精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点为的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 在中，，向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 8. 设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 10. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______． 13. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 14. 定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 如图，在中，已知为边上一点，． （1）求的面积； （2）若，求的长． 17. 已知向量满足，且向量与的夹角为． （1）求； （2）若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小． 18. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值； （3）已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数的虚部为-2. 故选：A. 2. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 3. 在中，点为的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】因为点为的中点，所以， 所以. 故选：D． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案. 【详解】因为，由三角函数线的图像 可知，则 故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由及,解得,再用二倍角公式求出的值. 【详解】，由得： ， . 故选:A 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)选择合适的公式进行化简； (2)如果需要,根据条件进行合理的拆角，如等． 6. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数间的基本关系分别求出及的值，然后利用诱导公式及三角形内角和定理得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出的值． 【详解】中，，， 为锐角，结合为锐角， ，， 则 ． 故选：A． 7. 在中，，向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在上的射影为，根据投影向量的定义，求出的长，然后根据三角形的面积公式，以及勾股定理求解即可. 【详解】如图 设在上的射影为，则，且在延长线上， 由于，所以， 所以. 故选：B． 8. 设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求出，利用均值不等式求解作答. 【详解】在中，由正弦定理及得：， 即，整理得：， 即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于虚数，其不能比较大小，判定A；根据的幂次规律计算，判定B；利用复数模的性质计算，判定C；依据纯虚数实部为且虚部不为来确定的值，判定D. 【详解】对于A，虚数不可比较大小，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，复数为纯虚数，则，所以正确． 故选：BD 10. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角余弦公式求解；对C，先化切为弦转化为齐次分式，再利用二倍角正弦公式求解即可；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简计算即可得答案. 【详解】，A正确； ，В错误； ，故С正确； ，D正确， 故选：ACD. 11. 设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理确定范围判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求面积的最大值判断B；利用余弦定理，结合基本不等式求出周长最大值判断C，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由有2个及正弦定理得且， 因此的取值范围为，A正确； 对于B，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 由，所以面积的最大值，B错误； 对于C，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，C正确； 对于D，由为锐角三角形，得，， 由正弦定理得，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出，由，再用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故答案为： 13. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，，再由诱导公式和两角和的正切公式，即可求解； （2）根据三角函数基本关系式，化简原式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 解：因为且，可得 所以，， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 则. 16. 如图，在中，已知为边上一点，． （1）求的面积； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）法一：在中，利用正弦定理，求得，得到和 ，再由正弦定理，得到，即可求解； 法二：设，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理，可得， 又由，所以． 所以的面积为． 【小问2详解】 解：法一：在中，可得， 由正弦定理得，即，所以， 又由，所以，所以， 因为，且， 由正弦定理得， 可得. 法二：设， 在中，因为且， 由余弦定理，可得， 即，所以，解得． 17. 已知向量满足，且向量与的夹角为． （1）求； （2）若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算律，根据数量积的定义，可得答案； （2）由数量积的运算律与模长计算，根据二次函数的性质，结合数量积的结果，可得答案. 【小问1详解】 因为，且向量与的夹角为， 所以，所以． 【小问2详解】 ， 所以时，，此时，所以， 所以与的夹角的大小为． 18. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合其最小正周期求出，即得答案； （2）根据，求出，求出，令，将原问题转化为在上有解问题，即可求得答案； （3）由题意可求出的表达式，结合题意推出关于等式的等式，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，且， 所以即，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 而在上单调递减，故， 所以． 【小问3详解】 由题意可知：，， 因为， 所以中有一个为1，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以，或， 因此的值为或． 另解求的方法：中有一个为1，另一个为，不妨设， 则，解得； ，则，解得， 那么，， 因为，且的最小值是， 所以，解得的值为或． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值； （3）已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，无最小值 （3）存在点 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果； （2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果； （3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合三角函数性质即可得结果. 【小问1详解】 ， 所以函数的相伴向量． 【小问2详解】 由题知， 由，得． 又，即，所以． 又，由正弦定理，得，， 即． 因为，所以， 所以，即的取值范围为， 故有最大值，无最小值. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 设，因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 即，所以． 因为，所以， 所以， 又因为， 所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $