精品解析：上海市普陀区曹杨二中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2024学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为________． 2. 已知角的终边上有一点，则实数________． 3 已知角满足，则________． 4. 化简：________． 5. 已知，，则________． 6. 已知向量，，则在上的投影的坐标为________． 7. 已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 8. 已知，若，，则________． 9. 在锐角中，若，则的取值范围是________． 10. 已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则________． 11. 已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________． 12. 已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若角是第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 15. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 16. 对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）设，若，求的值． 18 已知向量，，设． （1）求函数的表达式及单调减区间； （2）将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集． 19. 如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． （1）若米，求的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 20. 如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． （1）若，，，求的值； （2）若，为线段上一点，且，求实数的值； （3）设，，求的取值范围． 21 若实数，，满足，则称比远离． （1）若0比远离，求的取值集合； （2）已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； （3）对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市曹杨二中2024学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长计算即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为. 故答案为：. 2. 已知角的终边上有一点，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出. 【详解】由点在角的终边上，得， 所以. 故答案为： 3. 已知角满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和角的正切公式计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 4. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式直接进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 5. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 6. 已知向量，，则在上的投影的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根据投影的定义及向量的数量积、模运算即可. 【详解】因为向量，，所以 所以在上的投影的坐标为. 故答案为：. 7. 已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，利用诱导公式与二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，由题意可知， 又，所以， 所以. 故答案为：. 8. 已知，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故， 由，所以 故答案为： 9. 在锐角中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的伸缩变换可得，根据可得，即，由图象对称性求得，进而求出的最小正周期，从而可求的值. 【详解】由，函数图象上的每一点纵坐标不动， 横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 因， 即，故，也即， 由图象对称性知，，所以， 则函数的最小正周期， 由，解得， 故答案为：. 11. 已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】记，分，，三种情况计算可求最大值. 【详解】因为，所以，记， 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 所以的最大值为. 故答案为：. 12. 已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】由结合已知可得，由，可得可取或，据此可得答案. 【详解】由，得，则或， 由，得直线与函数的图象相邻交点的最小距离为， 得，解得，则函数的最小正周期， 而，则， 于是或，，则可取或， 当时，，； 当时，，. 故答案为：或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若角是第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，分偶数和奇数求解即可. 【详解】因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角. 故选：C． 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 15. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 16. 对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据函数性质画出图象观察即可判断；对于②观察图象并且验算得即可判断；对于③，只需判断方程是否有且仅有1个非零实根即可，通过分类讨论即可解决. 【详解】对于①，显然的定义域关于原点对称，且，即是偶函数， 当时，， 当时，， 从而画出函数的图象如下图所示， 观察可知函数不是周期函数，故①错误； 对于②，观察上图发现，，故②错误； 对于③，，显然是方程的一个根， 若方程有且仅有2个实根， 则方程有且仅有1个非零实根， 注意到，从而，当然也有， 所以当时，方程无解， 设， 那么当时，，此时无解， 当时，， 因为，此时，而， 所以此时即无解， 当时，，此时，， 所以此时即无解， 当时，，此时， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 注意到，当时，方程无解， 综上所述，方程无非零实数解，故③错误， 即真命题的个数为0个. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）设，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【小问1详解】 由，，，得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则，即，所以. 18. 已知向量，，设． （1）求函数的表达式及单调减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再求出函数单调递减区间. （2）由求出解析式；在上求出方程的解. 【小问1详解】 依题意，， 由，解得， 所以函数的表达式，单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知； 由，得，由，得， 则或或，解得或或， 所以方程在区间上的解集为． 19. 如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． （1）若米，求的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理计算可求得，可得的值； （2）利用正弦定理用表示出，再结合条件得到，根据三角函数性质求最值即可. 【小问1详解】 由题意知为等腰直角三角形，且， 在中，由，，利用余弦定理可得： ， 即可得； 利用余弦定理推论可得， 因此 【小问2详解】 依题意可知，则； 在中由正弦定理， 可得； 在中，由正弦定理， 可得； 因此的面积为 ， 因为，所以，即， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 故面积的最小值为. 20. 如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． （1）若，，，求的值； （2）若，为线段上一点，且，求实数的值； （3）设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，在中，利用余弦定理可求得；（2）设，由已知可得，进而可得，结合已知可求； （3）设，由已知可得，结合平面向量基本定理可得，计算可求的取值范围. 【小问1详解】 因为在等腰梯形中，所以为锐角， 又，所以， 在中，，，由余弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又因为为线段上一点，所以，又， 所以，解得； 【小问3详解】 因为为线段上的一个动点，所以存在实数，使， ， 又，所以，所以， 由，因为，可得， 所以， 因为，所以. 所以取值范围为． 21. 若实数，，满足，则称比远离． （1）若0比远离，求的取值集合； （2）已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； （3）对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义以及余弦函数性质解不等式即可； （2）根据新定义求得函数表达式，进一步画出函数的图象，通过图象得出所求性质即可； （3）首先肯定要对分类讨论，其次一个比较关键的地方在于要利用换元法，以及飘带函数、对勾函数的性质，从而即可求解. 小问1详解】 由新定义可得，，即， 解得，即 , 由余弦函数的性质可得或，， 故所求为或； 【小问2详解】 ①（i）若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为， 即或，解得， 综上，时，； （ii）若，由①可知，. . ②函数图象如图， 由图可知该函数是非奇非偶函数， 函数的最小正周期为， 值域为； 【小问3详解】 设，则， 设， 所以我们只需要研究当时，函数的最大值是否存在即可， （i）当时，，故此时不存在最大值； （ii）当时，显然上均单调递减， 从而， 若此时存在最大值，则当且仅当，解得， 注意到， 所以当时，函数不存在最大值，当时，函数存在最大值； （iii）当时，， 由于当时，，当时，， 故我们只需要研究当时，函数是否存在最大值即可； 根据对勾函数性质可知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在这里我们又分三小种情况来讨论： 情形一：当，即时， 函数在上单调递减， 此时函数无最大值； 情形二：当，由的定义可知，此时本就不存在； 情形三：当，即时， 函数在上单调递增， 此时函数有最大值； 综上所述，当时，函数不存在最大值；当时，函数存在最大值；当时，函数存在最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$