专题4.13 全等三角形几何模型（13大模型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题4.12 全等三角形几何模型（13大模型）（方法梳理与题型分类讲解）
【一】巩固基础篇
【题型1】共边等角模型........................................................1
【题型2】共角等边模型........................................................3
【题型3】 8字模型............................................................5
【题型4】双垂直等模型........................................................8
【题型5】四边形外角等于内对角（四点共圆）模型...............................12
【题型6】等边三角形等线段构造三角形全等产生60度模型........................13
【题型7】倍长中线模型.......................................................15
【题型8】一线三等角模型.....................................................18
【题型9】半角模型...........................................................21
【题型10】角平分线模型......................................................24
【题型11】手拉手模型........................................................28
【二】拓展培优篇
【题型12】一线三垂直与一线三等角模型探究....................................33
【题型13】手拉手模型探究....................................................38
【题型14】半角模型探究......................................................46
第二部分【题型展示与方法点拨】
【一】巩固基础篇
【模型1】共边等角模型
1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、证明，得，进一步得出，即可得出结论；
解：∵，
∴
又，，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，若，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，再利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5．
3．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）如图，是的角平分线，．求证：．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，根据可证．
解：证明：是的角平分线，
，
在和中，，
．
【模型2】共顶点等边模型
1.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：．
【答案】见分析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．先证，推出，，求出，证，根据全等三角形的性质推出即可．
解：证明：∵，，
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，即．
∵，，，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知在和中，，，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而可证，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：证明：∵，
，
即，
又，
，
．
3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，．
（1）试说明：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）由得出，进而根据已知条件证明；
（2）由（1）证得，根据全等三角形的性质得出，进而得出结果．
解：（1）证明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）证得，
∴
∵，
∴°．
【模型3】8字模型
1.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）（填空题，其中括号里填写推理依据）如图，，相交于点O，．求证：．
分析：要证，只要证 ______．
证明：
在与中，
∴______（_______），
∴（_______）．
【答案】；已知；；；对顶角相等；；已知；；；全等三角形的对应角相等
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，结合图形特点，抓住对等角相等这一关键性隐含条件证明即可．
解：分析：要证，只要证 ．
证明：
在与中，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：；已知；；；对顶角相等；；已知；；；全等三角形的对应角相等．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）和的位置如图，点A在的边上，与相交于点F，且，，猜想与有怎样的数量关系．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质并结合题意可得，证明，再证明，即可得解．
解：∵，，，，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，与相交于点．求证：．
【答案】见分析
【分析】本题综合考查了全等三角的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形．先证明，再证明，最后根据全等三角形的性质可得结论．
解：证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
【模型4】双垂直等角模型
1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是等腰直角三角形，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，．设点P的运动时间为t秒．当时，则t的值为 ．
【答案】2或6
【分析】此题考查三角形的综合题，关键是掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，然后分两种情况，利用线段之间关系求解即可．
解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
当时，当时，，
解得：，
当时，当时，，
解得：，
综上所述，t的值为2或6，
故答案为：2或6．
2.（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
（1）发现问题：如图1，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；
（2）尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．
②并进行证明．
【答案】（1）①，；②见分析；（2）①；②见分析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
（1）①证明，得出，，再求出，即可得解；②由全等三角形的性质即可得解；
（2）①结合图形进行猜想即可得解；②证明，得出即可得证．
解：（1）解：由题意可得：，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②证明：由①可得：，
∴；
（2）解：①中，，之间的数量关系式为；
②证明如下：由题意可得：，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
3．2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
连接，根据正方形的性质求得，，由得到，通过“”证明，即可解答．
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵由旋转得，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【题型5】四边形外角等于内对角（四点共圆）模型
1．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，角度和差等知识，过作，交延长线于点，通过角度和差得，根据四边形的内角和得，从而证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
解：如图，过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形的面积的面积，
故答案为：18．
【题型6】等边三角形等线段构造三角形全等产生60度模型
1.（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，BC上，若BD＝CE，则∠1的度数为 °．
【答案】60
【分析】根据题干条件：AC＝CB，CE＝BD，∠ACD＝∠B可以判定△ACE≌△CBD，即可得到∠CAE＝∠BCD，又知∠1＝∠ACD＋∠CAE，故知∠1＝∠CAE＋∠ACD＝∠ACB．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACB＝∠ABC＝60°．
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠1＝∠ACD＋∠CAE，
∴∠1＝∠ACD＋∠CAE＝∠ACB＝60°．
故答案为：60．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角和定理等知识，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质定理．
2．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则 ．
【答案】/120度
【分析】由“”可证≌，可得，即可求解．
解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，，交于点，．
（1）由此可判定 ；
（2）的度数为 ．
【答案】
【分析】（1）由，，，直接证明即可；
（2）证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
解：（1）∵，，，
∴．
（2）∵，
∴，而，
∴．
故答案为：，
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的证明是解本题的关键．
【题型7】倍长中线模型
1.（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键．
延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．
解： 延长到E，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴．
故选：B．
2．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，，，，，点M为的中点，， ．
【答案】6
【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．
解：证明：延长AM至N，使，连接，
∵点M为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
3．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【答案】见分析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论．
解：证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【题型8】一线三等角模型
1．3．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，，若，则 ．（用含α的式子表示）
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用得到，利用全等三角形对应角相等得到，利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于α的关系式，即可表示出．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故答案为：．
2．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四边形的面积等知识点，证得是解题的关键．
先证明可得，然后根据四边形的面积为，最后运用三角形的面积公式即可解答．
解：∵、，
∴，,
∵，
∴，
∴，
在和中，、、，
∴，
∴
∴四边形的面积为．
故答案为．
3．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．过点C作于M，证明，可得，，进而证明，可得H为的中点，即可求解．
解：过点C作于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型9】半角模型
1．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，则图中线段、、之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【题型10】角平分线模型
1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积为 ．
【答案】/12平方厘米
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，延长交于点D，证明，推出，进而可得，通过即可求解．
解：如图，延长交于点D，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
2．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为的平分线上一点，于点，，则，则 ．
【答案】
【分析】作于点，根据角平分线的性质可得，再由可得，即可证明得到，即可证明，求解即可．
解：作于点，
∵为的平分线上一点，于点，
∴，，
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．
【答案】/度
【分析】在上取，连接，，首先利用证明，得，，再证明，进而可得．
解：在上取，连接，，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
、的平分线相交于点，
平分，
．
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（22-23八年级上·四川南充·期中）如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为 ．
【答案】
【分析】在取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解．
解：在取，连接，
，
，
点P是平分线上的一点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒
【题型11】手拉手模型
1．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，在和△OCD中，，，，连接，交于点，连接．则的度数为 °．
【答案】140
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可得到结论．
解：，
，
即，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
故答案为：140．
2．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
解：∵DAB=CAE
∴DAB+BAC=CAE+BAC
∴DAC=EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴ADC =ABE
设AB与CD交于G点，
∵AGD =BGC
∴DOB=DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
3．（20-21八年级上·江苏泰州·期中）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】利用等边三角形的性质证明可判断①，利用，可得利用三角形的外角的性质可得 从而可判断③， 再结合等边三角形的性质证明可判断②， 由可得：，结合可得，从而可判断④．
解：如图，记与的交点为，
∵与都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∵点B、C、E在同一条直线上，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°
在和中，
∴，
所以结论①正确；
∵，
∴∠BDC=∠CEA，
∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°， 所以③错误；
在和中，
，
∴，
∴所以②正确；
，
∵CG=CF，∠ACD=60°，
∴∠GFC=60，
又∵∠DCE=60°，
∴∠GFC=∠DCE，
∴GF∥BC，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件．
4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．结论正确的序号的有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用全等三角形的判定定理中的可得出，由全等三角形的对应边相等得到；
②由得到一对角相等，再由等腰直角三角形的性质及等量代换得到；
③由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
④由全等三角形的对应角相等可知：，根据三角形的外角定理得出， 即可解答．
解：①∵，,,
∴，,
即．
∵在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④个．
故答案为：①②③④．
【二】拓展培优篇
【题型12】一线三垂直与一线三等角模型探究
1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
如图，过点E作垂直交于点G，然后证明可得，进而得到，再证明得到即可证明结论．
解：证明：如图，过点E作垂直交于点G，
∵，
∴
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴点F是的中点．
2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和．
【答案】（1）见分析；（2）成立，见分析；（3）8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键．
（1）先证明，，然后根据即可证明；
（2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
（3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果．
解：（1）∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）成立，证明如下：
∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴，，
∴，，
∴．
（3）同（2）可证，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴与的面积之和为8．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【答案】（1）；（2）见分析；（3）
【分析】（1）由即可求解；
（2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可；
（3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解．
解：（1）解：∵
∴
故答案为：；
（2）证明：作
由“K字模型”可得：
∴
即：点G是的中点
（3）解：作，如图：
∵四边形和四边形均为正方形
∴
由“K字模型”可得：
即：
∵
∴
【点拨】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
【题型13】手拉手模型探究
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．
（1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论；
（2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的；
（3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度．
【答案】（1）证明见分析；（2）他们的猜想正确，证明见分析；（3）．
【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论；
（）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）证明：过作于，过作交延长线于点，则，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：过作交的延长线于，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，．
（1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；
（2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；
（3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____．
【答案】（1）点到直线的距离为1；（2）证明见分析；（3）或6．
【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解；
（2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明；
（3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可．
解：（1）解：作交于，则，
，
，
，
，
，
又，
，
，
点到直线的距离为1．
（2）作交直线于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，
下面分2类情况讨论：
①若在线段上，同（2）作辅助线，
由（2）得，，，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得：，
；
②若在延长线上，同（2）作辅助线，
同①可得：，
设，则，
，，
，
解得：，
．
综上所述，的长为或6．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生．
3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）观察猜想
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）类比探究
如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
（3）解决问题
运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米．
【答案】（1）；；（2），理由见分析；（3）米．
【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得；
（）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证；
（）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可；
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
解：（1）解：∵和都是等腰直角三角形,
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形，
同（）同理可证：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴（米），
∴米，
故答案为：．
【题型14】半角模型探究
1．（19-20八年级上·黑龙江佳木斯·期中）【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长
【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见分析；【学以致用】10
【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论．
解：（1）解：如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
∵，
，
，，
∵，，
，
在和中，
∵，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）解：结论仍然成立；
理由：如图2，延长到点G．使．连接，
，，
在和中，
∵，
，
，，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长到点G，截取，连接，
在与中，
，
，
，．
，，
，
．
在与中，
，
，
，
的周长．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____．
（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明）
【答案】（1）图见分析，，，；（2）成立，证明见分析；（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．
解：（1）解：补全图形，如图：
解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为；
故答案为：，，；
（2）解：成立，证明如下：
延长到点，使，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上取一点，使，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知在四边形中，，．
【初步探察】（1）如图1，若，、分别是边、上的点，线段、、FD之间的关系是________；
【灵活运用】（2）如图2，，、分别是边、上的点，，，．求的周长．
【延伸拓展】（3）如图3，，，、分别是边、延长线上的点，判断线段、、之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）14；（3），见分析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解；
（2）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解；
（3）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，即可得解．
解：（1）如图1，延长至，使，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长至，使，连接，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
周长为
（3）如图3，，理由如下：
延长至，使，连接，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1
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专题4.12 全等三角形几何模型（13大模型）（方法梳理与题型分类讲解）
【一】巩固基础篇
【题型1】共边等角模型........................................................1
【题型2】共角等边模型........................................................2
【题型3】 8字模型...........................................................3
【题型4】双垂直等模型........................................................4
【题型5】四边形外角等于内对角（四点共圆）模型................................5
【题型6】等边三角形等线段构造三角形全等产生60度模型.........................5
【题型7】倍长中线模型........................................................6
【题型8】一线三等角模型......................................................7
【题型9】半角模型............................................................8
【题型10】角平分线模型.......................................................8
【题型11】手拉手模型.........................................................9
【二】拓展培优篇
【题型12】一线三垂直与一线三等角模型探究....................................10
【题型13】手拉手模型探究....................................................11
【题型14】半角模型探究......................................................13
第二部分【题型展示与方法点拨】
【一】巩固基础篇
【模型1】共边等角模型
1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，若，则的长为 ．
3．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）如图，是的角平分线，．求证：．
【模型2】共顶点等边模型
1.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：．
2．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知在和中，，，．求证：．
3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，．
（1）试说明：；
（2）求的度数．
【模型3】8字模型
1.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）（填空题，其中括号里填写推理依据）如图，，相交于点O，．求证：．
分析：要证，只要证 ______．
证明：
在与中，
∴______（_______），
∴（_______）．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）和的位置如图，点A在的边上，与相交于点F，且，，猜想与有怎样的数量关系．
3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，与相交于点．求证：．
【模型4】双垂直等角模型
1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是等腰直角三角形，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，．设点P的运动时间为t秒．当时，则t的值为 ．
2.（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
（1）发现问题：如图1，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；
（2）尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．
②并进行证明．
3．2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型5】四边形外角等于内对角（四点共圆）模型
1．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ．
【题型6】等边三角形等线段构造三角形全等产生60度模型
1.（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，BC上，若BD＝CE，则∠1的度数为 °．
2．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则 ．
3．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，，交于点，．
（1）由此可判定 ； （2）的度数为 ．
【题型7】倍长中线模型
1.（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，，，，，点M为的中点，， ．
3．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【题型8】一线三等角模型
1．3．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，，若，则 ．（用含α的式子表示）
2．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于 ．
3．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ．
【题型9】半角模型
1．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，则图中线段、、之间的数量关系为 ．
【题型10】角平分线模型
1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积为 ．
2．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为的平分线上一点，于点，，则，则 ．
3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．
4．（22-23八年级上·四川南充·期中）如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为 ．
【题型11】手拉手模型
1．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，在和△OCD中，，，，连接，交于点，连接．则的度数为 °．
2．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（20-21八年级上·江苏泰州·期中）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是 ．（填序号）
4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．结论正确的序号的有 ．
【二】拓展培优篇
【题型12】一线三垂直与一线三等角模型探究
1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点．
2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【【题型13】手拉手模型探究
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．
（1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论；
（2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的；
（3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度．
2．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，．
（1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；
（2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；
（3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____．
3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）观察猜想
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）类比探究
如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
（3）解决问题
运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米．
【题型14】半角模型探究
1．（19-20八年级上·黑龙江佳木斯·期中）【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长
2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____．
（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明）
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知在四边形中，，．
【初步探察】（1）如图1，若，、分别是边、上的点，线段、、FD之间的关系是________；
【灵活运用】（2）如图2，，、分别是边、上的点，，，．求的周长．
【延伸拓展】（3）如图3，，，、分别是边、延长线上的点，判断线段、、之间的数量关系，并证明．
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