冲刺2025年中考数学之瓜豆模型最值 讲义

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之瓜豆模型最值 瓜豆模型也叫“主从联动模型”,即:一个动点随另一动点的运动而运动,分别叫做“主动点”与“从动点”,它们的运动轨迹相似。出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”,在几何上叫“种线得线,种圆得圆”. 【条件】 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”); ①有一个定点、两个动点,且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动; ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【模型一】点在直线上 【引例1】如图,点A是直线BC外一定点,点Q是AP的中点,当点P在直线BC上运动时,求Q 点 轨迹? 【判断依据】定点A,主动点P,从动点Q三点共线,其中主动点到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比一直保持不变(定比AP:AQ=2:1) 【轨迹画法】通过特殊位置上的主动点位置找出不同位置的从动点,两点确定一条直线画出轨迹. 【轨迹特点】主动点的轨迹与从动点的轨迹平行(定角∠PAQ=0). 【最值计算】过点作轨迹直线的垂线,垂线段最短,最小值为垂线段. 【引例2】如图, APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90 且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q 点 轨迹? 【判断依据】定点A,主动点P,从动点Q三点,其中主动点到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比为定值(定比AP:AQ=1:1). 【轨迹画法】通过特殊位置上的主动点位置找出不同位置的从动点,两点确定一条直线画出轨迹. 【轨迹特点】主动点的轨迹与从动点的轨迹夹角等于AP和AQ的夹角(定角∠PAQ=90 ). 【最值计算】过点作轨迹直线的垂线,垂线段最短,最小值为垂线段. 【总结】 条件:如图,点O是定点,点A、B是动点,∠AOB= ( ≠0)且,如果A点的运动轨迹是直线 图示: 结论:B点的运动轨迹也是直线,,直线BB′与直线AA′的夹角为 例1、如图,正方形的边长为,E为上一点,且,为边上的一个动点,连接,以为边向右侧作等边,连接,则的最小值为 . 例2、等边边长为6,是中点,在上运动,连接,在下方作等边,则周长的最小值为 . 【模考专练】 (2024济南历下三模)如图,在矩形中,,,点F在边上运动,以线段为斜边作,其中点M与点A位于两侧,.连接,当最小时,_. (2024济南天桥二模)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=,点E为矩形对角线BD上一动点,连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线CF,EG交于点H,连接DH,则线段DH的最小值为_. (2024济南实验初中三模)在中,,,为线段上的动点,连接,将绕点顺时针旋转得到,连接,若,,则的最小值是_. (2025济南济阳一模)在矩形中,,,为边上一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转得到射线,在射线上取一点,使得,连接,则的最小值是_. (2020济南历下三模)【方法回顾】 课本研究三角形中位线性质的方法 已知:如图①, 已知中,,分别是,两边中点. 求证:, 证明:延长至点,使, 连按.可证:( ) 由此得到四边形为平行四边形, 进而得到求证结论 (1)请根据以上证明过程,解答下列两个问题: ①在图①中作出证明中所描述的辅助线(请用铅笔作辅助线); ②在证明的括号中填写理由(请在,,,中选择) . 【问题拓展】 (2)如图②,在等边中, 点是射线上一动点(点在点的右侧),把线段绕点逆时针旋转得到线段,点是线段的中点,连接、. ①请你判断线段与的数量关系,并给出证明; ②若,求线段长度的最小值. (2019济南中考真题)(12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. (一猜测探究 在中,,是平面内任意一点,将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度,得到线段,连接. (1)如图1,若是线段上的任意一点,请直接写出与的数量关系是 ,与的数量关系是 ; (2)如图2,点是延长线上点,若是内部射线上任意一点,连接,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由. (二拓展应用 如图3,在中,,,,是上的任意点,连接,将绕点按顺时针方向旋转,得到线段,连接.求线段长度的最小值. (2022济南历下区一模)如图,在中,,是线段上一动点(不与、重合),连接,将线段绕点逆时针旋转与相等的角度,得到线段,连接.点和点分别是边,的中点. 【问题发现】 (1)如图1,若,当点是边的中点时, ,直线与相交所成的锐角的度数为 度. 【解决问题】 (2)如图2,若,当点是边上任意一点时(不与、重合),上述两个结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. 【拓展探究】 (3)如图3,若,,,在点运动的过程中,直接写出的最小值. (2023济南历城一模)某校数学兴趣学习小组在一次活动中,对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究: (1)发现问题:如图1,在等腰中,,点是边上任意一点,连接,以为腰作等腰,使,,连接.求证:. (2)类比探究:如图2,在等腰中,,,,点是边上任意一点,以为腰作等腰,使,.在点运动过程中,是否存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由. (3)拓展应用:如图3,在正方形中,点是边上一点,以为边作正方形,是正方形的中心,连接.若正方形的边长为,,求的面积. (2023济南天桥二模)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点. 求抛物线的解析式; 若在线段上存在一点,使得,过点作交的延长线于点,求点的坐标; 在的条件下,点是轴正半轴上的一个动点,连接,过做交轴与,是的中点,求的最小值. (2023济南历下三模)在等腰中, ,,点为线段的中点.点为直线BC上一动点,连接,点为线段的中点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接. (1)如图1,当点与点重合时, ,线段与线段的数量关系为 ; (2)如图2,当点在线段上(不与点重合)移动时,请证明线段与线段的数量关系并求出的大小; (3)如图3,点在直线上移动,作点关于直线的对称点,过点作直线交直线于点,请直接写出线段长度的最小值. (2024济南长清一模)26.(12分)【问题情境】: (1)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接DG、BE,则DG与BE的数量关系是 . 【类比探究】: (2)如图2,四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=6,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE. 判断线段DG与BE有怎样的数量关系: ,并说明理由; 【拓展提升】: (3)如图3,在(2)的条件下,连接BG,求BG+BE的最小值. (2024历下二模)25. 在中,点是线段上一动点,连接.将线段 绕点逆时针旋转至, 记旋转角为, 连接.取的中点为点 , 连接. 【特例感知】 (1)如图, 已知是等腰直角三角形, , ,.延长至点,使,连接.请直接写出与的数量关系 ,与的数量关系 . 【类比迁移】 (2)如图, 已知是等腰三角形,, ,.探究线段与的数量关系,并证明你的结论. 【拓展应用】 (3)如图, 已知在中,,, , .在点的运动过程中,求线段 长度的最小值. 【模型二】点在圆上 【引例3】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点. 考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是? 【判断依据】定点A,主动点P,从动点Q三点共线,满足定比AQ:AP=1:2,定角∠PAQ=0 【圆心确定】定点A,主圆心O,将AO绕定点A旋转定角0 ,放缩定比得从圆心在AO的中点M处 【最值计算】画圆,连圆心,减半径为最小值;连圆心,加半径为最大值 【引例4】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP. 考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是? 【判断依据】定点A,主动点P,从动点Q,满足定比AQ:AP=1:1,定角∠PAQ=90 【圆心确定】将定点A与主圆心O的连线AO绕定点A逆时针旋转定角90 得从动点圆心M 【最值计算】画圆,连圆心,减半径为最小值;连圆心,加半径为最大值 【引例5】如图, APQ是直角三角形, PAQ=90 且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是? 【判断依据】定点A,主动点P,从动点Q,满足定比AQ:AP=1:2,定角∠PAQ=90 【圆心确定】将定点A与主圆心O的连线AO绕定点A逆时针旋转定角90 并放缩定比1:2,得到从动点圆心M 【最值计算】画圆,连圆心QM,由相似得半径QM,减半径为最小值,加半径为最大值 【总结】 条件:如图,点O是定点,点A、B是动点,∠AOB= 且,A点在⊙O1上运动 图示: 结论: 1)当 =0, ①B点的运动轨迹是圆,②A,B,O始终是一条直线,③主动圆与从动圆的半径之比为. 2)当 ≠0, ①B点的运动轨迹是圆,②主动圆与从动圆的半径之比为, ③主从动圆的圆心与定点连线构成的夹角为 (定值). 例1、如图,线段,点为的中点,动点到点的距离是1,连接,线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,则线段长度的最大值是( ) A.3 B.4 C. D. 例2、如图,是正方形边的中点,是正方形内一点,连接,线段以为中心逆时针旋转得到线段,连接.若,,则的最小值为 . 例3、如图,中,,,点D是的中点,P是以A为圆心,以为半径的圆上的动点,连接,则 的最大值为 【模考专练】 (2022日照中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),P是x轴上一动点,把线段PA绕点P顺时针旋转60 得到线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值是 . (2023泰安中考真题)如图,在平面直角坐标系中,的一条直角边在x轴上,点A的坐标为;中,,连接,点M是中点,连接.将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段的最小值是( ) A.3 B. C. D.2 (2024济南高新一模)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为AB上一点,连接DE,将 ADE沿DE折叠,点A落在A1处,连接A1C,若F、G分别为A1C、BC的中点,则FG的最小值为 . (2024济南长清二模)如图,在正方形中,是的中点,是边上一动点,将沿翻折得,连接,在左侧有一点,使得为等腰直角三角形,且,连接.若正方形的边长为2,则的最小值为_. (2024济南市中二模)在菱形中,为菱形内部一点,且,连接,点F为中点,连接,点G是中点,连接,则的最大值为_. (2025济南天桥一模)如图,在菱形中,,点是边上一动点,连接,将沿着折叠,得到,连接,点是的中点,,则的最小值为_. (2025济南历下一模) 如图,在中,,,,点M与点N分别在边与上,,将沿翻折得到,连接并将绕点A逆时针旋转得到,连接,则的最小值为_. (2019济南市中二模)已知,如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点,EH⊥x轴于点H,交直线BC于点F,以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R. (1)求这个二次函数关系式. (2)当 EFR周长最大时. ①求此时点E点坐标及 EFR周长. ②点P为⊙M上一动点,连接BP,点Q为BP的中点,连接HQ,求HQ的最大值. (2020济南天桥二模)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴交于A(4,0)、O两点,点D(2,-2)为抛物线顶点. (1)求该抛物线的解析式; (2)点E为AO的中点,以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点,点M为⊙E上一点. ①射线BM交抛物线于点P,设点P的横坐标为m,当tan∠MBC=2时,求m的值; ②如图2,连接OM,取OM的中点N,连接DN,则线段DN的长度是否存在最大值或最小值?若存在,请求出DN的最值;若不存在,请说明理由. (2023济南章丘一模)在中,,,点D在BC上,且满足,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,连接CE,BE,以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF,且,,连接AF. (1)如图1,当点E落在BC上时,直接写出线段BE与线段AF数量关系; (2)如图2,在线段DB旋转过程中,(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立?请利用图2说明理由; (3)如图3,连接DF,若,求线段DF长度的最小值. (2025济南历城一模)如图1,在与中,,,连结,求和的数量关系; (2)如图2,在与中,,,边和交于点,点在边上,,求的值. (3)如图3,若,,,,当的值最大时,求的值. (2025济南章丘一模)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点,且,则,把绕着点A逆时针方向旋转,连接和.如图2,找出图中的另外一组相似三角形_;并加以证明. 【迁移应用】如图3,在中,,,,D、E、M分别是、、中点,连接. ①如图4,把绕着点A逆时针方向旋转,在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系:_、_; ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置,连接和,取中点N,连接,若,求的长. 【创新应用】如图6:,,是直角三角形,,将绕着点A旋转,连接,F是上一点,,连接,请直接写出的取值范围. 【模型三】点在曲线上 (2022济南市中一模)如图,抛物线M:y=x2+bx+c交y轴于点A(0,﹣1),且过点P(﹣1,﹣),点B是抛物线M上一个动点,过B作BC∥OA,以B为圆心,2为半径的圆交直线BC于D、E两点(点E位于点D下方). (1)求抛物线M的解析式; (2)连接AB交⊙B于点F,连接EF,AD.若 ABD是以BD为直角边的直角三角形,求∠BEF的度数; (3)取AD的中点Q,连接PQ,求线段PQ的最小值.(直接写出答案) (2023年槐荫二模)如图1,已知以D为顶点的抛物线经过、B两点,与y轴交于C点,对称轴为直线. (1)求抛物线的解析式; (2)连接,和有怎样的数量关系,请说明理由 (3)如图2,已知点M(-4,0),若P为抛物线位于x轴下方部分上一点,以PO为边在PO的上方作等边三角形,连接MQ,N为线段MQ中点,直接写出MN的最小值. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之瓜豆模型最值 瓜豆模型也叫“主从联动模型”，即：一个动点随另一动点的运动而运动,分别叫做“主动点”与“从动点”，它们的运动轨迹相似。出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”，在几何上叫“种线得线,种圆得圆”. 【条件】 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【模型一】点在直线上 【引例1】如图，点A是直线BC外一定点，点Q是AP的中点，当点P在直线BC上运动时，求Q 点 轨迹？ 【判断依据】定点A，主动点P，从动点Q三点共线，其中主动点到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比一直保持不变（定比AP:AQ=2：1） 【轨迹画法】通过特殊位置上的主动点位置找出不同位置的从动点，两点确定一条直线画出轨迹. 【轨迹特点】主动点的轨迹与从动点的轨迹平行（定角∠PAQ=0）. 【最值计算】过点作轨迹直线的垂线，垂线段最短，最小值为垂线段. 【引例2】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q 点 轨迹？ 【判断依据】定点A，主动点P，从动点Q三点，其中主动点到定点距离AP与从动点到定点距离AQ之比为定值（定比AP:AQ=1:1）. 【轨迹画法】通过特殊位置上的主动点位置找出不同位置的从动点，两点确定一条直线画出轨迹. 【轨迹特点】主动点的轨迹与从动点的轨迹夹角等于AP和AQ的夹角（定角∠PAQ=90°）. 【最值计算】过点作轨迹直线的垂线，垂线段最短，最小值为垂线段. 【总结】 条件：如图，点O是定点，点A、B是动点，∠AOB=α（α≠0）且，如果A点的运动轨迹是直线 图示： 结论：B点的运动轨迹也是直线，，直线BB′与直线AA′的夹角为α 例1、如图，正方形的边长为，E为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    【详解】将绕点旋转，使与重合，得到，    ∴， ∴为等边三角形， ，， 则有点在垂直于的直线上， 过作，当与点重合时即即为的最小值，如图， 过作，易得四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， 故答案为： 例2、等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小． 【详解】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则，， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， ， ． 周长：． 故答案为：． 【模考专练】 (2024济南历下三模)如图，在矩形中，，，点F在边上运动，以线段为斜边作，其中点M与点A位于两侧，．连接，当最小时，_______________． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，四点共圆，矩形的性质．连接，设，则，由题意得四点共圆，推出，当时，最小，证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，设，则， ∵， ∴， ∵矩形和， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， 当时，最小，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴，∴， 故答案为：． （2024济南天桥二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E为矩形对角线BD上一动点，连接CE，以CE为边向上作正方形CEFG，对角线CF，EG交于点H，连接DH，则线段DH的最小值为____． 【解析】 【分析】作于点I，则，由正方形的性质得，，所以，取的中点O，连接，以点O为圆心为半径作，则点H、点I都在上，所以，可知点H在过点I且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时，由矩形的性质得，则，由得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，作于点I，则， ∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 取的中点O，连接，以点O为圆心为半径作， ∵， ∴点H、点I都在上， ∴， ∴点H在过点I且与直线所交成的锐角为的直线上运动， ∴当时，线段的值最小， 如图2，，则， ∵点H、点I都在以为直径的上， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2024济南实验初中三模）在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质．根据所给条件，得出与相似，进一步得出与相似，根据相似三角形的性质将的最小值转化为的最小值即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． 过点C作的垂线，垂足为M， 在中，， ∴， 令,， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 在中，， ∴， 则， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当，即点D在点M处时，取得最小值3， ∴的最小值为． 故答案为：． （2025济南济阳一模）在矩形中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，在射线上取一点，使得，连接，则的最小值是___________． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作交的延长线于点，作于点，设，证明，求得，，在中，由勾股定理得，得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点，作于点，设， 则， ∵矩形， ∴，，，四边形是矩形， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值是， 故答案为：． （2020济南历下三模）【方法回顾】 课本研究三角形中位线性质的方法 已知：如图①， 已知中，，分别是，两边中点． 求证：， 证明：延长至点，使， 连按．可证：（　　） 由此得到四边形为平行四边形， 进而得到求证结论 （1）请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用铅笔作辅助线）； ②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择） . 【问题拓展】 （2）如图②，在等边中， 点是射线上一动点（点在点的右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，点是线段的中点，连接、． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，求线段长度的最小值． 【解析】 【分析】（1）①根据题意画出辅助线即可； ②由题可知判断全等的条件是； （2）①延长至点，使得，连接，，证明，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，可得到为等边三角形，可推出为等边三角形，得到； ②连接，取的中点，连接作射线，由为等腰三角形，，得到，由点为的中点，点为的中点，得到，当时，最短，在中，，． 【详解】（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线如图所示： ②． （2）①， 延长至点，使得， 连接，， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， 绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ； ②连接，取的中点，连接作射线， 为等腰三角形，， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， 点的轨迹为射线，且， 当时，最短， ， ， 在中， ， ， 即线段长度的最小值为． （2019济南中考真题）（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． （一猜测探究 在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　，与的数量关系是　　； （2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二拓展应用 如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值． 解：（一（1）结论：，． 理由：如图1中， ， ， ， ，， ， ． （2）如图2中，①中结论仍然成立． 理由：， ， ， ，， ， ． （二如图3中，在上截取， 连接，作于，作于． ， ， ，， ， ， 当的值最小时，的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， 的最小值为 （2022济南历下区一模）如图，在中，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．点和点分别是边，的中点． 【问题发现】 （1）如图1，若，当点是边的中点时，　　，直线与相交所成的锐角的度数为 　　度． 【解决问题】 （2）如图2，若，当点是边上任意一点时（不与、重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，若，，，在点运动的过程中，直接写出的最小值． 【详解】（1）设， ，， 是等边三角形， ， 点是边的中点，点是边的中点， 与重合，，， ， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ，， ， 点是的中点， ，， ， 故答案为：，30； （2）上述两个结论均成立，理由如下： 如图2，连接、， ，， 为等边三角形， 是中点， ， ， 在中，， ，， 同理可得，， ，， ， ，， ， 综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为； （3）如图3，连接、， ，， 是等腰直角三角形， ，， 同（2）得：，， ， ， 是的中点，， ，， 当时，最小，此时是等腰直角三角形，则， 即的最小值为1． （2023济南历城一模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究： （1）发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：． （2）类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （3）拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积． 【解析】 【分析】（1）根据“边角边”可证明，即可求解； （2）根据对应边成比例，两边的夹角相等可证，从而证明，根据点到直线的垂线段最短，构造直角三角形，根据含有特殊角的直角三角形的性质即可求解； （3）如图所示，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，可证，设，则，根据勾股定理的长度，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：存在最小值，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为， ∵， ∴ ，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴存在最小值，最小值为． 【小问3详解】 解：如图所示，连接，过作于， ∵为正方形的中心， ∴，即是等腰直角三角形， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：，解得：或（舍）， ∴，在中，， ∴的面积为 （2023济南天桥二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； 在的条件下，点是轴正半轴上的一个动点，连接，过做交轴与，是的中点，求的最小值． 【答案】解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点坐标为， 设直线的解析式为为常数， 代入点，点， 得， 解得， 直线解析式为， 设点坐标为， 则，， 点坐标为， 点在线段上， ， 解得， ， 点坐标为； 由可知，点坐标为， ， 是直角三角形， 是的中点， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线，直线与直线交于点，直线与轴交于点， 则坐标为， 当时，取得最小值，如图所示： 设直线的解析式为， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入点， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， ：：， ，， ∽， ：：：， ， ， 的最小值为 （2023济南历下三模）在等腰中， ，，点为线段的中点．点为直线BC上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时， ，线段与线段的数量关系为 ； （2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，请证明线段与线段的数量关系并求出的大小； （3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线交直线于点，请直接写出线段长度的最小值． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质和旋转的性质即可得出结论； （2）如图，连接，证明，可得，设与交于点，利用三角形外角的性质可得的大小； （3）如图，连接，证明，可得，则的最小值即点与点重合时，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在等腰中， ，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， 当点与点重合时， 则，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，即点落在上， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 如图，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，是等边三角形， ∵点为线段的中点， ∴，， ∵点为线段的中点，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 设与交于点， ∵，， ∵， ∴． 【小问3详解】 如图，连接， ∵是等边三角形，点为线段的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上运动， ∴的最小值即点与点重合时， ∵是等边三角形， ∴此时点与点重合， ∴， ∴的最小值为． （2024济南长清一模）26．（12分）【问题情境】： （1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 　 　． 【类比探究】： （2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝2：3，连接DG、BE． 判断线段DG与BE有怎样的数量关系：　 　，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求BG+BE的最小值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC，∠BCD＝90°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CG＝CE，∠GCE＝90°， ∵∠BCE+∠ECD＝∠DCG+∠ECD＝90°， ∴∠BCE＝∠DCG， 在△DCG和△BCE中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴DG＝BE， 故答案为：DG＝BE； （2）判断：DG＝BE，理由如下： ∵四边形CEFG是矩形，四边形ABCD是矩形， ∴∠ECG＝∠BCD＝90°，CD＝AB， ∴∠DCG＝∠BCE， ∵CG：CE＝2：3，AB＝4，BC＝6， ∴， ∴△DCG∽△BCE， ∴， ∴DG＝BE； 故答案为： （3）如图，过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GL⊥BC交BC的延长线于点L，则∠CKE＝∠CLG＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BCD＝∠DCL＝90°，∠A＝90°， ∵△DCG∽△BCE， ∴∠DCG＝∠BCE， ∵∠DCG+∠GCL＝90°，∠BCE+∠CEK＝90°， ∴∠GCL＝∠CEK， ∵∠CKE＝∠CLG， ∴△GCL∽△CEK， ∴， ∵EK＝AB＝4， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线GL， 作点D关于直线GL的对称点G′，则DG＝GG′， ∴当点B，G，G′三点同一直线时，BG+DG的值最小，即为BG′， 由（2）得 DG＝BE， ∴BE＝DG， ∴BG+BE＝BG+DG＝（BG+DG）， ∴BG+BE的最小值为 （BG+DG）的最小值，即 BG′，． ∵，AD＝BC＝6， ∴AG′＝AD+DG′＝6+＝， ∴BG′＝＝＝， ∴BG′＝5 ， ∴BG+BE的最小值为5 （2024历下二模）25. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得； （）如图， 延长至点， 使得， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 ． 证明： 如图， 延长至点， 使得， 连接， ∵，∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵， ，， ； 【小问3详解】 解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为 【模型二】点在圆上 【引例3】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【判断依据】定点A，主动点P，从动点Q三点共线，满足定比AQ:AP=1:2，定角∠PAQ=0° 【圆心确定】定点A，主圆心O，将AO绕定点A旋转定角0°，放缩定比得从圆心在AO的中点M处 【最值计算】画圆，连圆心，减半径为最小值；连圆心，加半径为最大值 【引例4】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是? 【判断依据】定点A，主动点P，从动点Q，满足定比AQ:AP=1:1，定角∠PAQ=90° 【圆心确定】将定点A与主圆心O的连线AO绕定点A逆时针旋转定角90°得从动点圆心M 【最值计算】画圆，连圆心，减半径为最小值；连圆心，加半径为最大值 【引例5】如图，△APQ是直角三角形，△PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是? 【判断依据】定点A，主动点P，从动点Q，满足定比AQ:AP=1:2，定角∠PAQ=90° 【圆心确定】将定点A与主圆心O的连线AO绕定点A逆时针旋转定角90°并放缩定比1:2，得到从动点圆心M 【最值计算】画圆，连圆心QM，由相似得半径QM，减半径为最小值，加半径为最大值 【总结】 条件：如图，点O是定点，点A、B是动点，∠AOB=α且，A点在⊙O1上运动 图示： 结论： 1)当α=0， ①B点的运动轨迹是圆，②A,B,O始终是一条直线，③主动圆与从动圆的半径之比为. 2)当α≠0， ①B点的运动轨迹是圆，②主动圆与从动圆的半径之比为， ③主从动圆的圆心与定点连线构成的夹角为α（定值）. 例1、如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D 例2、如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 例3、如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴ 【模考专练】 （2022日照中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．   【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF=60°，PF=PA， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=AF， 如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形， 则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°， ∵AO⊥P1F1， ∴P1O=F1O，∠AOP1=90°， ∴∠P1AO=30°，且AO=4， 由勾股定理得：， ∴， ∴点F1的坐标为， 如图，当点F2在y轴上时，    ∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O， ∴AO=F2O=4， ∴点F2的坐标为（0，-4）， ∵， ∴∠OF1F2=60°， ∴点F运动所形成的图象是一条直线， ∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短， 设直线F1F2的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线F1F2的解析式为y=x-4， ∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1， ∴， 在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2， 设点O到F1F2的距离为h，则， ∴， 解得h=2， 即线段OF的最小值为2， 故答案为2 （2023泰安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3， 故选A． （2024济南高新一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为 　 　． 