高二数学月考卷（人教B版2019，范围：数列+导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B B D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得，（2分） 所以， 所以，则，，（4分） 所以函数在点处的切线方程为，即.（6分） （2）由（1）知，，，由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 （10分） 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，，故函数在区间上的最大值为，最小值为. 值域为（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，（5分） 此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故.（10分） （2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为.（7分） （2）因为， 所以 .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意，，， 令，， 当时，. 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 即数列是以2为首项，公比为2的等比数列.（8分） （2）由（1）可知：，则， 所以 则，① 两边同乘2得：，② ①②得： ， 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题设，显然，（2分） 若，则，故，则在R上单调递减；（3分） 若，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增；（6分） 综上，时在R上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增；（8分） （2）由（1）知，时在上单调递减，在上单调递增； 所以，（10分） 要证，只需证， 所以，只需证，（12分） 令且， 则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，而，（15分） 所以， 故得证.（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 5．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 7．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 8．若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 10．数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 13．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 14．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的值域． 16．（15分） 已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 17．（15分） 已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分） 已知数列满足（，），且. (1)求，，并证明数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 19．（17分） 已知函数（e为自然对数的底数，） (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 5．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 7．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 8．若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 10．数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 13．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 14．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的值域． 16．（15分） 已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 17．（15分） 已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分） 已知数列满足（，），且. (1)求，，并证明数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 19．（17分） 已知函数（e为自然对数的底数，） (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 2．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因， 所以，解得. 故选：. 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 5．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，因为是函数的极小值点， 所以，即 则当或时，，所以在上递增， 则当时，，所以在上递减， 即在时有极大值, 故选：D . 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立， 又因为在内单调递减， 可得，可得， 所以a的范围为. 故选：D． 7．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 8．若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若、、成等差数列，则， 所以，， 所以，、、成等差数列，A对； 对于B选项， 若、、成等差数列，则， 所以，、、均为正数，且， 所以，、、成等比数列，B对； 对于C选项，若、、成等比数列，如取， 则、、均无意义，C错； 对于D选项，若、、成等比数列，则、、均不为零，且， 所以，，即、、成等比数列，D对. 故选：ABD. 10．数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为①，所以当时，可得， 当时②，①②得，可得， 所以数列是以1为首项，公比的等比数列，所以，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为 所以，故D正确； 故选：AD. 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以A正确； B选项，由A知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B错误； C选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心，所以C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】2 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 则由，，即， 故答案为：2. 13．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为， 当时，，则当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时， ， 由于， 所以函数恰有3个不同零点，则，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的值域． 【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得，（2分） 所以， 所以，则，，（4分） 所以函数在点处的切线方程为，即.（6分） （2）由（1）知，，，由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 （10分） 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，，故函数在区间上的最大值为，最小值为. 值域为（13分） 16．（15分） 已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，（5分） 此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故.（10分） （2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是．（15分） 17．（15分） 已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为.（7分） （2）因为， 所以 .（15分） 18．（17分） 已知数列满足（，），且. (1)求，，并证明数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【详解】（1）由题意，，， 令，， 当时，. 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 即数列是以2为首项，公比为2的等比数列.（8分） （2）由（1）可知：，则， 所以 则，① 两边同乘2得：，② ①②得： ， 所以.（17分） 19．（17分） 已知函数（e为自然对数的底数，） (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【详解】（1）由题设，显然，（2分） 若，则，故，则在R上单调递减；（3分） 若，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增；（6分） 综上，时在R上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增；（8分） （2）由（1）知，时在上单调递减，在上单调递增； 所以，（10分） 要证，只需证， 所以，只需证，（12分） 令且， 则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，而，（15分） 所以， 故得证.（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$