北京市丰台区2024-2025学年高一下学期期中练习数学试题

丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高一数学 参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A D B C A C B 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 2、 填空题（每小题5分，共25分） （11）2； （12）1； （13）1；中的值均符合题意； （14）棱柱，； （15）①③④． 注：13题、14题第一空3分，第二空2分. 15题给出的序号中，有多个序号符合题目要求. 全部选对得5分，选对2个得4分，选对1个得3分，不选或有错选得0分． 三．解答题（共85分） （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为，且为锐角， 所以. ………………3分 所以. ………………5分 所以. ………………7分 （Ⅱ）因为，且为锐角， 所以. ………………10分 所以 ………………11分 . ………………13分 （17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为， 所以， ………………2分 即. ………………4分 所以. ………………5分 （Ⅱ）因为， 所以，. 所以，. ………………7分 所以， ………………8分 ， ………………9分 . ………………10分 所以 ………………12分 . ………………14分 （18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由余弦定理，且， ………………2分 所以. ………………3分 又， 所以. ………………5分 （Ⅱ）选择条件①： 由正弦定理得 . ………………7分 又因为在△中，， 所以， ………………8分 即 ………………9分 ………………10分 . ………………11分 所以△的面积 ………………12分 ………………13分 . ………………14分 选择条件②： 由正弦定理得 . 因为在△中，， 所以， 所以. ………………7分 又因为， 所以， ………………8分 即 ………………9分 ………………10分 . ………………11分 所以△的面积 ………………12分 ………………13分 . ………………14分 （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为， 所以. ………………2分 因为， 所以. ………………3分 所以. ………………4分 又， 所以. ………………5分 （Ⅱ）由正弦定理 ………………6分 可得， 所以，. ………………7分 所以. 因为， 所以. ………………8分 因为 ……………9分 . ………………10分 所以. 因为， 所以. ………………11分 所以. ………………12分 所以，即. ………………13分 所以， 即△周长的取值范围为. ………………14分 （20）（本小题15分） 解：（Ⅰ）因为 ………………1分 ， ………………2分 令， ………………3分 所以. 所以的单调递减区间为. ………………4分 （Ⅱ）因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立. ………………5分 因为， 所以. ………………6分 所以， ………………7分 即. ………………8分 所以的最小值为. ………………9分 （Ⅲ）因为， 所以. ………………10分 因为， 所以. 所以. ………………11分 所以 ………………12分 ………………13分 . ………………15分 （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）， ………………2分 . ……………4分 （Ⅱ）设，， 其中. 当时，. 当或时，. 当时，. 所以的值为0或. ………………5分 因为，， 所以和中共有8个，8个0. ………………6分 设中有个，中有个， 其中为不大于8的非负整数，且. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当时，. ………………7分 （当时等号成立） ………………8分 所以的最大值为. ………………9分 （Ⅲ）记表示中的最小值， 由（Ⅱ）知的值为0或，则 . 因为， 所以. 又因为， 所以， ………………10分 所以. ………………11分 设， ， ， ， ， 则，且两两交集为. 设，，. 当时，则 ， 所以，不符合题意. 同理，当时，，不符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，，不符合题意. 所以中的任意两个元素不可能同时在集合中， 所以集合中元素个数不超过. ………………13分 取，且， 令，则集合元素个数为，符合题意. 综上，集合中元素个数的最大值为. ………………15分 1 第 4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2） （A） （B） （C） （D） （3）用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为2，则其直观图的面积是 （A） （B） （C） （D） （4）如图，在矩形中，为的中点，则 （A） （B） （C） （D） （5）已知，，，则 （A） （B） （C） （D） （6）已知，，且与的夹角为，则 （A） （B） （C） （D） （7）已知某长方体的长、宽、高分别为2，2，1，且该长方体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （A） （B） （C） （D） （8）在△中，，则△的形状一定为 （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形 （9）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内. 在点测得的俯角分别为和，在点测得的俯角分别为和，，则为 （A） （B） （C） （D） （10）在△中，，，．为△所在平面内的动点，且，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）已知，，，则 ． （12）已知复数为纯虚数，则 ． （13）在△中，． ① 若，则 ； ② 若△有两个，则的一个值可以为 ． （14）如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为 （填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为 ． （15）已知平面内三个向量，，满足，且，，给出下列四个结论： ①若，则射线平分； ②若，则的最小值为； ③若，则△面积是△面积的4倍； ④若，，设点到所在直线的距离为，则的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知都是锐角，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. （17）（本小题14分） 已知，，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，，记与的夹角为，求的值. （18）（本小题14分） 在△中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△的面积. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （19）（本小题14分） 在△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求△周长的取值范围. （20）（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）求的单调递减区间； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求的最小值； （Ⅲ）若，，求的值. （21）（本小题15分） 设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记 . （Ⅰ）当时，若，，求和的值； （Ⅱ）当时，若，，求的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． （考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效） 9 高一数学 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$