猜押08 上海高考21题（解答压轴题）（5大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押08 上海高考21题（解答题） 考点 3年考题 考情分析 函数与导数 2025年春考 函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 2024年 用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 2023年 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 题型一 新定义问题 【例】．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 1．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 2．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 3．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】(1)，固着点 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 4．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递增，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 5．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 【答案】(1)是；答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）取，由函数新定义代入验证即可； （2）构造函数，求导分析单调性和最值，然后结合函数新定义可得； （3）由题意先将问题不是在上的“分割数对”等价于或恒成立，然后构造函数，求导后再将问题“恒成立”等价于“对任意，恒成立”，然后结合二次函数的性质令判别式小于等于零可得. 【详解】（1）是， 存在， 由函数新定义有满足. （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，函数为递减函数；当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， 若为在区间上的“分割数对”，既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为. （3）对任意，考虑， 则不是在上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，则， 所以，结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数有且仅有一个，则. 6．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无罪小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为． （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 7．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 8．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 9．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析，. 【分析】（1）根据条件数列，，，，具有性质“”，结合新定义列不等式求的取值； （2）假设存在，满足条件，根据定义列不等式，等价转化不等式可求结论； （3）先证明，再结合作差法和导数方法证明，，由此证明数列具有性质“”，再通过放缩求，比较其与的大小. 【详解】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； （3）令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．（2024·上海闵行·一模）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” (1)设，求的值； (2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； (3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可知有唯一解，由可求出结果； （2）求以及，研究的单调性，分析的图像，可得出的函数值中不存在值时的情况，列出等式可解出的取值； （3）从充分性以及必要性两种情况来证. 【详解】（1）由题设知：有唯一解， 即有唯一解，所以，解得：. 所以的值为. （2）， 当时，由可得：或，由可得：或， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，当时，，且，，画简图如下： 若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即， 解得：； 当时，，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为. （3）由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数. 充分性：若在上为严格增函数，则对， 有，即成立，则有； 必要性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数， 则对，都有，即成立， 与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数. 得证. 【点睛】思路点睛：若集合中有且仅有一个元素，等价于有唯一解，研究函数的单调性以及图像，判断有唯一解的情况即可. 11．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，，结合，求出函数的最值，得到值域； （2），，故对任意的恒成立，构造函数，，结合特殊点函数值，多次求导，由端点值效应得到时，满足要求，并得到时，不满足要求，得到答案； （3）得到，求导得到， 由的单调性，得到在上单调递增，又，故，两边同时除以得，证明出结论. 【详解】（1） ，， 因为，所以，，所以当， 即时，取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为2， 故函数值域为； （2），故，， ，， 对任意的恒成立， 令，， 则，其中，， 显然，令，， 则，， 令，， ， 令，则在上单调递减， 又在上单调递增， ，故在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 其中，若，即时，在上恒成立， 在上单调递增，， 故在上单调递增， ，满足要求， 若，则，故存在适当的，使得时，， 故在上单调递减，又， 故在恒成立，不合要求， 综上，实数的取值范围是； （3），， 由于，故， ， 因为在上是严格增函数，， 所以，， 故在上单调递增， 又，故在恒成立， 两边同时除以得， 由于为上的任意数，故函数在上是严格增函数. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 12．（2024·上海宝山·一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1)若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2)若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3)若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 【答案】(1)和是满足性质，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意将，代入，验证即可； （2）根据题意找到的驻点，代入，满足即可； （3）利用必要性可得，只需要去证充分性即可. 【详解】（1）.       所以和是满足性质. （2）由可知，驻点，                     又， 当时，不存在驻点； 当时，的驻点，                      由题意可知，                               解得， （3）的充要条件是.                       首先证明必要性： 当时，由题意可知不是常函数，所以， 因为和满足性质，所以，所以， 又是正整数，故.                        其次证明充分性： 由题意可知，，，且， ①  当（）时，可知. 否则，若存在（），有， 因为，所以与已知矛盾. 同理，，                           故， 所以，即. 同理，，得， 所以.                             ②当（）时，， 任意，有，又由①可知，. 若存在有，则， 所以. 由已知，其中， 于是有，矛盾，所以. 所以， 得， 因为，所以，从而，即. ③当（）时，， 任意，有，同理可得， 所以， 得， 因为，所以，从而，即. 综上， . （3）另解：（反证法） 由题意可知，，，且. ② 任意时，可知. 否则，若存在，使， 因为，所以与已知矛盾. 同理，.                          ②先证任意时，有. 反证，若存在，使. 若时， 则与已知矛盾. 若时， 则与已知矛盾. 由于，， 可得，任意时，有.                 ③下证任意时，有. 反证，若存在，使. 由于，可得存在满足. 则与已知矛盾. 综上，. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，（1）（2）问关键是理解函数的性质和性质，即可解出， 第（3）问利用必要性先得出的值，然后再将进行充分性证明，可以分类讨论，也可以利用反证法证出． 13．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. (1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)设函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 【答案】(1)不具有性质，具有性质 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论. （3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①，设，分、两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）不具有性质，理由如下： 取，有. 具有性质，理由如下： 对任意，， 有. （2）函数定义域为， 又， 所以是奇函数， 函数具有性质，故对，， 都有， 又为奇函数， 故，即是严格增函数，恒成立. 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得； 综合上述，实数的取值范围为. （3）因函数的定义域为， 要证明是奇函数， 只要证明对任意实数，即可. 对任意实数，设，则由具有性质知： 当时， ①， 设，当，即时，由①得， 即当时②， 当，即时，由①得， 即当时③， 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点， 即 ④ ， 由函数在上严格增，知：函数在上严格增； 所以由②知，由③知，故； 故由④得， 即对任意实数，均有， 因此，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题. 14．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的所有可能值为或 【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得； （2）结合定义可得，，即可得解； （3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得. 【详解】（1）不是关于的“函数”． 解法一：当时，，所以不存在，使得 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则， 不存在，使得； （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． 同理，由是关于的“函数”， 可得， 综上，； （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得， ①当时， ，， 从而，解得， 因唯一，令，解得(舍)或(舍)； ②当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； ③当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； 综上，的所有可能值为或． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论. 15．（2024·上海·三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【详解】（1）①是，对任意，，符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2）显然，设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）证明：充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足， 即，取， 则显然， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 16．（上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期学习能力诊断数学试卷）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图象上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函数的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 【答案】(1)是，不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的最大值是 【分析】（1）根据题意，由“类数”的定义分别计算判断和，可得结果. （2）因为，所以存在，使得且，由的连续性结合零点存在性定理可证明. （3），由的“类集”为以及的值域为可证明，再证明，由此可求出的最大值是. 【详解】（1）， 是函数的“类数”； ， 不是函数的“类数”. （2）因为函数的“类集”为集合，且， 所以存在，使得且， 若，则，所以， 因为函数的图象是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在使得， 所以存在零点，即. （3），则. 先证明： 因为函数的“类集”为， 所以对任意， 令，则， 因为函数的值域为， 所以当时，必有， 即对于恒成立， 所以函数的最小正周期应有，即，则. 再证明，此时，对于任意. 当时，，则； 当时，，则， 所以时函数的“类集”为，即. 我们不难发现，上述过程中令也成立.因此，的最大值是. 【点睛】思路点睛：（1）第二问由，可知必存在不是“类数”，即且，结合图象的连续性和零点存在性定理， 可知必存在使的零点.（2）由三角函数的值域可知，因为函数的“类集”为，则当时，必有，结合三角函数的对称性，当时，有最大值，所以只需证明可求出的最大值. 17．（2024·上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 【答案】(1)证明见解析，为相应的值； (2)不存在值，理由见解析，存在值，是相应的值点； (3)值为，值点为. 【分析】（1）根据正弦函数的值域和值的定义即可证明； （2）计算即可判断，对取，再利用值的定义即可判断； （3）分析得函数的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可. 【详解】（1）函数的定义域为.对，以及任意， 由及知， 即，所以是函数的一个值点，为相应的值. （2）函数的定义域为. 对任意，取，仍有，但， 所以函数不存在值. 函数的定义域为. 由易知， 当时，对任意，均有，即； 又对任意，取， 则， 即，所以是函数仅有的一个值， 是相应的值点. （3）函数的定义域为， 由题设，该函数存在值，设相应值点为， 则即对任意成立， 故函数的值即为最大值，值点即最大值点. ，令得， 显然当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无最大值，舍去， 所以，解得，列表如下： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以若函数存在值， 则值为，值点为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用值的定义分析得的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出山最值即可. 18．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可； （2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可； （3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可． 【详解】（1）由，且， 得，即， 则， 即 ， 即 ， 则函数与“具有性质”. （2）由函数与“具有性质”， 得，，且， 即， 整理得， 则对恒成立， 又，， 则，，即， 则，即所求的的取值范围为. （3）由函数在有两个零点，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，                           即， 令，即， 记，即， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间是减函数，在上是增函数. 要证，即证， 不妨设，即证， 只需证， 即证， 设，即， 因为， 所以函数在是减函数，且， 又，则， 即，则得证， 故 . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式． 19．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】(1)区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【详解】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 20．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【详解】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键. 21．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）当时，利用数学归纳法证得排除该可能；当，同理证得，从而利用换元法即可得解. 【详解】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； 和角公式：， 故； 导数：，； （2）构造函数，， 由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3）当时，存在，使得， 由数学归纳法证明：，证明如下： ①当时，成立， ②假设当（为正整数）时，， 则成立. 综上：. 所以，有，即. 当时， ， 而函数的值域为， 则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测. 证明如下： 类比时的数学归纳法，设， 易证，，，，， 所以若， 设，则，解得：或，即， 所以，于是. 综上：存在实数使得成立. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 22．（2023·上海浦东新·二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】(1)是函数的一个1度点；不是函数的1度点 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 23．（2024·上海·三模）设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于． (1)设，，写出所有与“相关”于的整数； (2)设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于； (3)是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，的取值范围是 【分析】（1）直接根据定义解不等式即可； （2）根据定义可以确定中至多有两个非零数，再直接推知结论； （3）对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定的取值范围，并得到. 【详解】（1）若要整数与“相关”于，即： 由于，故这等价于. 即，得到满足条件的全部为. （2）由题意知，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数. 这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数. 所以这十个数中至多有两个数不等于零. 假设不全为零，不全为零，也不全为零. 那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾. 所以必定存在整数，使得. 此时，所以都与“相关”于. （3）原条件等价于下列两个命题之一成立： ①存在使得，且集合是非空有限集； ②存在使得，且集合是非空有限集. 设，则，从而当时，当时. 所以在上递增，在上递减，从而. 对求导可得. 若，则当时，由且知； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立； 若，则当时， 得； 当时，由有 . 所以在上递减，从而对有. 所以对任意都有，从而命题①不成立；而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立； 若，则当时，由， 得； 当时，由知，从而 ， 故，从而一定是有限集. 而，，， 所以，从而一定是非空有限集. 同时，上面已经证明，所以此时命题②成立； 若，则当时，有； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立. 综上，的取值范围是，且此时存在使得，且集合是非空有限集. 这表明对每个满足条件的，都有. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对命题进行转化，并使用分类讨论方法求出取值范围. 24．（2024·上海·三模）若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”. (1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)3； (2)； (3)存在，唯一一个. 【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解. （2）求出函数在处的切线方程，再利用的定义求解即得. （3）求出函数的导数，由曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系并求解即得. 【详解】（1）依题意，该切线的斜率为，因此. （2）由，求导得， 则曲线在处的切线方程为：， 令，整理得， 此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即， 所以曲线的切线仅有一条，为. （3）由，得曲线在点处的切线方程为： ，即， 令， 求导得，由，得， 对，当时，为严格增函数； 当时，为严格减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0， 函数所有的极小值为， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线为切线， 等价于有三个零点，等价于，即有解， 令，则， 因此为上的严格增函数，因为， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 25．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 26．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 27．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断. （2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得. （3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【详解】（1）显然直线切的图象于点， 直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”； 对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图象不存在“自公切线”. （2）由恒成立，且仅当时， 则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令， 由的图象是连续曲线，且， 因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且， 使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设， 切线，， 有相同截距，即，而， 则，即， 则有，即，令，， 即函数在上单调递增，，因此当时，， 即在上无解， 所以的图象不存在“自公切线”. （3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定， 又在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”， 则，又，则， 所以，且，从而存在， 使得，代入，可得，则，即是数列中的项； 反之，若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知， 令，则且， 即，可得，所以存在， 使得点与是函数的图象的一对“同切点”. 所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 题型二 利用导数的几何意义求出切线方程. 【例】（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【答案】(1)有2个元素，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）求的解即可得到答案. （2）根据两曲线的位置关系，先求的值，再结合导数的几何意义求曲线的切线方程. （3）先把问题转化成恒成立，再求函数的最小值即可. 【详解】（1）由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. （3）对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 1．（2024·上海宝山·二模）函数的表达式为. (1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； (2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列； (3)已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由函数零点的意义可得，按分段，结合导数讨论函数值的情况即可得证. （3）求出函数的周期及在上的最大值，结合的奇偶性确定的最值情况，推理导出矛盾得解. 【详解】（1）当时，，求导得，则， 所以直线的方程是. （2）由，得，则，令，得， ①当时，，此时函数没有零点； ②当时，由，知在上严格单调递增，在严格单调递减， 又在上严格单调递增，在严格单调递减， 因此时，在时有最小值，在时有最大值， 因为， 所以在上没有交点，即在上没有零点； 于是函数的零点满足， 因为在严格减，所以， 又因为，所以数列是严格减数列. （3）因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为任意，当时，都有且， 所以当时，在上有唯一的最大值， 由，得，，， 假设存在，使得成立， 即成立， 故当时，取得最大值； 当时，取得最大值， 由，可知 ①时，， 又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值， 故当时，取得最小值； 当时，取得最小值， 由，可知 ②时，， 若成立， 则由①②得：，即， 因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立， 因此当时，不存在，使得成立. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 2．（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数. (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？ (3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)恒成立，理由见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论； （3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性，再整理即可得出结论. 【详解】（1）由题可知，， 所以切线的斜率为， 且， 所以函数在点的切线方程为，即； （2）由题可知， 又因为定义域上对任意的实数满足， 所以，即， 当且时，， 当时，， 当时，； （3）因为函数在定义域上是奇函数，所以， 所以，所以，所以是偶函数， 因为，所以， 即，即， 因为，所以，即， 所以是周期为的函数， 所以， 所以. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下： （1）对函数求导得； （2）计算切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程. 3．（2024·上海崇明·二模）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，．求证：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明； （3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以曲线在点处的切线方程为.； （2）由，得：，令，则， 原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以； （3）由题意可知，，所以， 当时，，所以函数在区间上严格减， 当时，，所以函数在区间上严格增， 因为，所以，， 以此类推，当时，， 又， 所以函数在区间上严格减， 当时，，所以， 所以，即，故. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较. 题型三 函数极值、最值综合问题 【例】（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析. 【分析】（1）当时，求得，分和，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值； （2）根据题意，分别结合和，列出方程求得的值，即可得到结论； （3）根据题意，得到当时，函数有对称中心，且时，对于任意的，都有，并且． 【详解】（1）解：当时，函数 ，可得， 若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值； 若时，令，可得， 当时，，函数在上为严格减函数； 当时，，函数在上为严格增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值． 综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值． （2）解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有” 即对于任意的，都有，并且； 即对于任意的，，可得， 所以是为偶函数的充要条件． 因为“为奇函数”“对于任意的，都有”， 即对于任意的，都有，并且， 即对于任意的，，可得， 所以是为奇函数的充要条件， 当时，是非奇非偶函数. （3）解：①当时，函数有对称中心， 当时，对于任意的，都有，并且． 证明：当时，令，解得为函数的零点， 由， 可得； ② 答案1：当时，函数有对称轴． 即当时，对于任意的，都有，并且， 参考证明：当时，由， 可得， 答案2：当时，的图象关于y轴对称， 即对于任意的，都有， 答案3：当时，函数的零点为，即 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 1．（2023·上海青浦·一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记． (1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值； (2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程； (3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)存在，满足条件. 【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答. （2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答. （3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答. 【详解】（1）依题意，，，，， ，因此，，即， 所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5. （2）由（1）知，，， ，求导得，显然函数单调，当时，有唯一零点， 当时，，当时，，因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意， 即，方程两边同时加上得，即， 所以点在一定直线上，该直线方程为. （3）当，时，方程无解，因此要使，必有, ①当时，，即，解得， 而当时，时，，函数单调递减，无极值点， 严格递减，无极值点，且，当时，，当时，， 在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点， 又，则恒成立，有单调递减，无极值点， 综上得存在，满足条件， ②当时，，即，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，解得，有， 单调递减，当时，，当，，当时，， 在上严格递增，在上严格递减，而，， 则存在，使得，在上，，在上，在上，， 则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两个极值点，不符合题意，因此， 所以存在，满足条件． 【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同． 2．（2024·上海·三模）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. （2）方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. （3）证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 3．（2023·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)只有1个，理由见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数. 【详解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 题型四 利用导数研究不等式的恒成立与有解问题 【例】（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数 (2)； (3). 【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数. （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 故和上，单调递增，上，单调递减， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 1．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导函数零点，通过导函数的符号求解单调区间； （2）整体换元转化为二次函数的最小值问题，根据轴与区间关系分类讨论可求； （3）先证明辅助结论，再利用结论分别证明“当时，恒成立”与“对任意的，都存在，使”两个命题成立，即可得范围. 【详解】（1）由，， 则，令，解得， 当时，，则双曲余弦函数在单调递增； 当时，，则双曲余弦函数在单调递减； 所以函数的单调增区间是． （2）. 令， 所以在上是严格增函数， 则当时，， 函数， 当时，严格增，，舍去， 当时，，解得. 综上所述，实数a的值为. （3）①证明， 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 故，得证. ②证明， 令， 令为偶函数. 令，且， 则当时，由①结论可知，， 则，即当时，， 由偶函数性质得，从而单调增，又， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 从而，即有． ③再证明：任意，当时，恒成立. 设，，其中， 当时，，成立； 当时，，在单调递增， 则，由②已证， 故， 即任意，当时，恒成立. ④再证明对任意的，都存在实数，使得. 令， 令为偶函数， 令， 则当时，， 所以单调递增， 由于，所以，且当， (由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时.) 所以存在，使得， 从而当时，，即，则在单调递减； 当时，，即，则在单调递增； 又时，， 所以存在，使得， 即有当时，，即，则在时单调递减； 当时，，即，则在时单调递增； 又时，， 所以存在，使得，当时，. 对任意的，都存在，使得，得证. 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解决本题中第（3）问恒成立问题的关键，是两次构造中间函数证明不等式，一是引入中间函数（一次函数）证明，从而证明得以判断导函数符号；二是引入主元变换引入以参数为自变量的函数，构造中间函数，通过证明，利用单调性可得，从而当时，恒成立得证. 2．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解； （2）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证； （3）根据题意，得到，结合，把转化为，设，利用导数求得的单调性和最大值，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，函数，且， 可得，则， 所以，又因为， 所以在处的切线方程为， 又因为函数在处的切线过原点，可得， 解得. （2）解：设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. （3）解：当时，即证， 由于，所以，只需证， 令，只需证明， 又由， 因为，可得，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也时最大值，所以， 即，即时，不等式恒成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 3．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【答案】(1)是，理由见解析； (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解； （2）根据与为相关函数对，由成立求解； （3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可. 【详解】（1）解：若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； （2）因为与为相关函数对， 所以， 令，，当时，；当时，， 所以是极小值点，， 所以， 所以； （3）假设对任意均存在， 均有， 则取，，，使得， 对任意，，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：，由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在实数，使得对任意，均有． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证. 4．（2024·上海嘉定·二模）已知常数，设， (1)若，求函数的最小值； (2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． (3)求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案． （2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案． （3）由，借助换元法，令，可得，分别证明充分性和必要性，即可得出答案． 【详解】（1）当时，，则， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以； （2）若、、依次成等比数列，则， 若、、成等差数列，则， 所以， 所以， 当时，成立， 当时，则，联立，得， ，即， 所以，与矛盾， 所以时，存在，，满足条件， 当时，不存在，，满足条件； （3），则， ， 所以， 又 ， 令， 上式 ， 令，则恒成立，单调递减， 所以， 充分性：若，则，则恒成立， 必要性：要使得式恒成立，则恒成立，即． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对“对任意，，都有”的转化，借助换元法，可得其等价为“对任意，，都有，其中”. 5．（2023·上海闵行·三模）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，根据题意得到方程组，即可求解； （2）把转化为即对任意恒成立，设，设，利用导数求得函数在单调性，结合，即可求解； （3）解法1：由不等式，推得，进而利用累加法，即可得证；解法2：由，得到，结合累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数，可得，所以，. 又由，所以，解得. （2）若，可得， 则，则不等式可化为， 即对任意恒成立， 令，则，设函数，可得， 因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增， 所以，故，即实数的取值范围为. （3）解法1：由， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当时等号成立. 因此有， ， ， 以上个式子相加得： . 解法2：由， 可得， 当且仅当时等号同时成立. 故， ， ， 以上个式子相加得： . 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 题型六 导数的其它应用 【例】．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)证明：当时，； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导确定最值即可求解； （2）构造函数，求导确定极值，讨论极值正负，即可； （3）假设直线，设直线与曲线相切于点，由导数的几何意义得.①再由直线与曲线相切，.②联立得得到.再构造函数，求导确定单调性进而可求解； 【详解】（1）令，定义域为， 求导，得，令，解得. 当时，，函数严格减； 当时，，函数严格增； 故当时，函数取到最小值，最小值为2. 因为，所以当时，，即. （2）令，， 求导，得，令，解得. 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减； 故当时，函数取到极大值，极大值为. 当，即时，函数无零点，即原方程无实数解； 当，即时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解； 当，即时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解. （3）假设直线与曲线、均相切， 故不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到. 设直线与曲线相切于点，于是， 且，消去得.① 又直线与曲线相切，于是， 且其判别式.② 由①②两式，消，得. 设， 求导，得，令，解得. 易得函数在区间上严格减，在区间上严格增. 又，，， 进而可得函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内. 综上，有且只有两条直线与曲线、均相切. 【点睛】关键点点睛：设直线，由公切线得到，构造函数，求导确定零点个数. 1．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 2．（2024·上海青浦·一模）已知函数，其中 . (1)求函数的单调区间； (2)设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; (3)证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）利用反证法，先假设存在，化简后得出矛盾即可证明； （3）构造新函数，原题转化为求证新函数的最小值不小0即可. 【详解】（1）定义域为，， 显然在上严格增，且. 所以当时，；当时，. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），假设存在三点满足条件， 设三点的横坐标分别为 则，， 即，即，令，则， 当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾， 所以不存在满足条件的三点. （3）令，只需证明当时，恒成立. 由， 当时，显然严格增， 当是，分两段， ①当时，，所以； ②当时，， 令，则，再令， 则，当时，，所以单调递增， 所以，即，所以单调递增， 所以，所以，， 综上可知，， 所以 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方. 【点睛】关键点点睛：第三问中，图象位置关系转化为函数之差的最小值不小于0即可，再构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证. 3．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 【答案】(1) (2)1 (3)见详解 【分析】（1）由题意可知，即不等式的解集，解此不等式即可得到结果； （2）构造函数，可知即的解集，将集合只有一个元素，转化为方程有唯一解，且函数在该点处与轴相切.再借助导数，求即可求出的值 （3）构造函数，可知即的解集，求导，令，解得两根和1，通过讨论两根的大小情况，来研究的正负，进而研究的单调性，通过的正负来说明的解集，即集合必是一个区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 可化为，整理可得， 即，解得或， 所以. （2）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 令，所以即的解集， 若集合只有一个元素，即方程有唯一解， 且函数在该点处与轴相切. 因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增， 所以，无解，故不成立； （ii）当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 即，解得. 经检验，当时， ， 所以只有一个解，且， 符合题意，故a的值为1； （3）函数的定义域为， 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集 令， 则， ①当时，恒成立，单调递增，当 所以的解集，即集合必是一个区间； ②当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； ③当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； 4．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 5．（上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，化简并解一元二次不等式求； （2）构造，对其求导并讨论、研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）从充分、必要性两方面判断“函数是上的严格增函数”与“”的推出关系，即可证结论. 【详解】（1）由题设，将化简得，解得，故. （2）因为，代入定义得：， 构造函数， 故，令， 当时，存在，；所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间， 因此， 特别地，当时，，，，故仍是一段闭区间， 故. 当时，当且仅当时，. 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且. （3）假设，若，则，因此矛盾，故， 先证必要性： 因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此，因此必要性得证； 再证充分性： 引理：对任意，当满足时，， 已知，. 假设，设，任取，，则， 因为函数是严格增函数，所以，即， 所以，由此， 因此考虑构造，当，则， 而，函数是严格减函数，，故矛盾， 即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，， 联立上式可得. 而，，又因为是严格减函数， 则.由于，， 所以，故. 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，因此充分性得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化求证“函数是上的严格增函数”与“”互为充要关系. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押08 上海高考21题（解答题） 考点 3年考题 考情分析 函数与导数 2025年春考 函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 2024年 用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 2023年 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 题型一 新定义问题 【例】．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 1．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 2．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 3．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 4．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 5．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 6．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 7．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 8．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 9．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 10．（2024·上海闵行·一模）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” (1)设，求的值； (2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； (3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 11．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 12．（2024·上海宝山·一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1)若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2)若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3)若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 13．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. (1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)设函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 14．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 15．（2024·上海·三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①；    ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 16．（上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期学习能力诊断数学试卷）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图象上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函数的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 17．（2024·上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 18．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 19．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 20．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 21．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 22．（2023·上海浦东新·二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 23．（2024·上海·三模）设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于． (1)设，，写出所有与“相关”于的整数； (2)设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于； (3)是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 24．（2024·上海·三模）若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”. (1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由． 25．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 26．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 27．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 题型二 利用导数的几何意义求出切线方程. 【例】（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 1．（2024·上海宝山·二模）函数的表达式为. (1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； (2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列； (3)已知定义在上的连续奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由. 2．（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数. (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？ (3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 3．（2024·上海崇明·二模）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，．求证：当时，． 题型三 函数极值、最值综合问题 【例】（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 1．（2023·上海青浦·一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记． (1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值； (2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程； (3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 2．（2024·上海·三模）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 3．（2023·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 题型四 利用导数研究不等式的恒成立与有解问题 【例】（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 1．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 2．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 3．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 4．（2024·上海嘉定·二模）已知常数，设， (1)若，求函数的最小值； (2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． (3)求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件． 5．（2023·上海闵行·三模）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 题型六 导数的其它应用 【例】．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)证明：当时，； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 1．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 2．（2024·上海青浦·一模）已知函数，其中 . (1)求函数的单调区间； (2)设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; (3)证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 3．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 4．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 5．（上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$