精品解析：广西玉林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末热身数学试卷

高二年级期末热身考试（数学） 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（ ） A B. C. D. 4. 抛物线有如下光学性质：过焦点光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ） A B. C. ± D. 5. 已知数列前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 27 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 10. 已知方程，则（ ） A. 时，方程表示椭圆 B. 时，所表示的曲线离心率为 C. 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D. 时，所表示曲线的渐近线方程为 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是 D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12. 若数列的前项和为,则的通项公式是_______． 13. 抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为____. 14. 已知为坐标原点，圆上恰好有两个点到点的距离为1，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数值. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 18. 在四棱锥中，，底面为菱形，点为菱形对角线的交点，且. （1）证明：； （2）若，问：在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为？ 19. 已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． （1）求抛物线的方程及线段MN的长； （2）直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级期末热身考试（数学） 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由已知可得，解得. 故选：B. 3. 如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 4. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ） A. B. C. ± D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线求得点坐标，再求得焦点坐标后，由两点坐标可得斜率． 【详解】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为， 故选：A. 5. 已知数列前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】， ， . 故选：D. 6. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得. 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外， 抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接， 则，于是， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故选：C 7. 已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得. 【详解】由成等比数列，得， 所以，解得， 所以. 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义得，， 由得，即， 整理得，解得或（舍去）， ∴，故点在轴上. 如图，在直角中，， 在中，， 化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 二、多选题 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与关系，故D错误. 故选：AC. 10. 已知方程，则（ ） A. 时，方程表示椭圆 B. 时，所表示的曲线离心率为 C. 时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D. 时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为， 对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确； 对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确； 对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误； 故选：BC 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的基底运算可求，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B的正误，利用向量的基底运算可求C,D的正误. 【详解】对于A，， ， 所以，选项A错误； 对于B， ，所以，即， ，所以，即，因为，平面，所以平面，选项B正确； 对于C：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C错误； 对于D，，, 所以， ， 同理，可得; ， 所以，所以选项D错误． 故选：ACD． 三、填空题 12. 若数列的前项和为,则的通项公式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系即得. 【详解】因为， 所以，， 当时，， 所以， ∴是以3为首项，为公比的等比数列， 所以． 故答案为：． 13. 抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为____. 【答案】2 【解析】 【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标. 【详解】抛物线准线的方程为：，焦点为,分别过， 作，垂足为，在直角梯形中，， 由抛物线的定义可知：，因此有， 所以点的横坐标为. 故答案为：2. 14. 已知为坐标原点，圆上恰好有两个点到点的距离为1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程转化为标准形式：（），圆上恰好有两个点到点的距离为1等价于以为圆心，1为半径的圆与圆相交，利用圆心距之间的关系即可求解. 【详解】由题，圆：（），所以圆圆心为，半径为， 圆上恰好有两个点到点的距离为1等价于以为圆心，1为半径的圆与圆相交， 即，解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 17. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程，解得或，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1），结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或， 当时， 当时， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和； 当时，，则，且， 故是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和或. 18. 在四棱锥中，，底面为菱形，点为菱形对角线的交点，且. （1）证明：； （2）若，问：在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为？ 【答案】（1）见解析； （2）点M不存在. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可直接证明结论成立； （2）假设存在点，使得，以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据与平面所成角的余弦值为，求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）证明： 为等腰三角形 又为中点 , 底面为菱形 , , ,, （2）以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴， 建立空间直角坐标系.则，，，，, 令， 则， 设平面的一个法向量为 由 得, 令 得, 解得, 又, 不存在.即这样的点M不存在. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及已知线面角求参数的问题，熟记判定定理即可证明第一问；对于线面角的求法，通常采用空间向量的方法，属于常考题型. 19. 已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． （1）求抛物线的方程及线段MN的长； （2）直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）直线l过定点 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义即可得抛物线E的方程，从而再得到、的坐标，即可得线段MN的长； （2）设出、两点坐标，结合抛物线方程与，可得，再设出直线AB的方程，联立曲线结合韦达定理，可得，故，从而得到直线所过定点. 【小问1详解】 ，且点M到y轴距离1， 由抛物线的定义得，即，解得． 抛物线E的方程为． 抛物线焦点．又点M到y轴的距离为1，且在抛物线上， 点M的横坐标为1．直线MN的方程为． 联立，解之得或， 点M在第一象限，，， ； 【小问2详解】 设，， ，，同理可得：， ， 整理得，（*） 设直线AB的方程为， 联立方程，消去x，则， ， 由韦达定理得，， 将其代入（*）式得，解得， 直线AB的方程为， 当时，， 直线l过定点． 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于通过题目所给，结合抛物线方程得到、两点纵坐标的关系，从而可设出直线l，联立曲线，借助韦达定理得到、两点纵坐标的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$