【专项练】一元二次方程行程问题-北京版八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 一元二次方程行程问题 中等题 1.飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为5=2，如 果飞机起飞前滑行距离750m,其中a=15m/s2,则飞机起飞的时间t= 2.在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后 又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了 秒 3.在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动.在此运动过程中， 每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积.若 一个小球以5米秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动. (①)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 2小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，√5≈1.41，√5≈1.73） 4.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王 老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时 平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5) 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步） 10000 ① 平均步长 0.6 ② (米/步) 距离（米） 6000 7020 注：步数×平均步长=距离。 (1)根据题意完成表格填空； (2)求x的值： (3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使 得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长。 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 5.九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色.中梁山云岭森林公园是 主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10ka的登山步道，学校两个登山小队 组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度 的12倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点. (1)两个小队的登山速度各是多少千米小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶.在他从山路登山 开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平 均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热 量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 6.周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离 12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的12倍，那么小明比小红早5分钟到达 B地。 (1)求小明、小红的跑步速度： (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在 他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分 钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的 热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟. 7.随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老 年人尤为喜爱， (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的12倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800 米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与(1)中相比，张大伯的速 度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了 6900米，求a的值 8.某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于O处，，甲沿着青年路以4s的速 多学科同·短子学 Www.2××k.c0m 让学习更商效 度由西向东走，乙沿着江阴路以3ms的速度由南向北走.当乙走到0点以北50m处时，甲恰 好到点0处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置 困难题 9.铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆 到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千 米小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时. (1)渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ (2)专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少%，以便于有充分时 间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加二m小时，求m的值 10 10.小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟.若返回时，发现走一小路可使A、 B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟， (1)求返回时A、B两地间的路程： (2若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息），据测 试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑 步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平 均每分钟消耗的热量就增加1卡路里.测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热 量.问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟.多学科同·短子学 wWww.2x×k.c0m 让学习更高效 一元二次方程行程问题 中等题 1.10 【分析】本题考查了一-元二次方程的应用，将题中所给数据代入5=㎡进行求解即可. 【详解】解：将s=750m,a=15m/s2代入3=二a2得： 2 750=x15x, t2=100 解得：t=10s,t=-10s(舍去)， 故答案为：10. 2. 6-26,-26+6 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均 速度，基本等量关系：平均速度×时间=路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转 化和题目的问题相符， 【详解】解：时速为108千米=30米秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则30+0 x=30, 2 解得：x=2. 平均每秒减速=(30-0)÷2=15（米秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程： 30+(30-15t 2-t=10, 2 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 解方程得x=6-2V6 _6+26 3,5= 3 >2（不合题意，舍去）， 即x=6-2V6 3 故答案为：x=6-2W6 3 3.(1)y小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2小球滚动5m约用了1.2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键 (1)根据以5/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动列式计算即可； (2)设小球滚动5约用了x秒，由时间×速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可. 【详解】(1)解：小球的滚动速度平均每秒减少5÷4=125(m/s), 答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s. (2)解：设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5-1.25x, 由题意得：x5+5-1259=5, 2 整理得：x2-8x+8=0, 解得：x=4-25或x=4+22, 当x=4+2反时，5-125x=5-125×(4+25)-5<0,不符题意，舍去， .x=4-22≈12， 答：小球滚动5m约用了1.2秒. 4.