精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二下学期开学摸底考试数学试题

2024－2025学年第二学期高二年级开学摸底考试数学试题 试题满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，若则等于 A. 12 B. 18 C. 24 D. 42 3. 已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知椭圆的焦距为2，长轴长为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 6. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 7. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 8. 直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. （多选）设函数f（x）＝x－ln x（x＞0），则y＝f（x）在区间（　　） A. （，1）内无零点 B. （，1）内有零点 C. （1，e）内无零点 D. （1，e）内有零点 11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 的最小值为5 C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为 D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 三、填空题（共3小题） 12. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 13. 在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________． 14. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 四、解答题（共5小题） 15. 已知的三个顶点是，，.求： （1）边上的中线所在直线方程； （2）边上的高所在直线方程. 16. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期高二年级开学摸底考试数学试题 试题满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值. 【详解】向量，且， 所以，解得， 故选：B. 2. 等差数列的前项和为，若则等于 A. 12 B. 18 C. 24 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案. 【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3. 已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据极值与导数的关系判断． 【详解】由知，时，，时，，时，，是极值点．虽然有，但在7的两侧，，7不是极值点． 故选：B． 4. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 5. 已知椭圆的焦距为2，长轴长为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距和长轴长列式求解，然后求出b，即可求出椭圆方程. 【详解】由已知条件，，即，，那么， 所以椭圆的方程是. 故选：A 6. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合. 【详解】，则，， 所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值． 故选：C 7. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 8. 直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可. 【详解】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在， 且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以. 故选：B. 二、多选题（共3小题） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. （多选）设函数f（x）＝x－ln x（x＞0），则y＝f（x）在区间（　　） A. （，1）内无零点 B. （，1）内有零点 C. （1，e）内无零点 D. （1，e）内有零点 【答案】AD 【解析】 【详解】解析：∵ f（x）＝x－ln x（x＞0），∴ f′（x）＝－＝.由f′（x）＝0得x＝3；由f′（x）＞0得x＞3，由f′（x）＜0得0＜x＜3，∴ f（x）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，即f（x）在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递减．又f（1）＝，f（）＝＋1＞0，f（e）＝－1＜0，∴ f（x）在（，1）内无零点，在（1，e）内有零点．故选AD. 11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 的最小值为5 C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为 D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接由抛物线标准方程即可判断；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，设出切线方程（斜率为参数），联立抛物线方程由判别式为0即可验算；对于D，联立方程和抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可判断. 【详解】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，如图所示： 过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确； 对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为， 联立抛物线方程得， 所以，解得， 所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误； 对于D，由题意，所以， 所以直线，即，联立抛物线方程得， 所以，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 设出方程，代入点A即可求出. 【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为， 将代入可得，即， 故方程为，化为标准方程为. 故答案为：. 13. 在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离. 【详解】 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：， ，， 因为，所以， 又平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量，又， ∴点到平面的距离． 故答案为：. 14. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 【答案】； 【解析】 【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式． 四、解答题（共5小题） 15. 已知的三个顶点是，，.求： （1）边上的中线所在直线方程； （2）边上的高所在直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解. （2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题知的中点，所以直线的斜率， 则边上的中线所在直线的方程为，化简得. 【小问2详解】 由题意得直线AC的斜率，且，所以. 则边上的高所在直线的方程为，化简得. 16. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则， 所以； 【小问2详解】 根据题意，， 所以数列的前n项和为：. 18. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取AC的中点，则，且， 因为平面平面ABC，且平面平面平面ABC， 所以平面 因为平面， 所以， 因为， 又因为平面平面， 又平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直证明两直线垂直； （2）利用空间向量法求解二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 可得， 因为， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 记二面角的平面角为， 因为， 显然，所以， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值； （2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $