精品解析：上海市上海市师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

上师大附中高一期中数学试卷 2025.04 一．填空题 1. 点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【解析】 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 2. 设非零向量，若，则实数满足__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式易得. 【详解】由可得. 故答案为：. 3. 若函数的最小正周期是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】用二倍角公式化简得，再根据最小正周期的计算方法求解即可. 【详解】函数化简为，所以函数的最小正周期为，所以. 故答案为： 4. 已知向量，则在上投影向量为___________.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求解作答. 【详解】因为，则有， 所以在上的投影向量为 故答案为： 5. 函数的单调增区间是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 6. 若非零向量满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 7. 边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为： 8. 若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 【答案】③ 【解析】 【分析】举反例可以否定①②，利用向量数量积的定义可以证明③成立. 【详解】对于①：如，，，满足，显然，故①错误； 对于②：当时，恒成立，不能得出，故②错误； 对于③：若，即， 即， 又，，是非零向量，所以，即， 所以或，所以，故③正确； 故答案为：③ 9. 设，若，则的最大值等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值. 【详解】由，得，则，同理， 于是，而， 因此，解得， 又，则， 要最大，则同号，且最小，最大， 所以当时，取得最大值6. 故答案为：6 10. 题目“已知圆上有两点，且____________，求的值．”的横线处缺少条件．下列说法正确的是__________．（填写序号） ①在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ②在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ③横线处补上条件“”后，题目可以求解． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及数量积的定义求出的表达式，再分析给定各个条件判断即得. 【详解】对于①，由，得是正三角形，， 而给定，两者矛盾，不可解，①错误； 对于②，由，得是正三角形，， 得，可解，②正确. 对于③，由，，③正确； 故答案为：②③ 11. 若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解. 【详解】因为 ， 又直线是函数图象的对称轴，所以， 则； 当，则， 又在上无最值，所以，解得，则， 所以或，则或（负值舍去）； 故答案为：或 12. 设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，令，，分、、、、五种情况讨论在上的零点个数，即可确定在的零点情况，从而确定的值，即可求出的取值范围. 【详解】令，因为，，所以， 则， 令，， 因为，函数的对称轴为，且，所以当时恒成立； 当，即时，函数无零点，此时也无零点，故舍去； 当，即时，即有且仅有一个零点， 又在上存在两个解， 要使函数内恰有个零点，所以，此时； 当，即， 又函数的对称轴为， 若，即时在上存在两个零点，不妨设为，， 又在上存在两个解，在上存在两个解， 所以在上存在个解， 此时在内不可能恰有个零点，故舍去； 若，即时，令，解得或， 因为在上存在一个解，在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 若，则，又，所以在上存在一个零点，不妨设为， 又在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 综上可得. 故答案为： 二．选择题 13. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（ ）的图象 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 14. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简即可说明充分性，再利用特殊值判断必要性. 【详解】因为， 所以“”推得出“”故充分性成立； 由，当，即，则，， 此时，，则，此时无意义，故必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要. 故选：A 15. 在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，设，得到，从而得到，再由两角和的余弦公式及余弦函数的性质求出的取值范围. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，则，其中且， 可得， 又，所以， 则，则， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A 16. 函数的图象（随着的增大）（ ） A. 先上升后下降 B. 先下降后上升 C. 先上升后下降再上升 D. 先下降后上升再下降 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数得出几何意义，通过求解两个向量的夹角变化即可得出结论. 【详解】由题意， 在中， 函数可改写为：， 其中为向量与的夹角。 下面对变化进行分析： 1.向量方向变化： 向量的分量随增大线性增长，在区间内从1下降到-1，整体方向趋近于轴正方向。 向量的方向角为 2.夹角的变化： 当从增加时，向量的方向角逐渐减小。 初始时，夹角逐渐减小，增大。 当时，达到最大值1； 此后，夹角增大，减小。 ∴函数的图象先上升后下降， 故选：A. 三．解答题 17. （1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 18. 在中，，点满足：． （1）若，求与的值； （2）若，求角的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（１）需要根据已知条件将和用与表示出来，然后通过向量相等求出与的值；（２）在第一问的基础上，利用向量数量积公式进行化简，进而求出角的值． 【小问1详解】 由可得，那么．  因为，且，所以．  又因为．  则．  已知，根据向量相等的定义，可得，． 【小问2详解】 由（1）可知，．  因为，所以．  展开左边可得：   - 则． - 移项可得，两边同时乘以得． - 设，因为，所以． - 根据向量数量积公式，将，代入可得： ，即，化简得． - 因为，两边同时除以得，解得． - 又因为，所以． 19. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β （1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 （2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 【答案】（1）124m.（2）55m. 【解析】 【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124. 因此，算出的电视塔的高度H是124m. (2)由题设知d＝AB，得tanα＝. 由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝， 所以tan(α－β)＝， 当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m. 20. 已知函数． （1）若对于任意的，等式总是成立，求，的值； （2）若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； （3）若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 小问1详解】 因为 ， 又且， 所以，； 【小问2详解】 因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； 【小问3详解】 因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 21. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数的“相伴向量”为．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量； （2）设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围； （3）设，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，化简为进而根据题意得证； （2）根据两角和余弦公式化简函数，利用向量模坐标运算公式及余弦函数性质求解即可； （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 的值域为，所以，所以函数的相伴向量，， 所以函数的“相伴向量”为单位向量； 【小问2详解】 ，所以的“相伴向量”， ， ，， 的取值范围为； 【小问3详解】 的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 当时，设，令 又，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，当时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中高一期中数学试卷 2025.04 一．填空题 1. 点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 2 设非零向量，若，则实数满足__________． 3. 若函数的最小正周期是，则__________． 4. 已知向量，则在上的投影向量为___________.（用坐标表示） 5. 函数的单调增区间是__________． 6. 若非零向量满足，，则__________． 7. 边长是5、7、9三角形的外接圆半径等于__________． 8. 若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 9. 设，若，则的最大值等于__________． 10. 题目“已知圆上有两点，且____________，求值．”的横线处缺少条件．下列说法正确的是__________．（填写序号） ①在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ②在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ③在横线处补上条件“”后，题目可以求解． 11. 若直线是函数图象对称轴，且在上无最值，则__________． 12. 设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 二．选择题 13. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（ ）的图象 A. B. C. D. 14. “”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 函数的图象（随着的增大）（ ） A. 先上升后下降 B. 先下降后上升 C. 先上升后下降再上升 D. 先下降后上升再下降 三．解答题 17. （1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 18. 在中，，点满足：． （1）若，求与的值； （2）若，求角的值． 19. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β （1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 （2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 20. 已知函数． （1）若对于任意，等式总是成立，求，的值； （2）若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； （3）若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 21. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数的“相伴向量”为．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量； （2）设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围； （3）设，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $