分步乘法即可求解； （3）分析题意并用用捆绑法即可求解. （4）小球编号与盒子编号均不相同，用组合数求解即可. 【小问1详解】 可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共种； 【小问2详解】 1号盒子不放球的方法共有种； 【小问3详解】 恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球， 而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒， 再将四球中选出两球绑在一起，再排列共种； 【小问4详解】 小球编号与盒子编号均不相同，首先可以从2，3，4号球中任选其一放入1号盒子中，有种选择， 然后1号球可以放入2，3，4号盒子中的其中一个盒子中，有种选择， 最后剩下的两个球不能放入同编号的盒子中，有且只有1种选择， 故满足题意的有种不同的放法. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，函数在上的最小值为，求的值； （3）当时，求的对称中心． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据求函数的单调递增区间； （2）利用函数单调性求出最值，即可求出的值； （3）设函数的对称中心为，则有，代入函数解析式计算的值，即可得到对称中心. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增， 当时，由得或，则函数在，上单调递增， 当时，由得或，即函数在，上单调递增， 所以当时，函数的递增区间是，； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，． 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递增， ，解得， 所以的值为. 【小问3详解】 当时，，设函数的对称中心为，则， 即， 整理可得， 所以，解得. 所以函数对称中心为. 18. 已知函数，． （1）求的极值并画出函数的图象草图； （2）若在上单调，求实数的取值范围； （3）若函数存在极值，求极值点的个数．（写出所有可能） 【答案】（1）极小值为，极大值为，作图见解析 （2） （3）极值点的个数可能为1，3． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间、极值，画出的大致图象； （2）根据题意可得恒成立或恒成立，利用分离参数法得或，求出其函数的最值从而求得 的取值范围. （3）函数存在极值可转化为方程有根的问题，通过分类讨论思想将所有情况分别讨论即可得出结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 令，可得，所以或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为0， 当时，函数取极大值，极大值为， 因为，所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，取极小值，极小值为0； 当时，函数取极大值，极大值为． 函数大致图象如下： 【小问2详解】 由（1）， 因为在上单调，所以恒成立或恒成立， 所以或，又， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由（1）， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数没有极值点，不满足要求； 当时，方程有三个根， 设的根为，，，，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，此时有3个极值点， 当时，方程有两个根，其中较大根为2， 设的另一根为，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减，此时有1个极值点， 当时，方程有一个根， 设的根为，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 此时函数有1个极值点， 所以若函数存在极值，则极值点的个数可能为1，3． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，求出的最小值，使可求解的范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 令，，则， 所以在上单调递减， 又，所以要使，即，则． 又因为， 所以在上有一个零点， 又， 令，，则， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以， 所以在上也有一个零点． 综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是． 【点睛】知识点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024∼2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A. ﹣40 B. 40 C. ﹣80 D. 80 2. 函数的极值点为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480 C. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48 D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 单调递减区间为 B. 的极大值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 6. 多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ） A. 1 B. 729 C. 64 D. 0 7. 设，若为函数的极小值点，则（　　） A. B. C D. 8. 将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数在，处取极小值 10. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则． 11. 将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确是（ ） A. 若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个 B. 若，，则这样的数列共有个 C. 若，，，则这样的数列共有个 D. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 的展开式中的系数是________（结果用数字表示）． 13. 如图，已知平面五边形的周长为14，若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时，________． 14. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是________（请填序号）． ① ② ③ ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知，设 （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 16. 有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） （1）可以有空盒子的方法共有多少种？ （2）1号盒子不放球的方法共有多少种？ （3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ （4）若每个盒子放一个小球，小球编号与盒子编号均不相同，有多少种不同的放法？ 17. 已知函数． （1）求函数单调递增区间； （2）当时，函数在上的最小值为，求的值； （3）当时，求的对称中心． 18. 已知函数，． （1）求的极值并画出函数的图象草图； （2）若在上单调，求实数的取值范围； （3）若函数存在极值，求极值点的个数．（写出所有可能） 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$