精品解析：广东省湛江市廉江市第七中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2025年广东省初中毕业生学业模拟考试 数学试卷（一） 本试卷共4页，23小题，满分120分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 9的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. ﹣3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看到的图形为主视图，逐一判断即可． 【详解】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意； B、主视图为圆，不符合题意； C、主视图为等腰梯形，不符合题意； D、主视图为矩形，符合题意；   故选：D． 3. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为 ，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故该选项错误； B、a•a2=a3，故该选项正确； C、a6÷a2=a4，故该选项错误； D、（a2）3=a6，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则． 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 8. 如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 垂径定理可得，根据勾股定理求得的长，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ， 在中，， ∴， 故选：C． 9. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据 得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 10. 如图， 抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论中：① ；②若抛物线与x轴的另一个交点为，则；③；④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，正确理解题二次函数的图象与性质是解题的关键．根据开口以及对称轴即可判断符号，根据抛物线与y轴交点判断符号，即可判断①；由与x轴的一个交点在点 和 之间，记为，而对称轴为直线，则，再解不等式组即可判断②；将顶点代入解析式即可判断③；当；，将化为来判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， 对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴ ， 故①错误； ∵与x轴的一个交点在点 和 之间，记为， 而对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵顶点为， ∴代入解析式得：，而 ， ∴， ∴，故③正确； ∵当；， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 在九年级体育测试中，参加仰卧起坐测试的6名女生成绩如下（单位：次/分）：40，36，38，36，40，36，则这组数据的众数为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，由此即可得出答案，熟练掌握众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：在这组数据中出现了三次，出现的次数最多， 故众数是， 故答案为：． 12. 如图，数轴上表示的关于的不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用数轴表示不等式的解集，空心即为不取等号，在该点的左边即为小于该数，据此进行作答即可． 【详解】解：由图可知：数轴上表示的关于的不等式的解集是， 故答案为： 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，那么a的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式，，继而可求得a的范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 14. 计算：____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，先按照同分母分式相加法则进行计算，再把计算结果中的分子分解因式，最后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由菱形的性质、平行线分线段成比例定理可证明 是 的中位线，得到，进而证得，求出的长，得到的长，最终求出 的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后得到 的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是 的中位线， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，菱形的性质，同位角相等两直线平行，平行线分线段成比例定理，等式的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识点，过点作于点，证明并求出的长是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分， 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算，先化简二次根式，化简绝对值，计算零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ； 17. 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O，且与AB、CD分别相交于点E、F.则OE与OF相等吗？试说明你的理由． 【答案】OE=OF，证明见解析． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出OE=OF． 【详解】证明：OE=OF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，DC∥AB， ∴∠FDO=∠EBO， 在△DFO和△BEO中， ∴△DFO≌△BEO（ASA）， ∴OE=OF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定．解决此题关键是利用平行四边形的性质证明△DFO≌△BEO． 18. 深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间的关系可以近似地看作一次函数，设每月的利润为w（单位：元）（利润=销售额－投入）．如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？ 【答案】所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用以及不等式的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 先根据每月投入不超过20000元求出x的范围，再列出二次函数求最大值即可．． 【详解】解：由题意得，， ∴， 设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元， 由题意得，， ∵，， ∴当时，W取得最大值，最大值， 即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组： ， ， ， ， ） b.在 这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2） 这组有 名同学， 这组学生人数所占的百分比为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 【答案】（1）抽样调查，50； （2）14，； （3） 补全频数分布直方图如下： （4）104名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知本次调查采用的方式是抽样调查，用“ ”的频数除以对应的百分比可得样本容量； （2）用总人数减去其它组的人数即可得 组的人数，用 组学生人数除以总人数即可得所占的百分比； （3）根据题意可得“ ”和“ ”的频数，进而补全频数分布直方图； （4）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是： ； 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 解：成绩在 这一组的共有16名，成绩在 这一组的有50（名）， 这组学生人数所占的百分比为； 故答案为：14，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（名）， 答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名． 20. 如图，在四边形中， ，平分 ， ， ，． （1）求证 ； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作 的外接圆 （不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是 的切线． 【答案】（1） 证明： ， ，， ， ， 平分 ， ， ， ， 即 ； （2） 如图， 即为所求． 证明：连接 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 为 的半径， 是 的切线． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，则可得，由角平分线的定义可得 ，进而可证明 ，可得 ，即可得出结论． （2）作线段的垂直平分线，交于点，以线段 的长为半径画圆，即可得所求的 ；连接 ，根据角的等量代换证得 ，则 ，即可得 ，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ，则是直径，作线段的垂直平分线即可确定圆心；以线段 的长为半径画圆，即可得所求的 ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段垂直平分线和三角形的外接圆，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21. 图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身． （1）求 的度数； （2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据： ， ） 【答案】（1）； （2）在规定范围内， 延长HB交MN于点K，延长BH交PQ于点O， 由题意可知：四边形EFHO，EDHG是矩形，，， 又∵， ， 又∵， ， ， ∵因为规定范围为， ∴在规定范围内． 【解析】 【分析】（1）过点D作，所以，再利用已知条件求出，所以 ，进进一步可得， （2）延长HB交MN于点K，延长BH交PQ于点O，利用已知条件求出，进一步求出，可知在规定范围内． 【小问1详解】 解：过点D作， ，，， 又∵BD=40cm， ， ， ， 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，做辅助线构造直角三角形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线 与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】 直线与双曲线交于两点，与 轴分别交于点 ，试证明：． 小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线与双曲线交于两点，与 轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线 与双曲线交于两点，与 轴分别交于点 ．连接 ．若 的面积为，求的值． 【答案】轻松探究： 联立得， ， 在中，令，则， 又∵， ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 深入探究：成立，理由如下： 联立 ， ， 在中，令，则， 又∵ ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 模型应用：15． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： 轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系证明即可； 深入探究：仿照轻松探究证明即可； 模型应用：先求出，，则 ，可证明 是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则 是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得． 【详解】解：轻松探究：略 深入探究：略 模型应用：在 中，令，则；令，则， ∴ ， 是等腰直角三角形， ∴ 过点作轴的垂线交于点，则 是等腰直角三角形， 由前面可知， ， ∴， ， ， ， ． 23. 如图，已知四边形和四边形都是正方形，是对角线． （1）如图1，已知点在正方形的对角线上， 于点，于点． ①求证：四边形是正方形； ②直接写出的值为 ___________； （2）如图2，将正方形绕点逆时针方向旋转角，写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，延长交于点．若，，直接写出正方形和正方形的边长． 【答案】（1）①见解析，② （2），理由见解析 （3）正方形的边长为3，正方形的边长为 【解析】 【分析】（1）①先证明四边形是矩形，再证明，即可证明四边形是正方形；②先根据正方形的性质得到，并证明，再由平行线分线段成比例定理即可得到； （2）连接，根据旋转的性质得到，证明，得到，由此即可得到结论； （3）由，推出，由此可证，得到，设，则，可求出，则，，再由，求出，即，则，，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：①证明：四边形是正方形， ，， 、， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形；· ②解：由①知四边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接， 由旋转性质知， 在 和 中，，， ， ， ， 线段与之间的数量关系为； 【小问3详解】 解：，点、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 则由，得， ， ∴， ∴， ， ， 解得：，即，， ， 四边形是正方形， ， 综上，正方形的边长为3，正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中毕业生学业模拟考试 数学试卷（一） 本试卷共4页，23小题，满分120分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 9的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. ﹣3 D. 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（ ） A. B. C. D. 9. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图， 抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论中：① ；②若抛物线与x轴的另一个交点为，则；③；④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 在九年级体育测试中，参加仰卧起坐测试的6名女生成绩如下（单位：次/分）：40，36，38，36，40，36，则这组数据的众数为______． 12. 如图，数轴上表示的关于的不等式的解集是_____________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，那么a的取值范围是__________． 14. 计算：____________． 15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分， 16. 计算：． 17. 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O，且与AB、CD分别相交于点E、F.则OE与OF相等吗？试说明你的理由． 18. 深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间的关系可以近似地看作一次函数，设每月的利润为w（单位：元）（利润=销售额－投入）．如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组： ， ， ， ， ） b.在 这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2） 这组有 名同学， 这组学生人数所占的百分比为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 20. 如图，在四边形中， ，平分 ， ， ，． （1）求证 ； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作 的外接圆 （不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是 的切线． 21. 图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身． （1）求 的度数； （2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据： ， ） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线 与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】 直线与双曲线交于两点，与 轴分别交于点 ，试证明：． 小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线与双曲线交于两点，与 轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线 与双曲线交于两点，与 轴分别交于点 ．连接 ．若 的面积为，求 的值． 23. 如图，已知四边形和四边形都是正方形，是对角线． （1）如图1，已知点在正方形的对角线上， 于点，于点． ①求证：四边形是正方形； ②直接写出的值为 ___________； （2）如图2，将正方形绕点逆时针方向旋转角，写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，延长交于点．若，，直接写出正方形和正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $