解三角形、数列、导数大题层级题组专练-2025届高三数学二轮复习专题

高三数学解三角形、数列、导数抢分大题二轮专题层级题组特训 2025年4月23日 一、解三角形层级问题题组 1．（2025·青海西宁·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 【难度】0.85 【详解】（1）因为，则，且，化简得． 由余弦定理得，即，可得，所以的面积为． （2）由及正弦定理得，因为，即， 化简得，所以． 2．（2025·陕西商洛·三模）已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求；(2)若，求外接圆的面积． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 3．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值． 【难度】0.65 【详解】（1）因为，由正弦定理可知，由余弦定理可得，即，解得，故． （2）由及，得，由正弦定理，得，解得． （3）由（2）得，所以．所以． 所以 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积；(2)求证：. 【难度】0.65 【详解】（1）在中,所以是锐角，.由，可得，而， 所以，可得，则，故； （2）由（1）易知，则，由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 二、数列层级问题题组 5．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和． 【难度】0.85 【详解】（1）设公差为，公比为，，故，， ，故，联立，解得或（舍去），故，； （2），设数列的前项和为，则，① ，② 两式①-②得，所以. 6．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，；(2)证明：数列为等比数列；(3)求数列的通项公式. 【难度】0.85 【详解】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，即:. 7．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【难度】0.65 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，所以， 因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，所以， 所以，当时，，当时，， 所以,所以， 8．（2025·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足：，，. (1)求，；(2)求. 【难度】0.65 【详解】（1）当为奇数时，，因此数列的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，， 当为偶数时，，因此数列的偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，. （2）. 三、导数层级问题题组 9．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值；(2)求的极值． 【难度】0.85 【详解】（1）因为，.所以，. 由题意. （2）因为，.所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 10．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【难度】0.65 【详解】（1）的定义域为， 若，则，则在单调递减；            若，则由得.                            当时，；当时，，    所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）若，由（1）知，至多有一个零点.     若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点；      ②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以，，故没有零点； ③当时，由于，即，又， 故在有一个零点.   设正整数满足，则， 故在有一个零点.  综上，的取值范围为. 11．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数 (1)当时，求证：；(2)当时，，求的取值范围. 【难度】0.65 【详解】（1）证明：当时，，则，令，解得，当时，，当时，0，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以. （2）由题意得，，且，设， 则在区间内单调递增，当时，在区间内，，单调递增， 所以，所以在区间内单调递增，所以.当时，，且，又，所以当时， 单调递减，所以，所以在区间内单调递减， 所以，与题设矛盾.综上，的取值范围为. 12．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线的对称中心；(2)证明：有三个零点； (3)设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：． 【难度】0.65 【详解】（1）构造奇函数：设，则. 把代入得，所以是奇函数. 奇函数图象关于原点对称，即曲线对称中心是. 根据函数平移求对称中心：函数图象平移遵循“上加下减”原则，意味着把曲线向上平移个单位长度得到曲线.那么对称中心也向上平移个单位，所以曲线对称中心为. （2）已知. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 在函数单调性发生变化的点处取得极值，所以是的极大值点，是的极小值点. 计算可得，，，. 根据零点存在定理和函数单调性知道， 因为，所以在区间内有一个零点； 因为，所以在区间内有一个零点； 因为，所以在区间内有一个零点. 综上，有三个零点. （3）已知函数与轴交于，，，根据函数零点的性质，可设. 因为直线过点且斜率存在且不为，根据直线的点斜式方程，设直线的方程为.   切点的坐标是直线：与曲线的公共点，所以联立方程组，    消去可得. 当（因为是直线与轴交点的横坐标，这里考虑的是除点外的切点情况），两边同时除以，得到. 将其整理为一元二次方程的一般形式（记为）.   利用一元二次方程根的判别式和韦达定理： 因为直线与曲线相切，所以方程有两个相等的实根.由可知方程有两个相等实根. 在方程中，设切点的横坐标为，因为两根相等都为，所以，即.   点，，则中点的横坐标为. 因为在轴上的射影的横坐标就是点的横坐标，所以在轴上的射影为的中点，即在的垂直平分线上. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学解三角形、数列、导数抢分大题二轮专题层级题组特训 2025年4月23日 一、解三角形层级问题题组 1．（2025·青海西宁·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 【难度】0.85 2．（2025·陕西商洛·三模）已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求；(2)若，求外接圆的面积． 【难度】0.85 3．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值． 【难度】0.65 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积；(2)求证：. 【难度】0.65 二、数列层级问题题组 5．（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和． 【难度】0.85 6．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，；(2)证明：数列为等比数列；(3)求数列的通项公式. 【难度】0.85 7．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【难度】0.65 8．（2025·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足：，，. (1)求，；(2)求. 【难度】0.65 三、导数层级问题题组 9．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值；(2)求的极值． 【难度】0.85 10．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【难度】0.65 11．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数 (1)当时，求证：；(2)当时，，求的取值范围. 【难度】0.65 12．（2025·山东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线的对称中心；(2)证明：有三个零点； (3)设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：． 【难度】0.65 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$