3.4 乘法公式（第一课时 讲练）（7大题型53题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

平方差公式 公式，即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 平方差公式的特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是两项的平方差（符号相同项的平方减去符号相反项的平方）； （3）公式中的，可以是单项式，也可以是多项式. 平方差公式的推导 （多项式与多项式相乘）=（合并同类项） 平方差公式的常用变形 (1) 位置变化：== (2) 符号变化：== (3) 系数变化： (4) 指数变化： (5) 增因式变化：=（）[] (6) 增项变化：= (7) 连用公式变化：()= 拓展：借助几何图形推导平方差公式 如图所示，图（1）中阴影部分的面积是，图（2）中阴影部分的面积是,于是. 公式助记口诀： 平方差公式有两项，符号相反要记牢，两数和乘两数差，等于两数平方差. 【基础练习】 【练习1-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（　　） A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式判断即可． 【详解】解：（3x+4y）（3x﹣4y）＝（3x）2﹣（4y）2， 故选：D． 【练习1-2】如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【答案】A 【解析】 【分析】先变形为x2-y2=（x+y）（x-y），代入数值即可求解． 【详解】解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=24， ∴6（x-y）=24， ∴x-y=4， ∴y-x=-4， 故选：A． 【练习1-3】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可． 【详解】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【练习1-4】化简（x+3）（x﹣3）的结果是 _____． 【答案】x2-9． 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：原式=x2-9， 故答案为：x2-9． 【练习1-5】在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形后，剩下的面积是__________． 【答案】130cm2 【解析】 【分析】剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积． 【详解】解：设剩下部分的面积为S，则 S=13.252-6.752=（13.25+6.75）×（13.25-6.75）=20×6.5=130cm2， 故答案为：130cm2． 【练习1-6】计算： 【答案】4 【解析】 【分析】用平方差公式即可完成． 【详解】 【典例】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式分别进行判断即可． 【详解】解：A、（x+1）（﹣x﹣1），不可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意； B、（2+a2）（2﹣a2），可以用平方差公式计算，故选项B符合题意； C、（﹣x+y）（x﹣y），不可以用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D、（x2+y）（x﹣y2），不可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】注意平方差公式的特征：两个二项式相乘，其中一项相等，另一项互为相反数即可运用平方差公式． 【详解】解：， ∴不能运用平方差公式． 故选：D. 【变式1-2】给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：由平方差公式的结构特征可得， ①（x﹣y）（x+y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ②（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ③（y﹣x）（﹣y﹣x）＝﹣（y+x）（y﹣x）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ④（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑤（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑥（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； 故答案为：①②③⑥． 点拨：运用公式时，一定要分清哪是符号相同的项，哪是符号互为相反数的项。 【典例】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结果. 【详解】解： = = = ， 故答案为：B. 【变式2-1】计算： ． 【答案】/ 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】计算：（1）（a+2）（a﹣2）； （2）（3a+2b）（3a﹣2b）； （3）（﹣x﹣1）（1﹣x）； （4）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3） 【答案】（1）a2﹣4（2）9a2﹣4b2（3）x2﹣1（4）16k2﹣9 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）原式＝a2﹣22＝a2﹣4； （2）原式＝（3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2； （3）原式＝（﹣x）2﹣12＝x2﹣1； （4）原式＝（﹣4k）2﹣32＝16k2﹣9． 点拨：利用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式. 【典例】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（　　） A．5 B．2 C．10 D．无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】a2﹣b2＝10，即（a+b）（a﹣b）＝10，把a﹣b＝2代入即可求得答案． 【详解】解：∵a2﹣b2＝10， ∴（a+b）（a﹣b）＝10， ∵a﹣b＝2， ∴a+b＝5． 故选：A． 【变式3-1】已知，，_____． 【答案】； 【解析】 【分析】根据平方差公式化简，代入求值即可； 【详解】， ∵，， ∴原式； 故答案是． 【变式3-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式，多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解：原式＝ ； 当时，原式． 【典例】用简便方法计算时，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简便运算． 【详解】解：． 故选：B． 【变式4-1】计算：799×801﹣8002＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】先将799×801转化为（800﹣1）×（800+1），再利用平方差公式，即可解答． 【详解】解：799×801﹣8002 ＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002 ＝8002﹣1﹣8002 ＝﹣1， 故答案为：-1 【变式4-2】应用公式计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）9991；（2）0.9996；（3） 【解析】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【典例】从边长为的正方形内去掉-一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【详解】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：， 拼成的矩形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：， 故选：B． 【变式5-1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形把余下的部分剪拼成一个矩形如图，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中阴影部分的面积和图的面积，可以列出等式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 图中阴影部分的面积是：， 图中矩形的面积是：， ， 故选：． 【变式5-2】如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形，请写出上述所揭示的公式_____． 【答案】a2−b2＝（a＋b）（a−b） 【解析】 【分析】根据面积的计算方法，用含有a、b的代数式表示两个图形的面积即可． 【详解】解：图①阴影部分的面积是两个正方形的面积差：a2−b2；  将下面的长方形剪下，拼接到图形右边，变成一个长方形，如右图，所以图①和图②的面积是相等的． 图②长方形的面积是长×宽：（a＋b）（a−b）， 所以：a2−b2＝（a＋b）（a−b）． 故答案为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）． 【典例】若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 【答案】D 【解析】 【分析】设这个正方形的边长为xcm，根据题意由面积相增加了32cm2列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个正方形的边长为xcm， 由题意得（x+2）2﹣x2＝32， 解得x＝7． 故选：D． 【变式6-1】一个长方体文具盒，长、宽、高如图所示（单位：cm），该文具盒的体积是________． 【答案】（a2-16） 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式以及平方差公式，直接求解，即可． 【详解】解：根据题意得：文具盒的体积=（a+4）（a-4）×1=（a2-16）（）， 故答案是：（a2-16） 【变式6-2】如图，有一个边长为2a（a＞10）米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． （1）求改造后的长方形池塘的面积； （2）改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】（1）（4a2﹣9）m2（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据变化后图形的长与宽，进行计算即可； （2）利用作差法，将变化前后图形的面积作差，根据差的符号得出结论． 【详解】解：（1）改造后的面积为（2a﹣3）（2a+3）＝（4a2﹣9）m2， （2）原来的面积为2a×2a＝4a2（m2）， 由于4a2﹣（4a2﹣9）＝9， 所以与原来相比变小了． 【典例】一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，比如：，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（ ） A． B． C． D．以上都不对． 【答案】C 【解析】 【分析】设相邻的两个自然数为为n，n+1，根据智数的定义，得到，构造不等式2n+1≤2021，求n的整数解，即可． 【详解】设相邻的两个自然数为为n，n+1，根据智数的定义，得　， ∴2n+1≤2021，求n的整数解，即可． ∴2n≤2020， ∴n≤1010， 从0开始的，因此有1011个， 故选C． 【变式6-1】观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可； （2）① 令，代入上面规律计算即可； （2）② 将式子变形为：，计算即可； （3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可； （3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果． 【详解】解：（1） （2）① = = ② = = （3）① = = = ② = = ∵…结果是以2、4、8、6循环 ∴ ∴的个位数字为8， ∴的个位数字为7 【变式6-2】观察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，… （1）请用含n的式子表示an；（n为大于0的自然数） （2）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论． 【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（2）an是8的倍数 两个连续奇数的平方差是8的倍数 【解析】 【分析】（1）观察不难发现，an为两个连续奇数的平方的差，写出即可； （2）利用平方差公式整理即可得解． 【详解】解：（1）∵a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，…， ∴an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2； （2）∵an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2， ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]， ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）， ＝8n， ∵n为大于0的自然数， ∴an是8的倍数， 这个结论用语言表示为：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 1．下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：A、（2a+b）（2b-a）=3ab-2a2+2b2不符合平方差公式的形式，故不符合； B、原式=不符合平方差公式的形式，故不符合； C、原式=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2不符合平方差公式的形式，故不符合； D、原式=-（n+m）（n-m）=-（n2-m2）=-n2+m2符合平方差公式的形式，故符合． 故选：D． 2．下面计算正确的是（ ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式的特点，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】 故选C． 3．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（　　） A．﹣ B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式进行拆分，计算出a-b的值。 【详解】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a+b= ， ∴a﹣b= ÷ = ， 故答案为：B 4．用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简便运算，把原式化为103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32，从而可得答案． 【详解】解：103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32． 故选：B． 5．如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可． 【详解】解：由图可知， 图1的面积为：（x+1）（x-1）， 图2的面积为： x2-12， 所以（x+1）（x-1）= x2-1． 故选：B． 6．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 【答案】B 【解析】 【分析】求出变化前后面积差即可． 【详解】解：变化前正方形的面积为x2平方米， 变化后的长为（x+3）米，宽为（x﹣3）米，因此面积为（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米， 所以变化后面积减少9平方米， 故选：B． 7．观察下列等式： ①32﹣12＝2×4 ②52﹣32＝2×8 ③72﹣52＝2×12 …… 那么第n（n为正整数）个等式为（　　） A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2） B．（n+1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2） D．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知算式得出规律，再根据求出的规律得出选项即可． 【详解】解：∵①32﹣12＝2×4， ∴（2×1+1）2﹣（2×1﹣1）2＝2×（4×1）， ∵②52﹣32＝2×8， ∴（2×2+1）2﹣（2×2﹣1）2＝2×（4×2）， ∵③72﹣52＝2×12， ∴（2×3+1）2﹣（2×3﹣1）2＝2×（4×3）， …… ∴第n（n为正整数）个等式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n， 故选：D． 8．观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目规律解答即可． 【详解】根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：C． 9．已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，又由，或，，可得． 【详解】解：由题意可得， 是三个相邻的正偶数， ，或， 或 ， 故选：A． 10．________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 11．若x+y＝9，x﹣y＝3，则x2﹣y2的值为 　　． 【答案】27 【解析】 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算即可． 【详解】解：原式＝（x+y）（x﹣y） ＝9×3 ＝27． 故答案为：27． 12．计算：______________． 【答案】250000 【解析】 【分析】利用平方差公式进行计算，即可求解． 【详解】原式= = =250000． 13．的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平方差公式求出的值，由此即可得． 【详解】设， 则， ， ， ， ， ， 所以， 故答案为：． 14．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：__________________． 【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【解析】 【分析】先分别表示出甲、乙两图阴影部分的面积，然后再根据两阴影面积相等即可得到解答． 【详解】解：∵甲图中阴影部分的面积为两个正方形的面积差， ∴． ∵乙图中的阴影部分面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形， ∴S乙阴影＝（a+b）（a﹣b）． ∵S甲阴影＝S乙阴影， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故填a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 15．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 　 　． 【答案】4a2﹣9b2 【解析】 【分析】先根据长方形的面积公式列式，再根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2直接求解即可得到答案． 【详解】解：由长方形的面积公式可列式：（2a+3b）（2a﹣3b）， 根据平方差公式得：（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2． 故答案为：4a2﹣9b2． 16．我们规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，＝4x＋6．按照这种运算规定，当x＝_____时，＝0． 【答案】8 【解析】 【分析】根据新的运算规定，列方程（x＋2）（x﹣2）﹣（x＋4）（x﹣3）＝0计算即可． 【详解】解：由题意得（x＋2）（x﹣2）﹣（x＋4）（x﹣3）＝0， x2﹣4﹣（x2＋x﹣12）＝0， 解得x＝8． 故答案为：8． 17．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）＋的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】原式前半部分乘以等量变形后，依次利用平方差公式计算后，相加即可． 【详解】解：原式= = = …… = = =2． 故答案为：2． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】 【分析】根据整式的乘法运算法则和平方差公式，对每个式子逐个计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 19．先化简，再求值，其中 【答案】x2-6x+4，11 【解析】 【分析】根据整式乘法公式计算即可． 【详解】原式= = 当时， 原式= 20．利用简便方法进行计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将转化为，再根据乘法分配律进行计算即可； （2）将变形为，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） （2） 21．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【解析】 【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3）解： ． 22．甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x． (1)10月份的销售额是多少万元? (2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元? 【答案】（1）万元；（2）减少了万元． 【解析】 【分析】（1）根据“10月份的销售额9月份的销售额（1增加的百分数）”即可得； （2）先根据“11月份的销售额10月份的销售额（1减少的百分数）”求出11月份的销售额，再利用9月份的销售额减去11月份的销售额即可得． 【详解】（1）由题意得：10月份的销售额为万元； （2）11月份的销售额为万元， 则， ， ， （万元）， 答：11月份的销售额比9月份的销售额减少了万元． 23．观察下列各式，回答问题． ，，…按上述规律填空：（1）_______×_______． （2）计算：． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据所提供算式所呈现的规律，可得出答案； （2）根据（1）的规律，将原式转化为，根据这一形式进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，规律可表示为：，则； （2） ． 24．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：，，；则8，16，24这三个数都是奇特数． （1）32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？ 【答案】（1）32是奇特数，且，2020不是奇特数；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据“奇特数”的定义可得32是奇特数，再归纳类推可得奇特数是8的倍数，由此即可得判断2020； （2）根据“奇特数”的定义，利用平方差公式进行化简运算即可得； （3）设这两个连续偶数分别为和，其中n为正整数，再利用平方差公式进行化简，判断运算结果是否是8的倍数即可得． 【详解】（1）， 是奇特数， 观察可知，奇特数都是8的倍数， 归纳类推得：奇特数是8的倍数， ，即2020不是8的倍数， 不是奇特数； （2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下： 因为， 所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）两个连续偶数的平方差（取正数）不是奇特数，理由如下： 设这两个连续偶数分别为和，其中n为正整数， 则， 因为不是8的倍数， 所以两个连续偶数的平方差（取正数）不是奇特数． 1．（2020·浙江杭州·中考真题）（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【详解】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2． 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平方差公式 公式，即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 平方差公式的特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是两项的平方差（符号相同项的平方减去符号相反项的平方）； （3）公式中的，可以是单项式，也可以是多项式. 平方差公式的推导 （多项式与多项式相乘）=（合并同类项） 平方差公式的常用变形 (1) 位置变化：== (2) 符号变化：== (3) 系数变化： (4) 指数变化： (5) 增因式变化：=（）[] (6) 增项变化：= (7) 连用公式变化：()= 拓展：借助几何图形推导平方差公式 如图所示，图（1）中阴影部分的面积是，图（2）中阴影部分的面积是,于是. 公式助记口诀： 平方差公式有两项，符号相反要记牢，两数和乘两数差，等于两数平方差. 【基础练习】 【练习1-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（　　） A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y 【练习1-2】如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【练习1-3】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【练习1-4】化简（x+3）（x﹣3）的结果是 _____． 【练习1-5】在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形后，剩下的面积是__________． 【练习1-6】计算： 【典例】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【变式1-1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 点拨：运用公式时，一定要分清哪是符号相同的项，哪是符号互为相反数的项。 【典例】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】计算： ． 【变式2-2】计算：（1）（a+2）（a﹣2）； （2）（3a+2b）（3a﹣2b）； （3）（﹣x﹣1）（1﹣x）； （4）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3） 点拨：利用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式. 【典例】若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（　　） A．5 B．2 C．10 D．无法计算 【变式3-1】已知，，_____． 【变式3-2】先化简，再求值：，其中． 【典例】用简便方法计算时，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算：799×801﹣8002＝_____． 【变式4-2】应用公式计算： （1）； （2）； （3）． 【典例】从边长为的正方形内去掉-一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形把余下的部分剪拼成一个矩形如图，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形，请写出上述所揭示的公式_____． 【典例】若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 【变式6-1】一个长方体文具盒，长、宽、高如图所示（单位：cm），该文具盒的体积是________． 【变式6-2】如图，有一个边长为2a（a＞10）米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． （1）求改造后的长方形池塘的面积； （2）改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【典例】一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，比如：，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（ ） A． B． C． D．以上都不对． 【变式6-1】观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 【变式6-2】观察下面的式子；a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52，… （1）请用含n的式子表示an；（n为大于0的自然数） （2）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论． 1．下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．下面计算正确的是（ ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 3．若a2﹣b2= ，a+b= ，则a﹣b的值为（　　） A．﹣ B． C．1 D．2 4．用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 5．如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A． B． C． D． 6．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 7．观察下列等式： ①32﹣12＝2×4 ②52﹣32＝2×8 ③72﹣52＝2×12 …… 那么第n（n为正整数）个等式为（　　） A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2） B．（n+1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2） D．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n 8．观察：， ， ， ， 据此规律，求的个位数字是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 10．________． 11．若x+y＝9，x﹣y＝3，则x2﹣y2的值为 　　． 12．计算：______________． 13．的值为_______． 14．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的恒等式是：__________________． 15．一个长方形的长为（2a+3b），宽为（2a﹣3b），则长方形的面积为 　 　． 16．我们规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，＝4x＋6．按照这种运算规定，当x＝_____时，＝0． 17．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）＋的值是_______． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 19．先化简，再求值，其中 20．利用简便方法进行计算 （1） （2） 21．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 22．甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x． (1)10月份的销售额是多少万元? (2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元? 23．观察下列各式，回答问题． ，，…按上述规律填空：（1）_______×_______． （2）计算：． 24．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：，，；则8，16，24这三个数都是奇特数． （1）32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？ 1．（2020·浙江杭州·中考真题）（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 2．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $$