复数：复数的定义与计算、几何意义、代数意义、周期性、三角表示——2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 复数：复数的定义与计算、几何意义、代数意义、周期性、三角表示 高频考点分析 1.数系的扩充及符号表示 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 记法 或 2.复数的相关概念 知识点 知识点解析 复数的定义与表示 ①形如的数称为复数，其中，分别为复数的实部和虚部. ②当时，为实数；当的时候，为虚数；当且的时候，为纯虚数. 相等复数 已知复数，，若，则且. 共轭复数 已知复数，则其共轭复数为，记为. 复数的模 已知复数，复数的模. 复平面的点 复数对应复平面上的点. 3. 复数的四则运算 知识点 知识点解析 复数的加法 复数的减法 复数的乘法 复数的除法 7.复数的周期性 周期，若，则；；；. 8.复数的几何意义 已知复数、分别对应与两点. 已知条件 几何意义 与两点之间的距离. 以为圆心，半径为的圆. 以与为端点的线段的垂直平分线. 以与为焦点，为长轴长的椭圆. 以与为焦点，为长轴长的双曲线. 9.复数与二次方程 已知二次方程， (1)当时，方程有两个实数根，. (2)当时，方程有两个虚数根，，且两根互为共轭复数. (3)韦达定理：，. 10.复数的三角表示 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数之的辐角. 叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差的整数倍，我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为）. 对于，，；. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国II卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 5．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 6.（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 实战演练一：复数的四则运算 1．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（2025·陕西西安·二模）已知是纯虚数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·二模）已知（）为纯虚数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（     ） A．-4 B．2 C．3 D．-4或2 8．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 9．（2025·广东·模拟预测·多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 10．（2025·浙江金华·二模·多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测·多选）已知复数（，为虚数单位），则下列选项正确的是（   ） A．若，，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若且，则在复平面内对应的点位于第四象限 12．（2025·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则 ． 13．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 14．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 15．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 实战演练二：复数的周期性、几何意义与代数意义 1．（2025·甘肃白银·二模）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·四川达州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 5．（2025·安徽·二模）若，则（    ） A． B． C． D．2 6．（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D． 9．（2025·河南郑州·二模·多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（2025·新疆·模拟预测·多选）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（   ） A． B． C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆 11．（2025·辽宁·模拟预测·多选）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（    ） A．若，则的最大值为6 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为椭圆 D．若，则点轨迹的长度为 12．（2024·宁夏吴忠·一模·多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·吉林长春·一模·多选）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 15．（24-25高一下·河南·期中）已知是关于x的方程的一个根，则 ． 16．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 实战演练三：复数的三角表示与新定义问题 1．（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． (1)若，求的值； (2)已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 6．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程； （2）设，且，证明：； （3）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有.证明：对任意正偶数，均有. 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）设复数对应复平面内的点Z，设，则任何一个复数都可以表示成的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，称为复数z的辐角，若，则称为复数z的辐角主值，记为． (1)若，证明：，并写出的三角形式（无需证明）； (2)求方程虚根的实部： (3)证明：时， 参考数据：． 8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 复数：复数的定义与计算、几何意义、代数意义、周期性、三角表示 高频考点分析 1.数系的扩充及符号表示 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 记法 或 2.复数的相关概念 知识点 知识点解析 复数的定义与表示 ①形如的数称为复数，其中，分别为复数的实部和虚部. ②当时，为实数；当的时候，为虚数；当且的时候，为纯虚数. 相等复数 已知复数，，若，则且. 共轭复数 已知复数，则其共轭复数为，记为. 复数的模 已知复数，复数的模. 复平面的点 复数对应复平面上的点. 3. 复数的四则运算 知识点 知识点解析 复数的加法 复数的减法 复数的乘法 复数的除法 7.复数的周期性 周期，若，则；；；. 8.复数的几何意义 已知复数、分别对应与两点. 已知条件 几何意义 与两点之间的距离. 以为圆心，半径为的圆. 以与为端点的线段的垂直平分线. 以与为焦点，为长轴长的椭圆. 以与为焦点，为长轴长的双曲线. 9.复数与二次方程 已知二次方程， (1)当时，方程有两个实数根，. (2)当时，方程有两个虚数根，，且两根互为共轭复数. (3)韦达定理：，. 10.复数的三角表示 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数之的辐角. 叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差的整数倍，我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为）. 对于，，；. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．（2024·全国II卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】若，则. 故选：C. 4．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由，则. 故选：A 5．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意得，，故. 故选：D 6.（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 实战演练一：复数的四则运算 1．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为， 所以. 故选：C. 2．（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 3．（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由题设，则. 故选：A 4．（2025·陕西西安·二模）已知是纯虚数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为是纯虚数， 所以且不等于3，所以， 则. 故选：C. 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，∴， 故选：D． 6．（2025·湖南娄底·二模）已知（）为纯虚数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】依题意，，由为纯虚数，得，所以. 故选：C 7．（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（     ） A．-4 B．2 C．3 D．-4或2 【答案】D 【详解】，或. 故选：D. 8．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 9．（2025·广东·模拟预测·多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 10．（2025·浙江金华·二模·多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 11．（2025·贵州遵义·模拟预测·多选）已知复数（，为虚数单位），则下列选项正确的是（   ） A．若，，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若且，则在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【详解】当时，为纯虚数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，所以，则，故C正确； 复数在复平面内对应的点，若且， 所以在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误. 故选：ABC. 12．（2025·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设，则共轭复数， 由，则，解得， 所以. 故答案为：. 13．（2025·上海金山·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 14．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【详解】由为纯虚数， 所以，则. 故答案为： 15．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 实战演练二：复数的周期性、几何意义与代数意义 1．（2025·甘肃白银·二模）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为复数z满足， 则， 所以． 故选：B. 2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 3．（2025·四川达州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：，， 所以 故选：A. 4．（2025·河南·二模）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 5．（2025·安徽·二模）若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 6．（2025·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】将代入可得， 化简可得， 故且，解得，， 故选：C 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，若满足，即， 所以，即， 则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外， 又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为， 故选： C． 8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D． 【答案】AB 【详解】，其虚部是A正确； B正确； C不正确； D不正确， 故选：AB. 9．（2025·河南郑州·二模·多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 10．（2025·新疆·模拟预测·多选）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（   ） A． B． C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆 【答案】ABD 【详解】依题意，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，表示点与点的距离为1，其轨迹是以点为圆心1为半径的圆， 则点Z的轨迹的长度为，C错误； 对于D，表示点与定点的距离和为4（大于两定点间距离） 则点Z的轨迹为椭圆，D正确. 故选：ABD 11．（2025·辽宁·模拟预测·多选）设复数在复平面内对应的点为，则下列选项正确的有（    ） A．若，则的最大值为6 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为椭圆 D．若，则点轨迹的长度为 【答案】ACD 【详解】在复平面内，设点，复数所对应点， 对于A，两点的距离表示两点的距离，又， 则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示两点的距离， 则的最大值为，A正确； 对于B，表示两点的距离，表示两点的距离， 由，则点的轨迹为线段，B错误； 对于C，，则点的轨迹是以为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确； 对于D，，即或，由表示以为圆心，1为半径的圆， 同理表示以为圆心，2为半径的圆，点轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD 12．（2024·宁夏吴忠·一模·多选）已知为方程的根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 13．（2025·吉林长春·一模·多选）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误； 对B，根据韦达定理知，故B正确； 对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确； 对D，因为，则，故D正确. 故选：BCD. 14．（2025·吉林·三模）已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，由得， ∴，整理得， ∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线. 设，则， 由得，，即， ∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为， ∴的最小值为. 故答案为：. 15．（24-25高一下·河南·期中）已知是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，即 整理得，，解得，.故， 故答案为：． 16．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 实战演练三：复数的三角表示与新定义问题 1．（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 3．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 4．（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． (1)若，求的值； (2)已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由，得， 所以 ； （2）（i）由题意 ， 则 ， 又因为， 所以， ， 或， ， 故， 所以； （ii）由， 得， 又因为 ，① 当且仅当时取等号， 同理，② ，③ ，④ 由①②③④得 ， 即， 又 ， 所以， 所以. 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】(1)表示焦点为，长轴为的椭圆 . (2)（i）；（ii) . 【详解】（1）设，则， 表示点到距离之和为. 所以点的轨迹为，长轴为的椭圆. （2）（i）由（1），，则：. 因为是上任意一点，所以设, 由题 ， 设点在实平面内的坐标为，, 则. 所以, 又沿向量平移得到曲线， 在平面直角坐标系下的方程为：. （ii）由题，设， 由已知直线的斜率存在，且显然不为零， 可设直线方程为：,由， 消去并化简可得：. 判别式，， 设过三点的圆方程为：. 又,所以，     所以， 因为在椭圆上，所以 所以， 所以 因为,所以，所以,化简得. 由圆的一般方程可知三角形的外接圆的圆心为， 则，又，所以. 6．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程； （2）设，且，证明：； （3）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有.证明：对任意正偶数，均有. 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【详解】（1）由得，即， 由解得， 由，利用二次方程求根公式得，即， 所以的根为，，. （2）方法一：证明：由，， 可设，，. 所以 ； ， 故. 方法二： 选学内容方法 由，且， 可设，. 则，， 则 （3）由于，且对任意正整数，均有，故 整理得， 解得. 因此，故 进而由得， ① 因为为偶数， 又 利用①得 所以对任意正偶数，均有. 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）设复数对应复平面内的点Z，设，则任何一个复数都可以表示成的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，称为复数z的辐角，若，则称为复数z的辐角主值，记为． (1)若，证明：，并写出的三角形式（无需证明）； (2)求方程虚根的实部： (3)证明：时， 参考数据：． 【答案】(1)证明过程见解析；； (2)和. (3)证明过程见解析. 【详解】（1）若，则：， ， ，得证. 的三角形式 （2）设， 则， 所以： 故：或， 所以或或或或 故方程虚根有四个，其实部分别为， 又 所以其实部分别为和； （3）由于 利用二项展开式，比较虚部得： 令 由于 则为方程的个根， 于是为方程的个根， 又 于是为方程的个根， 而上述多项式最高项系数为 末项系数（常数项）为， 于是，由韦达定理得：，又，所以， 即：，得证. 8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【详解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$