【解答】解：如图，连接A1B，BD， ∵F、G分别为A1C、BC的中点， ∴FG＝A1B， 当FG的最小时，即A1B最小， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3， ∴AD＝BC＝3，∠A＝90°， ∴BD＝＝5， ∵△ADE沿DE折叠， ∴A1D＝AD＝3， 在△A1BD中有A1B+A1D≥BD， ∴A1B≥BD﹣A1D， 即A1B≥2， ∴FG＝A1B≥1， ∴FG的最小值为1， 故答案为：1． （2024济南长清二模）如图，在正方形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．若正方形的边长为2，则的最小值为____． 【详解】解：连接，过作，取，连接，，过作， ∵，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形中，是的中点，正方形的边长为， ∴，， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴当、、三点共线时有最小值，最小值为， 故答案为： （2024济南市中二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______． 【详解】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和， ∵在菱形中，为中点，为中点，， ∴， 当、、、共线时，也为， ∵为中点、为中点， ∴ ∵菱形中，且，， ∴，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵． ∴， ∴的最大值为． 故答案为∶ （2025济南天桥一模）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为______． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为： （2025济南历下一模） 如图，在中，，，，点M与点N分别在边与上，，将沿翻折得到，连接并将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______． 【详解】解：连接并延长，∵在中，，，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在与夹角为的射线上运动， 设交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴将逆时针旋转后所得线段在上， ∴点E在直线上运动，， ∴． 作于点H，则当E与H重合时，的值最小． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，的值最小值为． 故答案为： （2019济南市中二模）已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R. (1)求这个二次函数关系式. (2)当△EFR周长最大时. ①求此时点E点坐标及△EFR周长. ②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值. 【详解】(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3； (2) ①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， ∵∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC， ∴△ERF为等腰直角三角形. 当△EFR周长最大时，EF最长， 设E(m，﹣m2+2m+3)，F(m，﹣m+3)， ∴EF＝﹣m2+3m， ∴当m＝时，EF最长，EF＝， ∴E(，)， 则Rt△EFR中，ER＝FR＝， ∴△EFR周长为+； ②如图，连接OP，点H(，0)为OB的中点， ∵Q是PB的中点，∴HQ∥OP，且HQ＝OP， ∵EF＝，FH＝， ∴点M(，)， ∴OM＝BM＝, ∵OP≤OM+PM＝， ∴HQ≤， 即HQ的最大值大为：+. （2020济南天桥二模）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点． ①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值； ②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a（x-2）2-2， 将点A的坐标代入上式并解得：a=， 故抛物线的表达式为：y=（x-2）2-2=x2-2x①； （2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0）， 当点P在x轴下方时， 如图1， ∵tan∠MBC=2， 故设直线BP的表达式为：y=-2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s=2， 故直线BP的表达式为：y=-2x+2②， 联立①②并解得：x=±2（舍去-2），故m=2； 当点P在x轴上方时， 同理可得：m=4±2（舍去4-2）； 故m=2或4+2； ②存在，理由： 连接BN、BD、EM， 则BN是△OEM的中位线，故BN=EM=，而BD=， 在△BND中，BD-BN≤ND≤BD+BN， 即≤ND≤， 故线段DN的长度最小值和最大值分别为和 （2023济南章丘一模）在中，，，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且，，连接AF． （1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF数量关系； （2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由； （3）如图3，连接DF，若，求线段DF长度的最小值． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AC=BC，由旋转的的性质可得BD=DE=BC，BE=BC，由直角三角形的性质可求CF=CE=CB，即可求解； （2）通过证明△CBE∽△CAF，由相似三角形的性质可得，则可得出结论； （3）在CA上截取CG，使，连接GF，证明，求得，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，再证明即可进一步得出结论． 【小问1详解】 解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴AC=BC， ∵BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE， ∴BD=DE=BC，BE=CB， ∴CE=CB， ∵∠CFE=90°，∠ECF=60°， ∴∠CEF=30°， ∴CF=CE=CB， ∴AF=AC-CF=CB， ∴BE=2AF； 故答案为：BE=2AF； 【小问2详解】 结论仍然成立，； 证明：理由如下： 在中，，， ∴，， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 在CA上截取CG，使，连接GF， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，D，G分别是BC，AC三等分点，， ∴，，， ∴，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动， ∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段DF长度的最小值为 （2025济南历城一模）如图1，在与中，，，连结，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求的值． （3）如图3，若，，，，当的值最大时，求的值． 【解析】 【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及相似三角形的判定和性质、解直角三角形和勾股定理． （1）根据题意得，及，即可判定，有，则有； （2）连接，设，则，由（1）知，得，则，进一步判定，则有即可； （3）以为边在上方作等腰，且，连接，，，，可得，求得，在中求得，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时可求得和，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， 故； （2）连接，如图， 设，则， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）以为边在上方作，且，，连接，，，，如图所示， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴当点A，E，D三点共线时，的值最大，最大值为， 在中，， ∴ （2025济南章丘一模）【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查相似三角形的应用，解答本题的关键在于利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质，本题即可求证． （2）①特别主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解；②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可． （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】解：【问题背景】如图，， , 又， ． 故答案为：． 【迁移应用】如图，在中， , ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；． 如图，连接， ， ， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； 【创新应用】如图，过点作，过点作，连接， ， ， ， 又 ， ， ， ， 即， 【模型三】点在曲线上 （2022济南市中一模）如图，抛物线M：y＝x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，﹣），点B是抛物线M上一个动点，过B作BC∥OA，以B为圆心，2为半径的圆交直线BC于D、E两点（点E位于点D下方）． （1）求抛物线M的解析式； （2）连接AB交⊙B于点F，连接EF，AD．若△ABD是以BD为直角边的直角三角形，求∠BEF的度数； （3）取AD的中点Q，连接PQ，求线段PQ的最小值．（直接写出答案） 【详解】（1）交轴于点，且过点， ，， ． （2）①时，如图1， ，， ． ②时，如图2， 轴， 点的纵坐标为， ， 点的纵坐标为， 将代入，解得， 所以，为等腰直角三角形， ． 综上所述，的度数为或． （3）设，则， ，， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为 （2023年槐荫二模）如图1，已知以D为顶点的抛物线经过、B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，和有怎样的数量关系，请说明理由 （3）如图2，已知点M（-4，0），若P为抛物线位于x轴下方部分上一点，以PO为边在PO的上方作等边三角形，连接MQ，N为线段MQ中点，直接写出MN的最小值． 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过，对称轴为直线，再建立方程组即可； （2）先求解，，，可得，再求，而，，可得，，，证明，可得，证明，从而可得结论； （3）取，连接，，，证明为等边三角形，而为等边三角形，可得，，可得，则，可得轴时，即，重合时，最短，而，此时，可得的最小值为：，为的中点，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，对称轴直线． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 令，则， 解得：，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，而，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 取，连接，，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，而为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴轴时，即，重合时，最短，而， 此时， ∴的最小值为：， ∵为的中点， ∴的最小值为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$