1.2.1 平方差公式 课件 - 2024—2025学年湘教版数学七年级下册

第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 王剑同学去商店买了单价是9.8 元/千克的糖块10.2 千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96 元，结果与售货员算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 王剑同学用的是一个什么样的公式？ 现在能算出来吗？ 导入新课 2 任务一：平方差公式的推导 1.说一说：多项式x＋y与x－y相乘，其积为多少？ 根据多项式与多项式相乘的法则容易得到： (x＋y)(x－y)＝x2－xy＋yx－y2＝x2－y2. 探究新知 3 (x＋y)(x－y)＝x2－xy＋yx－y2＝x2－y2. 能说出这样的运算有什么规律吗？ (1)式子的左边都是两个数的和乘这两个数的差； (2)式子的右边是这两个数的平方差. 平方差公式：(x＋y)(x－y)＝x2－y2. 能用文字来叙述这个公式吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 口诀：两数和乘两数差，等于两数平方差. 探究新知 4 2.设a，b都是正数，且a>b.将平方差公式中的x用a代入，y用b代入，可得(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 思考： (1)如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为多少？ 剩余图形的面积为a2－b2. 探究新知 5 (2)将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图2所示的长方形，则这个长方形的长、宽为多少？ 面积为多少？ 长为a＋b，宽为a－b，于是，面积为(a＋b)(a－b). 探究新知 6 (3)通过两个图形的面积，你能得到怎样的等式？ 由此可得(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 探究新知 7 总结： (a＋b)(a－b)＝a2－b2. 公式的结构特征是左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反项；右边是因式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差.公式中的字母可以用任何数代入，也可以用任意多项式代入.只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式. 探究新知 8 任务二：新知应用，典型例题 例1 计算：(1) (2x＋1)(2x－1)； (2) (x＋2y)(x－2y). (1)将平方差公式中的x用2x代替，y用1代替，可得 (2)将平方差公式中的y用2y代替，可得 探究新知 9 例2 运用平方差公式计算： 将平方差公式中的x 用－2x代替，y用 代替，可得 探究新知 10 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b)＝(4a)2－b2＝16a2－b2. 探究新知 11 例4 计算：1002×998. 由于1002×998＝(1000＋2)×(1000－2)， 于是由平方差公式得 (1000＋2)×(1000－2)＝10002－22＝1000000－4＝999996. 因此，1002×998＝999996. 探究新知 12 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是 ( ) A.(3a＋2b)(3b－2a) B.(2－3x)(3x－2) C.(m＋3n)(3n－m) D.(4x－y)(－4x＋y) 2.下列各式中，计算结果为81－x2的是 ( ) A.(x＋9)(x－9) B.(x＋9)(－x－9) C.(－x－9)(－x－9) D.(－x－9)(x－9) 课堂评价 C D 13 3.计算：20252－2024×2026＝__. 20252－2024×2026 ＝20252－(2025－1)(2025＋1) ＝20252－(20252－1) ＝20252－20252＋1 ＝1. 课堂评价 1 14 课堂评价 15 课堂评价 (3)(－2x＋y)(2x＋y)； (4)(y－x)(－x－y). (3)原式＝y2－(2x)2＝y2－4x2. (4)原式＝(－x)2－y2＝x2－y2. 16 5.李伯伯把一块边长为a m(a>6)的正方形养殖基地租给张伯伯，第二年，他对张伯伯说：“我把这块地的一边增加6 m，相邻的一边减少6 m，变形成长方形养殖基地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得张伯伯吃亏了吗？ 通过计算说明你的结论. 课堂评价 17 边长为a m(a>6)的正方形养殖基地的一边增加6 m，相邻的一边减少6 m，变形成长方形养殖基地. 改造后长方形养殖基地的长为(a＋6) m，宽为(a－6) m，因此面积为(a＋6)(a－6)＝a2－62＝(a2－36) m2. 而改造前养殖基地的面积是a2 m2，所以面积比原来减少了36 m2，所以张伯伯吃亏了. 课堂评价 18 1.平方差公式是什么？ 2.你还有哪些收获和体会？ 与同学一起分享. 3.你是否有疑惑的地方？ 说一说. 平方差公式的特点是：两个二项式相乘，这两个二项式进行对比，一项相同，另一项互为相反项，满足这样的两个多项式的积，就可以运用平方差公式. 课堂总结 19 利用平方差公式时，需注意公式的几种变化形式： (1)符号变化：(－x－y)(x－y)＝－(x＋y)(x－y)＝－(x2－y2). (2)位置变化：(x＋y)(－y＋x)＝(x＋y)(x－y)＝x2－y2. (3)系数变化：(2x＋3y)(2x－3y)＝4x2－9y2. (4)指数变化：(x2＋y2)(x2－y2)＝x4－y4. 课堂总结 20 $$