精品解析：浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2024学年第二学期期中联考 高一数学试题 命题：慈溪实验高级中学 陈臻波 审题：绍兴马寅初中学 陈志远 普陀中学 刘小君 校稿：钟伟 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【详解】复数对应的点为， 故选：B. 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】画出原图可计算面积. 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 故选：A. 5. 在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理化简题设条件即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 6. 给出下列命题，正确的是（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则它们的起点和终点均相同 C. 若存在实数，使得，则 D. 若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 7. 已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由复数是关于x的方程的一个根，可得另一个根为，用韦达定理和模长公式即可得到结果. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 则另一个根为，由韦达定理得：，即：， 故， 故选：B 8. 已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大，设内切球的球心为，半径为，由进行求解． 【详解】如图所示： 当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大， 则四面体的各棱长均为：，设内切球的球心为，半径为， 取的中点M，连接，作垂直平面，垂足G在的三等分点上(靠近点M)，如图所示： 由，，得，得， 则， 由得， ， 因为四面体的各个棱长都相等，所以， 得， 得． 故选：C 【点睛】关键点点睛：当四面体的每条棱为正方体各个面的对角线时，此时四面体的内切球最大，即可求解． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断. 【详解】对于A，在四棱台中，， 所以与确定平面， 因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确； 对于B，在正四棱台中，， 所以与确定平面，所以和共面，故B正确； 对于C，因为面，而面，面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误； 对于D，因为在正四棱台中，， 所以与可以确定一个平面， 又因为，所以与交于一点设为， 所以，而平面，所以平面， 又，而平面，所以平面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确. 故选：ABD 10. 已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（ ） A. 其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B. 该圆锥表面积为 C. 该圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用弧长公式、圆锥的表面积公式体积公式计算后可判断ABC的正误，利用余弦定理判断轴截面的顶角为钝角后可求过顶点截面的面积最大值后可判断D的正误. 【详解】对于A，扇形的圆心角的弧度数为，故A正确； 对于B，圆锥表面积为，故B错误； 对于C，圆锥的体积为，故C正确； 对于D，设圆锥轴截面的顶角为，则， 而为三角形内角，故为钝角， 而过该圆锥顶点的截面面积为， 截面等腰三角形的顶角，而， 故面积的最大值为，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD. 11. 任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（ ） A. B. 是方程的虚数根，则 C. ，则的范围为 D. 满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则计算即可求. 【详解】由题意，，， 所以. 故答案为： 13. 在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得，所以， 因为，则， 因为，所以，所以，则，故，所以， 由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最大值为. 故答案为：. 14. 已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系， 则，因为，设， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数． 【小问1详解】 ，是实数， ，即， ． 【小问2详解】 ． 是纯虚数， ，即， ，的共轭复数为． 16. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求x的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可； （2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题知，且，不共线． ，即． 当时，，即． 综上，且． 【小问2详解】 ，，， 在上的投影向量为． 17. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角C； （2）设，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和正弦计算得出，计算得出角； （2）应用两角和正弦公式计算得出，再应用正弦定理结合面积公式计算求解. 【小问1详解】 由题知，，即， 整理，得，即， 又，， 即． 【小问2详解】 ， 根据正弦定理知，代入得， 所以． 18. 如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为的中点，证明：平面； （3）侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【小问1详解】 连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． 【小问2详解】 由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． 【小问3详解】 存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式化简即可得解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用正弦型函数的值域求解； （3）根据正弦定理及余弦定理，利用面积公式化简，由二次函数性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理知，，即， 整理，得，， ． 【小问2详解】 ， ， ，，． ，． 【小问3详解】 设d为线段AE长，由题可知，AE为内角平分线，则， 由得，，所以， 由余弦定理得，即，所以， ，， 因为，所以． 即线段AE长度的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体2024学年第二学期期中联考 高一数学试题 命题：慈溪实验高级中学 陈臻波 审题：绍兴马寅初中学 陈志远 普陀中学 刘小君 校稿：钟伟 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 给出下列命题，正确的是（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则它们的起点和终点均相同 C. 若存在实数，使得，则 D. 若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 7. 已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ） A. B. C. D. 5 8. 已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 10. 已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（ ） A. 其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B. 该圆锥表面积为 C. 该圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50 11. 任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（ ） A. B. 是方程的虚数根，则 C. ，则的范围为 D. 满足的复数z有且只有2个 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示） 13. 在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________． 14. 已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 16. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求x的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 17. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角C； （2）设，求的面积． 18. 如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为的中点，证明：平面； （3）侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $