精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

丰城九中2024-2025学年下学期高二期中考试数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分:150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】， 故选：B 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，即可得出倾斜角. 【详解】由和切点可知， 切线的斜率，即倾斜角， 故选： 3. 设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由根与系数的关系求出，再根据等差数列的性质即可求出． 【详解】由题可得，，所以，即． 故选：A． 4. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 5. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式逐一代入计算即可. 【详解】因为：， 所以， 故选：C. 6. 已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】，， ∴或， 当时，， 令，得或；令，得； 从而在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，不合题意， 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 7. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解. 【详解】解：令， 则， 因为， 所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数， 则在上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B错误； ，即，故C正确； ，即，故错误， 故选：C 8. 已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列， 又数列满足， 所以，，即， 即，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解. 【详解】由图可知：当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误； 又由图可知，且在左边导数， 所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确. 故选：AC 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，以及性质，即可判断选项. 【详解】，又，所以， 则，故A正确，B错误； ，且，所以时，的最小值为15，故C正确； 因为，，最小时，，故D正确. 故选：ACD 11. 著名的斐波那契数列 满足 . 有关斐波那契数列的下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 3 D. 若斐波那契数 除以 4 所得的余数按原顺序排列成 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD，写出斐波那契数列的前项和前项后即可判断正误，对于B，需要对递推关系变形，采用累加法求得前项和第项的关系，对于C，斐波那契数列从第项起是个递增数列，所以的最大值为，由此即可选出答案. 【详解】对于A，由题意可知，斐波那契数列 的前项依次为， 即，故A正确； 对于B，由递推关系可得，所以有， ，累加得， 即， 所以当时，有，故B错误； 对于C，由递推关系可知， 当时，，所以， 因为从第项起，斐波那契数列是个递增数列，即当时，， 而当时，为最大值，所以的最大值为，故C正确； 对于D，由题意可得 ，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，， ，得，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 13. 数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用,可求出时,的表达式,然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时,, 当时,, 显然不符合, 故通项公式. 故答案为：. 14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________； 【答案】 【解析】 【分析】先根据题中给出的结论确定函数的对称中心，再结合函数的对称性求值. 【详解】因为，所以，. 由. 又，所以点是函数的拐点，也就是函数的对称中心. 所以， 所以，，…，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项与等差数列定义，建立方程求得首项，可得答案； （2）利用裂项相消求和，可得答案. 【小问1详解】 由等差数列的公差，且是与6的等差中项 则， 即，解得， 所以等差数列的通项. 【小问2详解】 . 16. 已知函数，为的导函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值. 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减 （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间； （2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果. 【小问1详解】 易知，. 可得， 令，解得，， 由得或，此时函数在和上单调递增； 由得，此时函数在上单调递减， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 函数与的变化如下表： + - + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，. 因此函数的极大值为，极小值为. 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证. （2）利用（1）的结论，利用等差数列定义求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）得， 则 ， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 19. 已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与轴交点横坐标，从而可得到数列递推关系，然后再利用证明的等比数列后一项，通过递推代入得到与前一项的关系，再加以说明非0，即可得证等比数列； （2）利用第一问即可求得，从而利用错位相减法来求数列的前项和即可. 【小问1详解】 由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由上式得，， 则，① 两边乘以2可得：，②. 由①－②得，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中2024-2025学年下学期高二期中考试数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分:150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 4. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 7. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A B. C. D. 8. 已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是极小值点 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 时，的最小值为15 D. 最小时， 11. 著名的斐波那契数列 满足 . 有关斐波那契数列的下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 3 D. 若斐波那契数 除以 4 所得的余数按原顺序排列成 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_____________． 13. 数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______． 14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差为1等差数列，且是与6的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 16. 已知函数，为的导函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值. 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 19. 已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$