(1)①10000(1+3x),②0.6(1-x)；(2)x的值为0.1；(3)王老师这500m的平均 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 步长为0.5米步 【分析】(1)①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的 3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x,即可 表示出第二次锻炼的平均步长（米步）； (2)根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案： (3)根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长 【详解】（1)①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000(1+3x); ②第二次锻炼的平均步长（米步）为：0.6(1-x); 故答案为：10000(1+3x);0.6(1-x); (2)根据题意得10000(1+3x)×0.6(1-x)=7020, 解得5=>05（舍去），5=0.1 301 则x的值为0.1 (3)根据题意可得：10000+10000(1+0.1×3)=23000， 500+(24000-23000)=0.5(m). 答：王老师这500米的平均步长为0.5米. 【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长 是解题关键， 5.(1)第一队的登山速度为3千米小时，第二队的登山速度为2.5千米小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， (1)设第二队的登山速度为x千米小时，则第一队的登山速度为1.2x千米小时，根据第一 队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； (2)小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的 热量列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可· 【详解】(1)解；设第二队的登山速度为x千米小时，则第一队的登山速度为12x千米小 时， 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 由题意得， 10 1040 x1.2x60 解得x=2.5, 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意， .12x=3, ∴.第一队的登山速度为3千米小时，第二队的登山速度为2.5千米小时： (2)解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，30x10+10+"0)m-30)=1050。 解得m=60或m=-20(舍去)， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟. 6.(1)480m/min;400m/min (2)70min 【分析】（1)分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列 出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解. (2)先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热 量列方程，最后求解， 【详解】(1)解：设小红的速度为m/mim,则小明的速度为12m/min, 1200012000 依据题意列方程得， =5, X 1.2x ∴.12000×1.2-12000=5×1.2x, .x=400, 经检验，x=400是原式方程的解. ∴.1.2×400=480m/min. ∴.小红的速度为400m/min,小明的速度为480m/min. 多学科同·假子学 WwW.2××k.C0m 让学习更离效 故答案为：480m/min;400m/min. (2)解：，'小明的速度为480m/min, ∴.小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min. ,小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， .30-25=5min. 设B地到C地的距离为m,依据题意列方程得， 30x10+x-480x5) 2300 480 480 0-5+=20. 480-25=2000, =2025, 480 ∴.x=21600或x=-21600(舍去). ∴.A地到C地所需要时间为： 21600+12000 =70min. 480 故答案为：70min. 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键在于是否能根据题意 列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到 C地时间. 7.(1)张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米 (2)a的值为5 【分析】(1)设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，则张大伯每分钟走1.2x米，根据两人共 多学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 走了800米列方程，解得x的值代入1.2x中计算即可： (2)结合(1)中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走(50+2a)米，由已知条件可得张大 伯走了(10a+5)分钟，李大伯走了(10a+10)分钟，根据两人又共走了6900米列方程，解方 程并根据实际意义确定a值即可. 【详解】(1)解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，得 5×1.2x+10x=800 解得x=50 ∴.1.2x=60(米) 所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米； (2)解：依题意，得60(10a+5)+(50+2a)(10a+10)=6900 整理得2+56a-305=0 解得%=61（舍），4=5 答：a的值为5. 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系 是解决问题的关键。 8.当两人相距85米时，甲在0点以东36米处，乙在0点以北77米处 【分析】分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值。 【详解】设经过x秒时两人相距85m, 根据题意得(4x)24(50+3x)-852, 去括号得25x2+300=4725, 即25xr2+300x-4725-0, 化简得x2+12x-189=0, .(x-9)(x+21)=0, 解得x1=9,2=21(不符合实际情况，舍去)， 当x=9时，4=36,50+3=77， ∴.当两人相距85m时，甲在0点以东36m处，乙在0点以北77m处， 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 故当两人相距85米时，甲在0点以东36米处，乙在0点以北77米处 【点睛】考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点.要注意的是方向角问题中， 南北和西东是垂直的， 难 题 9.(1)1600:（2)20 【分析】(1)利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路 设计运行时速提高了20千米小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间 少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可： (2)根据题意得出：(80+120)(1-m%)(8+六m)=1600进而求出即可. 【详解】(1)设原时速为km/h,通车后里程为km,则有：〔8+16x320+y 8(120+x)=y 解得：y180 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米； (2）由题意可得出：(80+120)(1-m%)(8+0m)=1600, 解得：m1=20,m2=0(不合题意舍去)， 答：m的值为20. 10.(11800米 (2152分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用. (1)可设返回时AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求 解 (2)可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路 里热量，列出方程即可求解 【详解】（1)解：设返回时A,B两地间的路程为x米，由题意得： x+200」 25=25-28 解得x=1800, 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 (2)解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： 25×6+5×10+[10+y-30)×1]y-30)=904, 整理得y2-50y-104=0, 解得y1=52,y2=-2（舍去). 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟.