精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2025年湖北云学名校联盟高二年级期中联考 数学试卷 命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院 考试时间：2025年4月18日15：00-17：00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 5. “灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（ ） A. 选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种 B. 选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种 C. 选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种 D. 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 10. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 没有最大值 11. 已知函数，对于不相等的实数设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是（ ） A. 对于任意不相等的实数都有 B. 当时，函数恰有3个零点 C. 对于任意的实数，存在不相等的实数，使得 D. 对于任意不相等的正实数，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数f(x)＝x＋xln x在(1，1)处的切线方程为________. 13. 化简_________. 14. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，_____；当时，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值； （2）当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值. 17. 已知数列满足，数列满足. （1）求数列的前项和； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 19. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的值； （2）当时，方程有两个不同的根，分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北云学名校联盟高二年级期中联考 数学试卷 命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院 考试时间：2025年4月18日15：00-17：00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到，再代入等差数列前项和公式计算． 【详解】由题知． 故选：A． 2. 下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列，组合数公式与性质计算判断即可. 【详解】对于A，∵，∴A不正确； 对于B，，，故B不正确； 对于C，由组合数性质可得，故C不正确； 对于D，由组合数性质可知，故D正确． 故选：D． 3. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 4. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，得；令，得． 所以的展开式中的系数为，解得． 故选：B． 5. “灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法原理，根据正难则反的思想，先求总情况数，再求不符合题意的情况数，相减即可. 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩， 且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫， 每人有2种选择方法，则5人一共有种情况， 故金顶一定要有人去有种情况． 故选：B． 6. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义得到，从而，结合图形，可知当三点共线，且在中间时，取得最小值，利用点到直线的距离计算即得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知． 如图，设于点，则， 由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值． 由抛物线，得， 所以的最小值即点到直线的距离，为． 故选：D ． 7. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判定其单调性计算即可. 【详解】根据题意可令， 所以在上单调递增，则原不等式等价于， 由，解之得． 故选：B． 8. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 【答案】C 【解析】 【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解. 【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（ ） A. 选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种 B. 选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种 C. 选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种 D. 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 【答案】AC 【解析】 【分析】由组合数的计算，根据分步乘法原理、正难则反以及分类加法原理，逐项计算，可得答案. 【详解】选取的4名学生都是男生的不同选法共有种，故A正确； 恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误； 至少有1名女生的不同选法共有种，故C正确； 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D错误. 故选：AC． 10. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 没有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的条件分析公比的符号和大小，再逐项分析即可. 【详解】因为，所以或，即或 若，又，，又,，所以，符合题意， 若，又，则，又，则，与矛盾，不符合题意， 所以没有最大值，所以A、D正确， 因为前项均小于1，从项起均大于1，所以无最大值，故C错误； 又由，所以B正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，对于不相等的实数设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是（ ） A. 对于任意不相等的实数都有 B. 当时，函数恰有3个零点 C. 对于任意的实数，存在不相等的实数，使得 D. 对于任意不相等的正实数，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，有二次函数单调性可判断选项正误；对于B，令，由导数知识及零点存在性定理可判断其零点个数；对于C，即判断是否存在不相等的实数使得，，令，通过研究其单调性即可判断选项正误；对于D，由题结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，因为在上是先减后增的函数，在对称轴左边的两点连线斜率为负数， 所以对于不相等的实数不恒成立，故A错误； 对于B，当时，令， 则， 令，又为增函数， 所以当时，，当时，， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以存在两个零点， 所以当时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又则，使，又. 所以当时，函数恰好有3个零点，故B正确； 对于C，由，得，即， 令， 则，在上单调递增， 当时，，当时，， 即必唯一有零点， 即存在满足使得当时，；当时，； 所以先减后增，即存在不相等的实数使 即，故C正确. 对于D， 又：， 当且仅当时等号成立， 所以对于任意不相等的正实数都有，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：对于函数零点个数的判断，可利用函数单调性结合零点存在性定理判断，也可利用数形结合思想，将问题转化为函数图象与直线交点个数问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数f(x)＝x＋xln x在(1，1)处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得函数在一点处的切线斜率，从而写出切线方程. 【详解】，则， 则函数在点处的切线方程为： 故答案为： 13. 化简_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：． 14. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，_____；当时，则_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用点在双曲线上得到等量关系，利用斜率公式得到定值求解第一空；利用正弦定理，面积公式，和角正切公式，结合第一问结论化简计算得出第二空. 【详解】 （1）当时，双曲线方程为：由于点在双曲线上，设点， ，． ． （2）在中，由正弦定理： ，， ， ， 由（1）可得：， . 故答案为： ；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值； （2）当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得数列通项，求得数列中小于零的项，可得答案； （2）由题意可得数列的递推公式，从而可得数列的递推公式，根据等差数列的相关概念，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，，令． 故：，当时，；当时，． 故：当时，数列前项和取得最小值． 【小问2详解】 解法一：当时，， ． 因为数列是公差为等差数列， 所以：不为常数， 故：的值为． 解法二：由解法一知：，，可得：，． 因为数列是公差为等差数列 解得：或． 检验：当时，，故：满足条件； 当时，， ，此时：， 故：为常数数列，不满足条件． 综上：的值为． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）极大值，极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）先把代入函数，求出表达式．接着对求导得，令分别大于和小于，解不等式得到函数的单调区间．最后根据单调区间确定极大值和极小值． （2）三种解法核心都是先求出及其导数． 解法一：按取值范围分类讨论，根据正负判断单调性，结合最小值为求．  解法二：同样分和讨论，时发现与最小值为矛盾，从而确定值．  解法三：根据最小值为列出和的不等式组，求出范围，再结合单调性确定值． 【小问1详解】 当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． 【小问2详解】 解法一：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，，在单调递减，． ③当时，在单调递增，在单调递减． 此时：不合题意． ④当时，，在单调递增，． 综上：的值为． 解法二：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立； 综上：的值为． 解法三：由题：，． 由题：的最小值为，则必有：． 当时，，在单调递增， ． 故：的值为． 17. 已知数列满足，数列满足. （1）求数列的前项和； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求和. （2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨春单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，， 则，令， 于是， 两式相减得：， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 整理得，令，显然，， 当时，，当时，，于是， 因此，，则， 所以的取值范围是. 18. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①法1，由条件，可知直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程组：， 其中（▲）， 所以，， 由条件，即， 由于直线不过点，故， 化简可得， 所以 ， 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． 法2，设，，由条件，即（★）， 由点在椭圆上，则有， 即①，同理可得② ， ①②可得： 代入（★）式可得：， 即， 变形可得．所以直线恒过定点． ②1 【解析】 【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可； （2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可； 【小问1详解】 由题意可得， 所以椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件． 故的最小值为． 19. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的值； （2）当时，方程有两个不同的根，分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意判断，计算出，检验成立. （2）①求导后分析的单调性，进而根据题意判断出在定义域内有两个零点，数形结合求解的取值范围； ②根据题意构造函数,利用极值点偏移得到；然后要证明，通过换元将多变量不等式转化为单变量不等式，从而证明原式成立. 【小问1详解】 ，． 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故：不仅是函数的最小值，同时也是极小值． ． 检验：当时， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 所以： 成立， 故： 【小问2详解】 ①当时，， 令：；同理： 所以 在上单调递减，在上单调递增. 当时，；当时，； 且；所以方程有两个不同的根时，． ②由题可知：， 即且 构造函数 所以在上单调递减，故． 所以， 又因为所以：， 又因为，所以： 因为 在单调递增， 所以． 要证：， 即证：， 即 只须证明：， 即证： 因为：，故只须证明： 因为成立． 所以原不等式成立，证毕. 【点睛】关键点点睛：将双（多）变量问题通过换元转化成为一个变量的函数问题，借助导数研究其单调性和最值，从而证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $