精品解析：江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

扬州市第一中学2024-2025学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 命题人：焦青云 审核人：张鹏 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.4 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 2. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为 A. B. C. D. 4 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，若，，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步骤. 15. 已知向量 （1）求； （2）求； （3）求. 16. 已知. （1）求的值； （2）求值. 17 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若的面积为是上的点，且，求的长. 19. 如图，在四边形中，已知面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市第一中学2024-2025学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 命题人：焦青云 审核人：张鹏 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.4 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 2. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 3. 函数的零点所在的区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间． 【详解】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数 f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0 ∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3） 故选C． 【点睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题． 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：A. 5. 已知，若B、C、D点共线，则实数a值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案． 【详解】根据题意，已知，，则， 若、、点共线，则，则有，解得：， 故选：D． 6. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 7. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，若，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出，继而利用向量的线性运算求出，平方结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由，得， 故； 又，故 , 故 ， 故，即， 故选：C 8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形，逐项进行判断. 【详解】由正弦定理，有，得， 由且，得或. 故选：BD 10. 下列各式中，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A、C，利用两角差的正弦公式判断B，利用二倍角公式化简求值判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 所以，故C正确； 对于D： ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出向量的模判断A；求出的坐标判断B；利用基底的定义判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确； 对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】因为向量， 若，则， 所以， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角公式与正、余弦齐次式化切，即可代入求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一. 【详解】法一：由正弦定理角化边得， 由， 所以. 由， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，则，， 因为为锐角三角形，，解得， 设，则，. 法二：由正弦定理角化边得. 由余弦定理，则. 由正弦定理，则. 则， 由为锐角三角形，得，. 所以，即，后续同法一. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步骤. 15. 已知向量 （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得； （2）利用向量夹角余弦公式可求出答案； （3）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长. 【小问1详解】 因为向量， 所以. 【小问2详解】 因为向量， 所以. 【小问3详解】 因为向量， 所以， 所以 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的范围可得，再利用二倍角的正切公式即可； （2）利用和的范围可得，再利用即可求得. 【小问1详解】 因，则，， 则； 【小问2详解】 因，则， 因，则，则， 则 . 17. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由两角和的正切公式得到的值； （2）由向量数量积的坐标运算得，因为，利用诱导公式求得的值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 ，所以， . 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若的面积为是上的点，且，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）由（1）求得，，，代入三角形的面积公式，计算即可； （3）利用三角形的面积公式结合（1）和（2）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为，则，即，所以， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，，所以， 由（1）知，所以， 所以的面积. 【小问3详解】 由（2）知， 因为，可得， 由（1）知，，故，，， 因为是上的点，且，则，， 由（1）知， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； (2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值； (3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得，，又， 所以，，， 由(1)可知，所以， 所以的周长， ， ， ， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为； 【小问3详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理，，即， 因为， 两式作商得，， 即，因为，所以， 所以，所以， 所以，， 假设，所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$